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第十章练习——任何三角形

在计算之前，先问一下：给出了什么？ Two sides and the angle between them, or the three sides, require the law of cosines; one side and the opposite angle, the law of sines. In this chapter the printed template has several errors; when the answer here differs from him, the difference is explained. 余弦定律 360 三角形的两条边的尺寸为 8 米和 12 米，并在它们之间形成 $120^\circ$ 角。计算第三边。 查看分辨率调用 $b = 8$ 和 $c = 12$ 给定的边以及 $\hat{A} = 120^\circ$ 它们之间的角度，余弦定律给出 $$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A} = 64 + 144 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 64 + 144 + 96 = 304,$$然后 $a = \sqrt{304} = 4\sqrt{19}$ 米。

October 24, 2026 阅读
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余弦定理和正弦定理

本主题中的两条定律是处理非直角三角形的主要工具。两者都通过将问题简化为直角三角形来演示：在第一个三角形中绘制高度，在第二个三角形中绘制直径。 故事 在几何形式中，余弦定律已经在欧几里得的几何原本（第二本书，命题12和13）中找到，它将对面的正方形与钝角或锐角与其他两个的平方和进行比较 - 当然，不谈论余弦。它以三角形式出现在波斯天文学家 Jamshid al-Kashi 的Miftah al-hisab（《算术钥匙》，1427）中，这就是法国人称之为Al-Kashi 定理的原因。平面三角形的正弦定理在 13 世纪由Nasir al-Din al-Tusi在他的四边形论文中阐明和证明，这是第一部将三角学视为独立于天文学的学科的著作（见第三章）。 喀什是谁 Ghiyath al-Din Jamshid al-Kashi（c. 1380–1429）出生于伊朗卡尚，当时正处于战争和贫困时期，多年来一直在寻找保护者。他在兀鲁伯·贝格那里发现了它，他是征服者帖木儿的孙子、撒马尔罕的统治者，他自己也是一位天文学家，在那里建造了世界上最大的天文台之一。阿尔·喀什是其主要科学家。在给父亲的一封信中，他描述了兀鲁伯格的宫廷，并吹嘘自己能够在马背上正面解决同事们花费数天时间解决的问题。在 1424 中，他使用 $3 \cdot 2^{28}$ 边多边形计算了 16 正确的小数位 $2\pi$，这一记录保持了近两个世纪。于1429在撒马尔罕附近死亡，死因不明；有报道称他是被谋杀的。 Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274)，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 c. 300 a.C.Euclid (几何原本 II.12–13)：几何形式的余弦定律。 世纪。 XAbu al-Wafa 等人：球面三角形的正弦定理。 世纪。十三al-Tusi：平面三角形的正弦定理。 1427al-Kashi：三角形式的余弦定律。 c. 1464Regiomontanus 将这两项法律带到了欧洲。 来源： Al-Kashi (MacTutor) · Al-Tusi (MacTutor) · 欧几里得，几何原本，第二册，命题 12 和 13。 在日常生活中 轮船和飞机。 两艘船在形成 $60^\circ$ 的航线上离开同一港口；当一个距离8公里，另一个距离5公里时，它们之间的距离是$\sqrt{64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}} = 7$公里。 **机器人和假肢。**只有当“肘部”以余弦定律给出的角度弯曲时，具有两段已知长度的手臂才能到达一定距离处的点 - 这是每个机械臂都会进行的计算。 **测量无法到达的地方。**通过测量的底面和两个角度，正弦定律给出了到河对岸的岛屿、山峰或塔的距离。 两艘船离开同一个港口：余弦定律给出了它们之间的距离。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 24, 2026 阅读
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15 章中的练习 — 任何三角形

正弦定理 624 已知$\operatorname{sen}(180^{\circ} - x) = \operatorname{sen}x$和$\cos(180^{\circ} - x) = -\cos x$，确定： a) $\operatorname{sen}120^{\circ}$； b) $\cos 150^{\circ}$； c) $\cos 135^{\circ}$； d）$\operatorname{sen}150^{\circ}$； e) $\operatorname{sen}135^{\circ}$； f) $\cos 120^{\circ}$。 Ver respostaa) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · b) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ · c) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · d) $\dfrac{1}{2}$ · e) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ · f) $-\dfrac{1}{2}$ 625 在以下情况下确定$x$的值： Ver respostaa) $6\sqrt{2}$ · b) $6\sqrt{6}$ 626 在下列情况下确定三角形外接圆的半径： Ver respostaa) $4\sqrt{3}$ · b) $9\sqrt{2}$ 627 在以下情况下获取$x$的值： a) $ABCD$是平行四边形； b) $ABCD$ 是等腰梯形。 Ver respostaa) $6\sqrt{2}$ · b) $12\sqrt{2}$

October 9, 2026 阅读
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显着线的计算

中位数、高度和 角平分线 只能从三边计算。所有公式都来自度量关系，而斯图尔特的单一关系可以一次性解决所有问题。 谁发现的 中位数公式被称为阿波罗尼乌斯定理：亚历山大的教皇将其归因于佩尔加的阿波罗尼乌斯（公元前 3 世纪）。高度公式使用三角形的面积作为边的函数，即海伦公式，由亚历山大的海伦在1世纪以公制（阿拉伯人将其归因于阿基米德）证明。苏格兰人Matthew Stewart在一些在高等数学中相当有用的一般定理一书中在1746中发表了适用于连接顶点和对边的任何线段的关系。 佩尔加的阿波罗尼乌斯，后来的艺术表现。乔瓦尼·巴蒂斯塔备忘录 · 维基共享资源 · 公共领域 亚历山大的苍鹭，后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 阿基米德，后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域 马修·斯图尔特。未知作者未知作者 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 斯图尔特 (1717–1785) 是格拉斯哥罗伯特·西姆森 (Robert Simson) 和爱丁堡科林·麦克劳林 (Colin Maclaurin) 的学生，并接替麦克劳林担任数学教授。他以希腊的方式提倡纯粹的几何方法，甚至适用于天文学问题，例如计算到太阳的距离。 罗伯特·西姆森.作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 科林·麦克劳林.大卫·斯图尔特·厄斯金 (1742–1829) · 维基共享资源 · 公共领域 将顶点连接到对侧点的线段现在称为 ceviana，以纪念意大利人 Giovanni Ceva (1678)。中位数、高度和 角平分线 是特定的 Cevians，因此 Stewart 关系给出了所有这些的公式。

October 9, 2026 阅读
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度量关系和余弦定理

当角度不正确时，毕达哥拉斯定理有一个修正项。这个术语就是余弦定律。 谁发现的 该主题的度量关系在欧几里得（c. 300 BC）的几何原本中，以区域语言表示：命题II.12处理钝角的对边，并且II.13，与锐角相对。余弦形式 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ 与三角函数表一起出现的时间要晚得多。波斯天文学家Jamshid al-Kashi在算术的关键中的1427中提出了它；在法国，余弦定律仍称为théorème d’Al-Kashi。 François Viète 在 1593 中用余弦编写。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 弗朗索瓦·维埃特。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 欧几里得没有余弦或长度数。他说，钝角对边的正方形比另外两条边的正方形之和大“一侧与另一侧投影形成的矩形的两倍”。和这个主题的关系是一样的，都是用区域来写的。 比较$a^2$和$b^2 + c^2$有一个简单的测试：只要知道三边就可以知道三角形是锐角、直角还是钝角。 在日常生活中 **导航。**一艘船行驶 10 公里，转向 40°，再行驶 6 公里，是根据余弦定律计算出的距离港口的距离。 **机器人。**两段机械臂的关节角度通过余弦定律计算。 **地形。**当测量一块土地的两条边以及它们之间的角度时，第三条边不符合余弦定律。 **体育。**分析师根据两名球员和第三名球员之间的距离以及他们之间的角度来计算传球距离。 来源： 元素，命题 II.12 · 元素，命题 II.13 · Al-Kashi (MacTutor)。 理论与结构 度量关系 Teorema · 锐角的对面 在任何三角形中，锐角对边的平方等于其他两条边的平方和减其中一条边与另一条边在其上的投影的乘积的两倍： $$\hat A < 90^{\circ},\; m = \text{proj. de } b \text{ sobre } c \;\Longrightarrow\; a^2 = b^2 + c^2 - 2cm.$$ Teorema · 钝角的对边 在钝角三角形中，钝角一侧的正方形等于另外两条边的平方和加上其中一侧与另一侧在其上（或包含它的直线上）投影的乘积的两倍： $$\hat A > 90^{\circ},\; m = \text{proj. de } b \text{ sobre } c \;\Longrightarrow\; a^2 = b^2 + c^2 + 2cm.$$

October 9, 2026 阅读
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正弦定理

在任何三角形中，每条边除以对角的正弦值总是给出相同的数字：外接圆的直径。 谁发现的 正弦定理诞生于天文学，用于在天球上绘制三角形。球形版本是由伊斯兰世界的天文学家在 10 世纪获得的，其中包括 阿布·瓦法 和 阿布·纳斯尔·曼苏尔。平面三角形的形状系统地出现在 四边条约 (1260) 源自 波斯语 纳西尔·丁·图西，这使得三角学成为一门独立于天文学的学科。在欧洲，它随书而传播 关于所有类型的三角形， 从 雷吉奥蒙塔努斯，写于 1464 年，印刷于 1533 年。 Abu al-Wafa，后来的艺术代表。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域 Nasir al-Din al-Tusi，后来的艺术代表。作者身份不明；查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 雷吉奥蒙塔努斯。身份不明的录音机；史密森尼收藏 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 在正弦之前，天文学家研究了弦：喜帕恰斯和托勒密将圆的每个弧的弦制成表格。圆弧的弦是圆心角一半的正弦值的两倍——这就是为什么正弦定理本质上是圆弦的结果，而本主题的演示正是使用外接圆。 尼西亚的喜帕恰斯，后来的艺术表现。威廉·亨利·史密斯 · 维基共享资源 · 公共领域 克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 利用正弦定理，只需测量距离和两个角度即可计算三角形的另一条边。这就是三角测量的原理，它测量了 17 世纪和 19 世纪之间的整个国家。

October 9, 2026 阅读