Euler's Eyes
2026-10-24
余弦定理和正弦定理
本主题中的两条定律是处理非直角三角形的主要工具。两者都通过将问题简化为直角三角形来演示：在第一个三角形中绘制高度，在第二个三角形中绘制直径。
故事
在几何形式中，余弦定律已经在欧几里得的几何原本（第二本书，命题12和13）中找到，它将对面的正方形与钝角或锐角与其他两个的平方和进行比较 - 当然，不谈论余弦。它以三角形式出现在波斯天文学家 Jamshid al-Kashi 的Miftah al-hisab（《算术钥匙》，1427）中，这就是法国人称之为Al-Kashi 定理的原因。平面三角形的正弦定理在 13 世纪由Nasir al-Din al-Tusi在他的四边形论文中阐明和证明，这是第一部将三角学视为独立于天文学的学科的著作（见第三章）。
- c. 300 a.C.Euclid (几何原本 II.12–13)：几何形式的余弦定律。
- 世纪。 XAbu al-Wafa 等人：球面三角形的正弦定理。
- 世纪。十三al-Tusi：平面三角形的正弦定理。
- 1427al-Kashi：三角形式的余弦定律。
- c. 1464Regiomontanus 将这两项法律带到了欧洲。
来源： Al-Kashi (MacTutor) · Al-Tusi (MacTutor) · 欧几里得，几何原本，第二册，命题 12 和 13。
在日常生活中
- 轮船和飞机。 两艘船在形成 $60^\circ$ 的航线上离开同一港口；当一个距离8公里，另一个距离5公里时，它们之间的距离是$\sqrt{64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}} = 7$公里。
- **机器人和假肢。**只有当“肘部”以余弦定律给出的角度弯曲时，具有两段已知长度的手臂才能到达一定距离处的点 - 这是每个机械臂都会进行的计算。
- **测量无法到达的地方。**通过测量的底面和两个角度，正弦定律给出了到河对岸的岛屿、山峰或塔的距离。
理论
余弦定律
Teorema余弦定律
在任何三角形中，一条边的平方等于其他两条边的平方和减去这两条边与它们形成的角度的余弦乘积的两倍：
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}$$$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos\hat{B}$$$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\hat{C}$$查看演示
令 $\overline{BD}$ 为相对于边 $\overline{AC}$ 的高度，测量 $h$ 和 $m = AD$。
**第一种情况：$\hat{A} < 90^\circ$。**点$D$与$C$和$n = DC = b - m$落在$A$的同一侧（左图，$D$在$A$和$C$之间；如果$D$超出$C$， $n = m - b$，帐户相同）。在直角三角形 $BCD$ 和 $BAD$ 中：
$$a^2 = n^2 + h^2 \;(\text{I}) \qquad h^2 = c^2 - m^2 \;(\text{II}) \qquad n = b - m \;(\text{III}).$$将(III)和(II)代入(I)：$a^2 = (b - m)^2 + c^2 - m^2 = b^2 + c^2 - 2bm$。但是，在三角形$BAD$、$m = c\cos\hat{A}$中；标志 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}$。
**第二种情况：$90^\circ < \hat{A} < 180^\circ$。**现在，除了$A$和$DC = b + m$（右图）之外，$D$也属于$\overline{CA}$的扩展名。同样，$a^2 = (b + m)^2 + c^2 - m^2 = b^2 + c^2 + 2bm$。在三角形$BAD$中，$A$处的角是$180^\circ - \hat{A}$，所以$m = c\cos(180^\circ - \hat{A}) = -c\cos\hat{A}$；再次$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\hat{A}$。
**第三种情况：$\hat{A} = 90^\circ$。**这是毕达哥拉斯定理，因为$\cos 90^\circ = 0$。
其他两个公式以同样的方式证明，交换顶点的角色。
Propriedade广义毕达哥拉斯
余弦定理告诉你到底有多少 $a^2$ 不同于 $b^2 + c^2$：如果 $\hat{A}$ 它很锋利， $a^2 < b^2 + c^2$;如果是直的， $a^2 = b^2 + c^2$;如果是钝角的话 $a^2 > b^2 + c^2$。应用于最长边，它对三角形进行分类（练习 372）。
正弦定理
Teorema正弦定理
在任何三角形中，每条边与对角正弦值之间的商是恒定的，并且等于外接圆的直径的测量值：
$$\frac{a}{\operatorname{sen}\hat{A}} = \frac{b}{\operatorname{sen}\hat{B}} = \frac{c}{\operatorname{sen}\hat{C}} = 2R$$查看演示
令 $ABC$ 为半径为 $R$ 的圆内接的三角形。通过顶点 $B$，我们绘制直径 $\overline{BA'}$ 并将 $A'$ 连接到 $C$。
角度 $\hat{A}$ 和 $\hat{A}'$ 相等，因为它们是内切的并确定圆上相同的弦 $\overline{BC}$。三角形 $A'BC$ 在 $C$ 中是矩形，因为它内接于半圆。然后
$$a = BC = BA' \cdot \operatorname{sen}\hat{A}' = 2R\operatorname{sen}\hat{A} \;\Longrightarrow\; \frac{a}{\operatorname{sen}\hat{A}} = 2R.$$（如果 $\hat{A}$ 是钝角，则 $A$ 和 $A'$ 位于 $\overline{BC}$ 和 $\hat{A}' = 180^\circ - \hat{A}$ 的相对侧，它们具有相同的正弦值；如果 $\hat{A}$ 是直角，则 $\overline{BC}$ 已经是直径。）同样，$\frac{b}{\operatorname{sen}\hat{B}} = 2R$ 和 $\frac{c}{\operatorname{sen}\hat{C}} = 2R$。
更进一步：两个向量之间的角度
余弦定律可以转换为坐标。设$\vec A = (a_1, a_2, a_3)$和$\vec B = (b_1, b_2, b_3)$是从公共顶点开始的三角形的两条边，它们之间的角度为$\theta$；第三面是$\vec A - \vec B$。余弦定律说
$$|\vec A - \vec B|^2 = |\vec A|^2 + |\vec B|^2 - 2|\vec A||\vec B|\cos\theta.$$在坐标 $(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2 = |\vec A|^2 + |\vec B|^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)$ 中展开左侧。比较：
$$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = |\vec A||\vec B|\cos\theta.$$左边的和是标量积 $\vec A \cdot \vec B$，它给出了两个向量之间的角度而不绘制任何东西：$\cos\theta = \dfrac{\vec A \cdot \vec B}{|\vec A||\vec B|}$。
Exemplo空间中的一个角度
对于$\vec A = (-2, 3, 1)$和$\vec B = (1, 2, 3)$：$\vec A \cdot \vec B = -2 + 6 + 3 = 7$和$|\vec A| = |\vec B| = \sqrt{14}$。然后是$\cos\theta = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$和$\theta = 60^\circ$。
在物理学中，标量积出现在力的功中：力 $F$ 使 $d$ 的物体沿与其形成角度 $\theta$ 的方向发生位移，并做功 $F\,d\cos\theta$。仅计算运动方向 $F\cos\theta$ 上的力分量。
本节中的练习是[章节列表]中的编号360到392（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap10-triangulos-quaisquer/05-exercicios/).