126 计算$\operatorname{sen} 15^\circ$、$\cos 15^\circ$和$\operatorname{tg} 15^\circ$。 查看分辨率$\operatorname{sen} 15^\circ = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\ell_{12}}{2}$。让我们计算$\ell_{12}$：设$Q$为内接正六边形的顶点，$P$为六边形一侧弧的中点，则$PQ = \ell_{12}$。半径 $OP$ 在六边形的中点 $R$ 处垂直切割六边形的边。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 在三角形$PQR$中，矩形在$R$中： $$PQ = \ell_{12} \qquad QR = \frac{\ell_6}{2} = \frac{1}{2} \qquad RP = OP - OR = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$（因为 $OR$ 是 等边三角形 与 1 之间的高度）。然后 $$\ell_{12}^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} = 2 - \sqrt{3}$$$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{12} = \frac{\ell_{12}}{2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{1 - \frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}.$$*注意：*在第六章中我们会看到这些值也写为$\operatorname{sen} 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$、$\cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$和$\operatorname{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$。
我们将验证实数 $x = \dfrac{\pi}{n}$ 以及 $n \in \mathbb{N}$ 和 $n \ge 3$ 的圆函数可以从 $\ell_n$ 计算，即正多边形的边，$n$ 边内接在循环中。 故事 在第一本书中 天文学大成, 托勒密 他完全按照这样的方式构建了他的弦表：他从欧几里得几何知道如何计算的内接正多边形——三角形、正方形、五边形、六边形和十边形——的边开始，并通过弧的和、差和一半的公式获得其他弧，我们将在第六章中看到这些公式。弓的弦 $2\alpha$ 在一个半径的圆内 $R$ 和 $2R\operatorname{sen}\alpha$：本章中的定理是这一思想的现代翻译。 托勒密是谁 的 克劳狄斯·托勒密 （约 100-170）除了这部作品之外，几乎一无所知：他住在罗马埃及的亚历山大，他记录的观测范围从 127 到 141。他伟大的天文学论文被称为 数学作文;崇拜他的阿拉伯天文学家称他为 议会，“最伟大的”，从那里而来 天文学大成。在其中，托勒密描述了一个以地球为中心、行星一圈又一圈的宇宙——这是一个有缺陷的模型，但它在预测天空位置方面非常准确，以至于它被使用了近 1400 年，直到哥白尼和开普勒。托勒密还写过一篇 地理，具有数千个地点的坐标，以及 光学，其中他研究光的折射。 克劳狄斯·托勒密（Claudius Ptolemy，c. 100–170），后来的艺术表现，带有浑天仪。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 圆弧 $2\alpha$ 的弦 $AB$ 由半径 $OM$ 一分为二：每一半测量 $R\operatorname{sen}\alpha$，然后测量 $\text{crd}\,2\alpha = 2R\operatorname{sen}\alpha$。托勒密的木板提供了绳索；印第安人，半绳。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.