我们将验证实数 $x = \dfrac{\pi}{n}$ 以及 $n \in \mathbb{N}$ 和 $n \ge 3$ 的圆函数可以从 $\ell_n$ 计算，即正多边形的边，$n$ 边内接在循环中。

故事

在第一本书中 天文学大成, 托勒密 他完全按照这样的方式构建了他的弦表：他从欧几里得几何知道如何计算的内接正多边形——三角形、正方形、五边形、六边形和十边形——的边开始，并通过弧的和、差和一半的公式获得其他弧，我们将在第六章中看到这些公式。弓的弦 $2\alpha$ 在一个半径的圆内 $R$ 和 $2R\operatorname{sen}\alpha$：本章中的定理是这一思想的现代翻译。

克劳狄斯·托勒密（Claudius Ptolemy，c. 100–170），后来的艺术表现，带有浑天仪。
克劳狄斯·托勒密（Claudius Ptolemy，c. 100–170），后来的艺术表现，带有浑天仪。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域
圆弧 $2\alpha$ 的弦 $AB$ 由半径 $OM$ 一分为二：每一半测量 $R\operatorname{sen}\alpha$，然后测量 $\text{crd}\,2\alpha = 2R\operatorname{sen}\alpha$。托勒密的木板提供了绳索；印第安人，半绳。

来源： 托勒密 (MacTutor) · 欧几里得，几何原理，第四卷。

在日常生活中

  • 正方形。 学校套件中的两个正方形是本章的三角形：$45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ 之一和 $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ 中的另一个。
  • 螺母和螺栓。 六角头是正六边形：两个平行面之间的距离（定义扳手的尺寸）为 $\ell\sqrt{3}$ 到一侧 $\ell$。
  • 屋顶。 $30^\circ$ 和 $45^\circ$ 的坡度很常见。在 4 米的 $30^\circ$ 半宽屋顶上，屋脊位于支撑上方 $4\operatorname{tg} 30^\circ \approx 2{,}31$ 米。
箱子和工具箱上的显着角度：两个方形和六角螺母（正六边形）。

理论

定理

Teoremaπ/n 的正弦

对于所有 $n \in \mathbb{N}$ 和 $n \ge 3$，

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{n} = \frac{\ell_n}{2}.$$
更改边数。内接多边形的红边 $\overline{P'P}$ 的长度是 $\operatorname{sen}\frac{\pi}{n}$ 的两倍。
查看演示

令 $P$ 和 $P'$ 为与 $A\hat OP = A\hat OP' = \dfrac{\pi}{n}$ 循环的点，余弦轴的每一侧各一个。与 $P'\hat OP = \dfrac{2\pi}{n}$ 类似，弦 $\overline{P'P}$ 是 $n$ 内接正多边形：$P'P = \ell_n$ 的一条边。

在 等腰三角形 $P'OP$ ($OP = OP' = 1$) 中，余弦轴是 $O$ 处角度的 角平分线，因此 高度 和 中值：$\overline{P'P} \perp u$ 和 $P_2$ 是$\overline{P'P}$。然后

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{n} = \overline{P_2P} = \frac{\ell_n}{2}.$$

应用：n = 3、4 和 6

最常见的情况是 $n = 3$、$4$ 和 $6$。在循环中，$R = 1$。

Propriedade数值单位为 π/3

将毕达哥拉斯定理应用到由 等边三角形 的边 $\ell_3$、六边形的边 $\ell_6$ 和直径形成的突出显示的三角形（三角形是矩形，因为它内接于半圆）：

$$\ell_3^2 + \ell_6^2 = (2R)^2 \;\Longrightarrow\; \ell_3^2 + R^2 = 4R^2 \;\Longrightarrow\; \ell_3^2 = 3R^2 \;\Longrightarrow\; \boxed{\ell_3 = R\sqrt{3}}$$

因此，对于 $R = 1$：

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} = \frac{\ell_3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{3} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}.$$
等边三角形 和内接正六边形：突出显示的三角形具有边 $\ell_3$ 和 $\ell_6$ 以及斜边 $2R$。

Propriedade数值单位为 π/4

在内接正方形中，两条连续的边和一个直径形成一个等腰直角三角形：

$$\ell_4^2 + \ell_4^2 = (2R)^2 \;\Longrightarrow\; 2\ell_4^2 = 4R^2 \;\Longrightarrow\; \ell_4^2 = 2R^2 \;\Longrightarrow\; \boxed{\ell_4 = R\sqrt{2}}$$

然后

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{4} = \frac{\ell_4}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1.$$

Propriedade数值单位为 π/6

由于 $PQ = \ell_6$ 是内接正六边形的边，三角形 $OPQ$ 是 等边（角度从 $60^\circ$ 开始），然后是 $\boxed{\ell_6 = R}$。我们有：

$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{6} = \frac{\ell_6}{2} = \frac{1}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{6} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

著名拱门表

Resumo精确值

$\frac{\pi}{6} = 30^\circ$ $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$ $\frac{\pi}{3} = 60^\circ$
正弦 $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
余弦 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$
切线 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$

一种记忆方法：$30^\circ$、$45^\circ$和$60^\circ$的正弦分别是$\frac{\sqrt{1}}{2}$、$\frac{\sqrt{2}}{2}$和$\frac{\sqrt{3}}{2}$；余弦相同，但顺序相反。

经过第四章的归约，这三个值给出了上面循环中标记的所有弧的值：例如，$\operatorname{sen}\frac{5\pi}{6} = \operatorname{sen}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$和$\cos\frac{5\pi}{4} = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。

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