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德·梅雷骑士的骰子与公平的分配

安托万·贡博自称德·梅雷骑士，是法国宫廷里的一位作家，也是一个狂热的赌徒。大约在 1654 年，他向帕斯卡提出了两个关于赌注的问题。帕斯卡觉得这两个问题非常好，就写信给皮埃尔·德·费马，概率论就从这些信中诞生了。 谈到这位朋友，帕斯卡对费马说： 他很有头脑，但不是几何学家；而您知道，这是一个很大的缺点。 — 布莱兹·帕斯卡，致费马的信（1654 年 7 月 29 日） 第一个问题：一个六点和两个六点 德·梅雷知道一种有利可图的赌法：把一颗骰子掷 4 次，赌至少出现一次六点。他赢的次数比输的多。 于是他推想：用两颗骰子时，同时出现两个六点比一颗骰子出现六点要少见 6 倍。为了弥补，只要多掷 6 倍就行：$4\cdot6=24$ 次。“两颗骰子掷 24 次，至少出现一次双六”这个赌法，应该和第一个一样好。 结果并非如此。德·梅雷输了钱，却不明白为什么。 正确的算法要从反面入手。一颗骰子不出六点的概率是 $\frac56$。独立地掷 4 次，一次六点都不出现的概率是 $\left(\frac56\right)^4$。所以 $$P(\text{4 次中至少一个六点})=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}\approx0.518.$$两颗骰子共有 $36$ 种结果，其中只有一种是双六。掷一次不出现双六的概率是 $\frac{35}{36}$： $$P(\text{24 次中至少一个双六})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx0.491.$$第一种赌法有 51.8% 的机会赢；第二种只有 49.1%。德·梅雷的比例法则看起来很合理，但概率不是这样相加的。掷 25 次时，机会才超过一半：$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0.506$。 光靠赌能看出来吗？ 几乎不能。49.1% 和 50% 的差别太小了，要赌上几千次才能可靠地察觉。所以历史学家认为，德·梅雷怀疑的是算法，而不是自己的钱包：他认为都正确的两条规则给出了不同的答案，他想知道哪一条错了。 第二个问题：中断的赌局 两个玩家各押 32 枚皮斯托尔金币，共 64 枚。谁先赢 3 局，谁就拿走全部。比赛在 A 赢了 2 局、B 赢了 1 局时中断了。这 64 枚金币该怎样公平地分？ 费马的解法是数出所有可能的序列。帕斯卡的做法不同：他只看下一局。 如果 A 赢了下一局，他就达到 3 局，拿走全部 64 枚。 如果 B 赢了，比分变成 2 比 2，两人打平：每人应得 32 枚。 下一局两人赢的机会相同。所以不管发生什么，A 都稳拿 32 枚，另外 32 枚不确定，两人各有一半机会。帕斯卡的结论是 A 应该得到

October 8, 2026 阅读
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论作为几何基础的假设

几何学的假设在无穷小范围内是否成立的问题，与空间度量关系的内在根据问题是联系在一起的。 — 伯恩哈德·黎曼，《论作为几何基础的假设》（1854） 1854 年 6 月 10 日，黎曼在哥廷根学院做了题为《论作为几何基础的假设》的演讲。听众中有哲学家和历史学家，所以他写得几乎没有公式。这篇讲稿直到他去世后的 1868 年才发表，却改变了几何学。 从内部看几何 出发点是高斯的绝妙定理：生活在曲面内部的人，只靠测量距离、不必从外部观看，就能测出曲面的曲率。一个生活在球面上的二维生物，画三角形、量它们的角，就会发现自己的曲面是弯曲的。 黎曼把这个想法推到了极致。他考虑的不是普通空间中的曲面，而是流形（Mannigfaltigkeiten）：任意维数的空间，用坐标 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 描述，不需要嵌入任何更大的空间。决定一个流形几何的，是度量非常接近的两点之间距离的规则。 度量 在普通平面上，相邻两点间的距离 $ds$ 由勾股定理给出：$ds^2 = dx^2 + dy^2$。黎曼提出，一般情况下，无穷小距离由一个更一般的二次式给出： $$ds^2 = \sum_{i,j} g_{ij}(x)\,dx_i\,dx_j,$$其中系数 $g_{ij}$ 可以随点而变。这些系数构成了度量。例如，在半径为 $R$ 的球面上，用纬度 $\varphi$ 和经度 $\lambda$ 表示， $$ds^2 = R^2\,d\varphi^2 + R^2\cos^2\varphi\,d\lambda^2:$$在两极附近，$\cos\varphi$ 很小，一度经度对应的长度也就短了。 黎曼从度量出发，定义了每一点、每一个方向上的曲率。常曲率空间有三种：曲率为零（欧几里得几何）、正曲率（如球面，那里没有平行线）和负曲率（罗巴切夫斯基和鲍耶发现的双曲几何，那里有无穷多条平行线）。 那么真实的空间呢？ 演讲最后，黎曼大胆地指出：我们并不能预先知道物理空间的几何是什么。它不能由逻辑决定，只能由经验决定，而且可能取决于作用在物体上的“力”。在极小或极大的尺度上，欧几里得几何可能不再成立。 六十年后，阿尔伯特·爱因斯坦在黎曼几何中找到了他所需要的工具。在 1915 年的广义相对论中，时空是一个带有度量 $g_{\mu\nu}$ 的四维流形，引力不是一种力，而是由物质和能量产生的这个度量的弯曲。 高斯的选择 黎曼为演讲提出了三个题目，原以为高斯会按惯例在两个电学题目中挑一个。高斯偏偏选了第三个几何题目，这是他自己思考了几十年却没有发表的问题。原本指望另一个题目的黎曼，只好用几个星期紧张工作来准备讲稿。据戴德金说，演讲结束后回去的路上，高斯以一种他身上少见的激动谈到了自己所听到的那些思想的深度。 练习：球面上的三角形在地球上，考虑一个顶点在北极、另两个顶点在赤道上经度 0° 和 90° 处的三角形。它的内角和是多少？与面积有什么关系？ 在赤道上，经线与赤道成 90° 角。在北极，0° 经线与 90° 经线的夹角是 90°。内角和为 270°，即 $\frac{3\pi}{2}$，而不是 $\pi$。超出的 $\frac{3\pi}{2} - \pi = \frac{\pi}{2}$ 乘以 $R^2$ 就是三角形的面积：$\frac{\pi}{2}R^2$，恰好是球面面积 $4\pi R^2$ 的 $\frac{1}{8}$。在曲率为常数 $\frac{1}{R^2}$ 的曲面上，角盈等于面积除以 $R^2$。

October 31, 2026 阅读
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纳什议价解

本文对一个经典的经济问题给出了新的处理，这个问题以多种形式出现，如讨价还价、双边垄断等。 — 约翰·纳什，《讨价还价问题》（1950） 1948 年，还是卡内基理工学院本科生的纳什上了一门国际经济学课，这是他一生中唯一的经济学课。他从课上带走了一个问题：两个人谈判时，怎样分配协议带来的收益？经济学家们认为，答案取决于双方的心理、技巧和虚张声势，一般而言无话可说。纳什证明：如果协议必须满足几条合理的要求，那么可能的答案只有一个。这篇论文在他到普林斯顿之前就已写成，1950 年发表在《计量经济学》（Econometrica）杂志上。 问题 两个人 1 和 2 可以达成协议。每个可能的协议都给每人带来一份收益，用效用衡量：$u_1$ 和 $u_2$。如果达不成协议，每人保留原有的东西，即谈判破裂点 $(d_1,d_2)$。只有当协议给每人的至少不少于没有协议时的所得，它才有意义。 四个要求 纳什要求解具有四条性质： 有效性。 不应存在另一个对双方同时都更好的协议。 对称性。 如果局面是对称的，双方的可能性和破裂点都相同，那么双方所得相等。 不变性。 如果把某人的效用换一种尺度来衡量，就像把摄氏度换成华氏度，解不变。 无关选项的独立性。 如果一个问题的解在一个更小的问题中仍然可行，它仍然是解。去掉没人会选的选项，不改变协议。 纳什定理说：同时具有这四条性质的规则只有一个：选择使相对于破裂点的收益之积 $$\boxed{(u_1-d_1)\cdot(u_2-d_2)}$$最大的协议。 分 10 元钱 两个人要分 10 元钱。如果谈不拢，谁也拿不到：$d=(0,0)$。为简单起见，设效用就是钱本身。若 1 号拿 $x$，2 号就拿 $10-x$，乘积是 $$P(x)=x(10-x)=25-(x-5)^2.$$最大值在 $x=5$：每人 5 元。在对称情形下，这并不意外。 有好退路的人分得更多 现在设 1 号有一条退路：谈不拢时，她能在别处拿到 4 元，而 2 号仍然一无所有。破裂点是 $(4,0)$。相对于破裂点的收益是 $x-4$ 和 $10-x$，乘积为 $$P(x)=(x-4)(10-x)=9-(x-7)^2,\qquad4\leq x\leq10.$$ 相对于破裂点的收益之积 (x − 4)(10 − x)。x = 4 时它为零，因为 1 号从协议中一无所得；x = 10 时也为零，因为 2 号一无所得。最大值 9 在 x = 7 处。Euler’s Eyes 绘图 最大值在 $x=7$：1 号分 7 元，2 号分 3 元。每人都比没有协议时多得 3 元。纳什解平分剩余，即协议在每人已有保障之外所创造的价值。所以有好退路的人分得更多：退路不是白送的，而是谈判的起点。

October 15, 2026 阅读
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用正方形和矩形做代数

如果任意分一条直线，整条线上的正方形等于两段上的正方形加上两段所夹矩形的两倍。 — 欧几里得，《几何原本》命题 II.4 希腊人没有表示未知数的字母，没有加号减号，也没有等号。他们想说 $a\cdot b$ 时，就说边长为 $a$ 和 $b$ 的 矩形；想说 $a^2$ 时，就说边长为 $a$ 的 正方形。我们用来称呼乘方的"平方"和"立方"就是由此而来。《几何原本》第二卷全是这样写的：都是代数恒等式，却以面积的事实来陈述和证明。历史学家称之为 几何代数。 和的平方 引文中的命题 II.4 说：把一条线段分成两段 $a$ 和 $b$。整条线段上的正方形（边长 $a+b$）等于 $a$ 上的正方形，加上 $b$ 上的正方形，再加上两个边长为 $a$ 和 $b$ 的矩形。只要看看被分成四块的大正方形的图就明白了。用今天的记号： $$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab.$$学校里要背的公式，欧几里得是 画 出来的。证明就是那张图：四块正好填满大正方形，不多也不少。 平方差 命题 II.5 就是俄克喜林库斯纸草上的那一条，那是已知最古老的《几何原本》残片。用今天的话说，它讲的是：如果把长为 $2m$ 的线段从中点分开，同时又在任意一点分成 $m+d$ 和 $m-d$ 两段，那么 $$(m+d)(m-d)+d^2=m^2.$$这就是恒等式 $m^2-d^2=(m+d)(m-d)$，即 平方差。欧几里得的证明是从一个矩形上切下一块，把它补到一个小正方形旁边，拼成一个正方形。 配方 欧几里得之后一千年，约 820 年，出身于中亚花剌子模地区、在巴格达智慧宫工作的数学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米，写了一本关于如何解含有一个未知量的问题的书。书名中有 al-jabr 一词，意为"还原"，由此产生了 代数（algebra）一词；作者的名字则产生了 算法（algorithm）一词。本站旧的"巴斯卡拉公式"课程讲过他的一个例子： 一个平方加上它的十个根等于三十九。这个平方是多少？ 用今天的语言就是 $x^2+10x=39$。花拉子米的解法和欧几里得会用的完全一样：用面积。 x² + 10x = 39 的几何解法。边长为 x 的黄色正方形和两个边长为 x 与 5 的绿色矩形，合起来面积为 39。边长为 5 的红色小正方形补成一个边长为 x + 5 的正方形。Euler’s Eyes 绘图 画一个边长为 $x$ 的正方形：面积为 $x^2$。 “十个根” $10x$ 被分成两个边长为 $x$ 和 $5$ 的矩形，分别贴在正方形的两条边上。整个 L 形的面积为 $x^2+10x=39$。 角上还缺一个边长为 $5$、面积为 $25$ 的小正方形，才能补成一个大正方形。补上它：大正方形面积为 $39+25=64$。 面积为 $64$ 的正方形边长为 $8$。而大正方形的边长是 $x+5$。所以 $x+5=8$，$x=3$。 用今天的记号，就是：

October 12, 2026 阅读
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帕斯卡计算器：用齿轮做加法

1640 年，艾蒂安·帕斯卡被任命为诺曼底的税务官。这份工作就是一直到深夜累加一列又一列的数字，17 岁的儿子布莱兹也来帮忙。更麻烦的是，当时法国的货币不是十进制的： $$1\ \text{里弗尔}=20\ \text{苏},\qquad 1\ \text{苏}=12\ \text{德尼耶}.$$把 $3$ 里弗尔 $15$ 苏 $8$ 德尼耶和 $2$ 里弗尔 $7$ 苏 $9$ 德尼耶相加，需要三种进位： 德尼耶：$8+9=17$，即 $1$ 苏 $5$ 德尼耶； 苏：$15+7+1=23$，即 $1$ 里弗尔 $3$ 苏； 里弗尔：$3+2+1=6$。 结果是 $6$ 里弗尔 $3$ 苏 $5$ 德尼耶。一晚上算一千次，你一定会出错。1642 年，布莱兹开始制造一台不会出错的机器。 会计数的轮子 帕斯卡计算器的原理很简单。数字的每一位都有一个轮子，上面标着 $0$ 到 $9$。要加 $7$，就把一支尖笔插进 $7$ 的孔里，转动轮子直到碰到挡块。数字会显示在一个小窗口里。 一台十进制的帕斯卡计算器，有六个轮子，收藏于巴黎工艺博物馆。用于算钱的型号还有 20 格和 12 格的轮子，分别用来计算苏和德尼耶。David Monniaux，2005 年 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 难的是进位。当个位轮从 $9$ 转到 $0$ 时，十位轮必须自己前进一格。有时进位还会连续传递下去：

October 8, 2026 阅读
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球与圆柱

希腊几何学家会计算棱柱、棱锥、圆柱和圆锥的体积，球却一直是个难题。在分两卷的《论球与圆柱》中，阿基米德解决了这个问题，并发现了一些简单得出奇的关系。 定理 把经过球心的圆，比如赤道，称为大圆。阿基米德证明了： 球的表面积是大圆面积的四倍：$S = 4\pi r^2$； 球的体积是一个以大圆为底、以半径为高的圆锥体积的四倍：$V = 4 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 \cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$。 由此他得出了最让他着迷的推论。考虑恰好包住球的圆柱，半径为 $r$，高为 $2r$。它的体积是 $\pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3$，算上两个底面的总表面积是 $2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$。所以 $$\frac{V_{\text{球}}}{V_{\text{圆柱}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{2\pi r^3} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{S_{\text{球}}}{S_{\text{圆柱}}} = \frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac{2}{3}.$$球的体积和表面积都是圆柱的三分之二。 13 世纪《论球与圆柱》拉丁文抄本的几页。正是在那个时代，阿基米德的著作从希腊文译成了拉丁文。拉丁文抄本，约 1270 年 · Wikimedia Commons · 公有领域 像罐头标签一样的表面 有一种看出表面积结果的方式，阿基米德本人就知道。用两个非常接近的水平面去截球和圆柱。两平面之间的球带与圆柱带面积相同：球越窄的地方，球带越倾斜，因而越宽，两种效应恰好抵消。把所有的带加起来，球的表面积就等于圆柱的侧面积 $2\pi r \cdot 2r = 4\pi r^2$。

October 29, 2026 阅读
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用四元数在空间中旋转

模为 1 的复数旋转平面。哈密顿希望他的数在空间中也能做到这一点。它们确实能做到，但方式比他最初设想的更微妙。 方法 把空间中的点 $(x, y, z)$ 写成纯四元数 $v = xi + yj + zk$。要绕单位向量 $u = u_1 i + u_2 j + u_3 k$ 给出的轴旋转角 $\theta$，取 $$q = \cos\frac{\theta}{2} + \sin\frac{\theta}{2}\,(u_1 i + u_2 j + u_3 k)$$并计算 $$v \;\longmapsto\; q\,v\,q^{-1}, \qquad q^{-1} = \cos\frac{\theta}{2} - \sin\frac{\theta}{2}\,(u_1 i + u_2 j + u_3 k).$$结果又是一个纯四元数：旋转后的点。选择轴和角度： 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 有两点值得注意。第一是半角：$q$ 在“三明治” $q v q^{-1}$ 中出现了两次，每一边贡献一半的转角。第二由此而来：当 $\theta = 360°$ 时，物体回到原位，但 $q = \cos 180° = -1$。四元数 $q$ 和 $-q$ 给出同一个旋转。要转两整圈，四元数才会也回到起点。这一性质在一个世纪后的电子自旋中再次出现。

October 27, 2026 阅读
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只弯不拉：嵌入定理

拿一张纸。你可以把它卷成圆柱而不撕破、不拉伸：用软尺在纸面上量出的距离保持不变。但你无法不起褶皱地用它包住一个球。纸和球面的内蕴几何不同，高斯在 1827 年证明，这种差别，即曲率，在曲面不拉伸地弯曲时不会改变。 19 世纪，波恩哈德·黎曼有一个更大胆的想法：只用内部的测量来描述一个曲面，或任意维数的空间，而不把它画在任何地方。只需要一条规则，即度量，告诉我们怎样测量任意曲线的长度。广义相对论正是这样描述时空的：从内部描述，周围不需要更大的空间。 问题 那么，每一个抽象的黎曼空间，都能画进一个普通的欧几里得空间（也许维数很高），使得在空间内部量出的长度与画出来的长度一致吗？这种"无失真的画法"叫做等距嵌入。这个问题已有半个世纪，几何学家们认为它极其困难。 大约 1953 年，在麻省理工学院，几何学家沃伦·安布罗斯被这位年轻同事的傲慢激怒，向纳什挑战：既然这么厉害，那就把这个问题解决了。纳什接受了赌约。 一个例子：圆柱 我们用一个简单的情形来看看等距嵌入是什么意思。平面上的一条带子有坐标 $(u,v)$ 和普通的度量 $ds^2=du^2+dv^2$：位移为 $du$ 和 $dv$ 的一小段曲线长度为 $\sqrt{du^2+dv^2}$。把带子卷成半径为 $R$ 的圆柱： $$F(u,v)=\left(R\cos\frac uR,\ R\sin\frac uR,\ v\right).$$导数是 $$F_u=\left(-\sin\frac uR,\ \cos\frac uR,\ 0\right),\qquad F_v=(0,0,1),$$内积为 $$F_u\cdot F_u=1,\qquad F_v\cdot F_v=1,\qquad F_u\cdot F_v=0.$$所以在圆柱上 $ds^2=du^2+dv^2$，与带子上完全一样。卷起来是等距的：在曲面上爬行的蚂蚁察觉不到任何差别。但请注意：隔着圆柱相距很近的两点，沿曲面走可能相距很远。嵌入保持的是曲面上曲线的长度，而不是穿过空间的直线距离。 平坦环面 现在来看一个难的情形。拿一张正方形的纸，把上边和下边粘起来：它变成圆柱。再把圆柱两端粘起来：它变成甜甜圈，即环面。如果用真的纸来做，纸会起皱：普通的甜甜圈外侧曲率为正，内侧为负。由平坦正方形做成、保留正方形度量的环面叫做平坦环面，一个经典定理说，它不能被光滑地、无失真地画进三维空间。它可以无失真地放进四维空间，但放不进三维。 纳什证明了什么 1954 年，纳什发表了一个惊人的结果：如果嵌入只需要一阶光滑，也就是每一点都有确定的切面、但不一定有曲率，那么任何曲面都能等距地放进三维空间。荷兰人尼古拉斯·凯珀在 1955 年完善了这个论证。根据纳什–凯珀定理，就连平坦环面也能放进普通空间。代价是一个极其古怪的曲面，布满了褶皱叠褶皱，尺度越来越小，像分形一样。 平坦环面在三维空间中的一个等距嵌入，由 Hevea 项目在 2012 年计算得出。曲面上布满了越来越小的褶皱叠褶皱；这里显示的是前三层。Hevea 项目，Romainbehar 上传 · Wikimedia Commons · CC0 1956 年，纳什发表了安布罗斯所提出的情形，即完全光滑的嵌入：每个黎曼流形都可以等距地放进维数足够高的欧几里得空间。为此他发明了一种求解方程的新技术，一种逐次逼近的方法，每一步都修正上一步损失的光滑性。这种技术后来由于尔根·莫泽改进，被称为纳什–莫泽方法，今天被用于天体力学以及与几何毫无关系的微分方程问题。 一张揉皱的纸 纳什–凯珀定理有一个听起来荒谬的推论：一张平的纸可以不拉伸地放进一个任意小的球里，只要允许无限细的褶皱。2012 年，一个法国团队，即 Hevea 项目，首次计算出平坦环面的这样一个嵌入，并制作了展示它模样的图像。

October 15, 2026 阅读
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欧几里得算法：最大公约数

欧几里得算法是所有算法的老祖宗，因为它是流传至今的最古老的非平凡算法。 — 高德纳，《计算机程序设计艺术》第二卷（1969） 你有两根杆子，一根长 252 厘米，一根长 105 厘米，想找一把最长的尺，能把两根都恰好量整数次。用今天的话说，你要的是 最大公约数 $\gcd(252,105)$。可以把每个数的约数都列出来，再找最大的公共约数，但数一大，这就行不通了。在《几何原本》第七卷中，欧几里得教了一个快得多的方法。 用大的减去小的 欧几里得在命题 VII.1 和 VII.2 中的想法很简单：能量尽两根杆子的尺，也能量尽它们的 差。所以，不必找 252 和 105 的公共度量，可以改找 105 和 $252-105=147$ 的，再找 105 和 $147-105=42$ 的。总是用大的减去小的，直到两者相等： $$(252,105)\to(147,105)\to(42,105)\to(42,63)\to(42,21)\to(21,21).$$两个数都变成了 21。这就是最大公约数。希腊人把这个过程称为 antanairesis，“辗转相减”。（中国古代《九章算术》中的"更相减损术"与此相同。） 用除法的版本 多次减去同一个数，就是除法。把重复的减法合并成带余除法，算法就更短了： $$\begin{aligned}252&=2\cdot105+42\\105&=2\cdot42+21\\42&=2\cdot21+0\end{aligned}$$最后一个非零余数就是最大公约数： $$\boxed{\gcd(252,105)=21.}$$为什么行得通 如果 $a=qb+r$，那么： 每个同时整除 $a$ 和 $b$ 的数，也整除 $r=a-qb$； 每个同时整除 $b$ 和 $r$ 的数，也整除 $a=qb+r$。 数对 $(a,b)$ 和 $(b,r)$ 的公约数完全相同，所以 $\gcd(a,b)=\gcd(b,r)$。那么算法为什么会 结束？因为余数是每一步都在减小的正整数，$42>21>0$，而正整数不可能无限地减小下去。总有一刻余数为零，而 $\gcd(d,0)=d$。 这个算法很快。法国人加布里埃尔·拉梅在 1844 年证明，除法的次数永远不会超过两个数中较小者位数的五倍。对一百位的数，最多只需 500 次除法。 倒推回去 这些计算还能把最大公约数写成两个数的 组合。从下往上倒推： $$\begin{aligned}21&=105-2\cdot42\\&=105-2\cdot(252-2\cdot105)\\&=5\cdot105-2\cdot252.\end{aligned}$$验算：$525-504=21$。一般地，对任意 $a$ 和 $b$，存在整数 $x$ 和 $y$ 使 $ax+by=\gcd(a,b)$。这就是 裴蜀等式，而倒推的过程叫作 扩展欧几里得算法。

October 12, 2026 阅读
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神秘六边形：圆锥曲线上的六个点

1640 年 2 月，巴黎流传着一张只印了一面的纸，像一张告示，标题是《圆锥曲线论》。上面没有证明，只有定义、三个引理和一串结论。作者 16 岁，名叫布莱兹·帕斯卡。 梅森神父把这张纸拿给笛卡儿看，笛卡儿的反应是怀疑：他认为这个年轻人的东西全是从吉拉尔·德萨格那里学来的。德萨格是帕斯卡敬佩的建筑师和几何学家。德萨格的影响确实存在，帕斯卡本人也承认这一点。但这张纸上的核心结论是全新的。 圆锥曲线 用一个平面去截一个圆锥。根据倾斜的角度不同，截口的边缘会是椭圆、抛物线或双曲线；圆是椭圆的一种特殊情况。这些曲线统称圆锥曲线，从公元前 3 世纪的阿波罗尼奥斯起就有人研究。 德萨格有一个改变了这门学问的想法：把圆锥曲线看作圆的影子。用手电筒照一个圆，它投在墙上的影子可以是椭圆、抛物线或双曲线。所以，圆的某个性质如果只涉及点和直线，不涉及距离和角度的测量，那它在影子里也会保留下来，对所有圆锥曲线都成立。这就是射影几何的思想。 六边形定理 在一条圆锥曲线上按顺序标出六个点 $A,B,C,D,E,F$，把它们连成一个六边形。相对的边是 $AB$ 和 $DE$、$BC$ 和 $EF$、$CD$ 和 $FA$。把每一对延长，直到它们相交： $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$帕斯卡定理说：$P$、$Q$、$R$ 三点总在同一条直线上。 这六个点在曲线上可以按任意顺序排列，六边形甚至可以自己和自己相交。如果两条对边平行，它们就交于一个“无穷远点”，而那条直线就与它们平行。帕斯卡把这个图形叫作神秘六边形。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 四百条推论 据梅森说，帕斯卡从这一条定理推出了大约四百条推论，其中包括阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的几乎全部成果。大约在 1654 年，他写成了一部完整的论著。1676 年，莱布尼茨在巴黎读到了这份手稿，认为写得极好，并建议帕斯卡的家人出版。可是没有人出版它，这部论著就这样失传了。 在抛物线上验证 我们用计算来检验这条定理。在抛物线 $y=x^2$ 上取横坐标为 $0,1,2,3,4,7$ 的六个点： $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$先介绍一个捷径。经过抛物线上横坐标为 $u$ 和 $v$ 的两点的直线是 $$y=(u+v)x-uv.$$确实，在 $x=u$ 处它的值是 $u^2+uv-uv=u^2$，在 $x=v$ 处是 $v^2$。下面计算三个交点。 点 P。 $AB$ 的 $u=0,v=1$：$y=x$。$DE$ 的 $u=3,v=4$：$y=7x-12$。令两者相等，$x=7x-12$，所以 $x=2$，$P=(2,2)$。

October 8, 2026 阅读
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热方程与德乔治–纳什正则性

1900 年，在巴黎的国际数学家大会上，大卫·希尔伯特提出了 23 个问题，他认为这些问题将引领 20 世纪的数学。第 19 问题用通俗的话说是：变分法中"性质良好"的问题，其解是否总是光滑函数？半个世纪后，对于一类重要的方程，这个问题仍未解决。1956 年，纳什从一位同事那里听说了它，决定攻克它。 热方程 从最简单的例子开始。一根很长的金属棒在点 $x$、时刻 $t$ 的温度为 $u(x,t)$。热量从热处流向冷处，温度满足傅里叶的热方程： $$\frac{\partial u}{\partial t}=\kappa\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},$$其中 $\kappa>0$ 是材料的扩散率。方程说：一点的温度比周围的平均值低时就升高，比平均值高时就降低。 如果在零时刻所有热能都集中在一点，那么 $t>0$ 时的解是高斯函数 $$G(x,t)=\frac1{\sqrt{4\pi\kappa t}}\,e^{-x^2/(4\kappa t)}.$$我们来验证。对 $t$ 求一次导、对 $x$ 求两次导， $$\frac{\partial G}{\partial t}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G,\qquad\kappa\frac{\partial^2G}{\partial x^2}=\left(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4\kappa t^2}\right)G.$$两者相等。钟形曲线随时间变宽变低，面积保持为 1：能量守恒并扩散开来。宽度按 $\sqrt t$ 增长，与爱因斯坦布朗运动中走过的距离完全一样。这不是巧合：热是分子的运动，热方程描述的是从远处看到的随机游走。 当材料不规则时 高斯函数有一个了不起的性质：即使初始温度是一个无限集中的尖峰，对任何 $t>0$，解都是完全光滑的。扩散把一切都抹平了。 但如果材料不均匀呢？想象一块由铜、木头和玻璃碎块胡乱粘成的板，每块导热的方式都不同。方程变为 $$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left(a(x,t)\,\frac{\partial u}{\partial x}\right),$$其中导热系数 $a(x,t)$ 可以从一块到另一块突然跳变。只要求它介于两个正的界限之间：$0<\lambda\leq a\leq\Lambda$。系数如此不规则，解没有公式，甚至不清楚它是否有导数。问题是：温度会剧烈变化吗，还是热仍然会把一切抹平？ 定理 纳什在 1957 年证明，热仍然会抹平：在任意维数中，这些方程的解都是赫尔德连续的，即存在只依赖于 $\lambda$、$\Lambda$ 和维数的常数 $C$ 与 $0<\alpha\leq1$，使得 $$\boxed{|u(x)-u(y)|\leq C\,|x-y|^{\alpha}.}$$无论材料多么杂乱，温度都不会跳变。纳什的证明极其独到：他用了概率和熵的思想，把热当作扩散开的质量，在没有任何公式的情况下控制住了解。有了这个结果，希尔伯特第 19 问题对这类方程得到了解决。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。

October 15, 2026 阅读
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素数永远不会穷尽

素数比任何给定的素数个数都多。 — 欧几里得，《几何原本》命题 IX.20 素数 是大于 1、只能被 1 和它自身整除的整数：2、3、5、7、11、13……其余的数，比如 $12=2\cdot2\cdot3$，都是素数的乘积。素数是算术的原子。 越往后，素数越稀少。1 到 100 之间有 25 个素数；1 000 001 到 1 000 100 之间只有 6 个。它们会不会在某处就没了？欧几里得用一个四行的论证证明了不会，英国数学家哈代认为它是整个数学中最美的论证之一。 证明 假设有人给你一份有限的素数清单 $p_1,p_2,\ldots,p_n$。欧几里得证明，至少有一个素数 不在 清单上。把它们全部相乘再加 1： $$N=p_1\cdot p_2\cdots p_n+1.$$现在用清单上的任意一个素数去除 $N$。乘积 $p_1p_2\cdots p_n$ 能被它整除，所以 $N$ 除以它的余数是 1。清单上没有一个素数能整除 $N$。 但 $N$ 大于 1，所以它至少有一个素因子 $q$。为什么？取 $N$ 的大于 1 的最小因子。如果它不是素数，它就有一个更小的因子，而这个因子也整除 $N$，与"最小"矛盾。所以最小因子是素数。 这个素数 $q$ 整除 $N$，而清单上没有素数整除 $N$。所以 $q$ 不在清单上。任何有限的清单都不能包含所有素数： $$\boxed{\text{素数有无穷多个。}}$$欧几里得没有说"无穷"，这个词希腊人是回避的。他说的是：给定 任何 个数的素数，总还有更多。这是同一件事，只是说得很谨慎。 构造出的数不一定是素数 一个常见的错误是以为 $N$ 总是素数。请看： 清单 $N$ $N$ 是素数吗？ 2 3 是 2, 3 7 是 2, 3, 5 31 是 2, 3, 5, 7 211 是 2, 3, 5, 7, 11 2 311 是 2, 3, 5, 7, 11, 13 30 031 不是：$30\,031=59\cdot509$ 在第六行，$N$ 是合数。但它的因子 59 和 509 都是不在清单上的素数。证明从来没有说 $N$ 是素数；它只说有 某个 新素数整除 $N$。至今仍不知道表中这种构造能否产生无穷多个素数。

October 12, 2026 阅读