只弯不拉：嵌入定理
拿一张纸。你可以把它卷成圆柱而不撕破、不拉伸：用软尺在纸面上量出的距离保持不变。但你无法不起褶皱地用它包住一个球。纸和球面的内蕴几何不同，高斯在 1827 年证明，这种差别，即曲率，在曲面不拉伸地弯曲时不会改变。
19 世纪，波恩哈德·黎曼有一个更大胆的想法：只用内部的测量来描述一个曲面，或任意维数的空间，而不把它画在任何地方。只需要一条规则，即度量，告诉我们怎样测量任意曲线的长度。广义相对论正是这样描述时空的：从内部描述，周围不需要更大的空间。
问题 那么，每一个抽象的黎曼空间，都能画进一个普通的欧几里得空间（也许维数很高），使得在空间内部量出的长度与画出来的长度一致吗？这种"无失真的画法"叫做等距嵌入。这个问题已有半个世纪，几何学家们认为它极其困难。
大约 1953 年，在麻省理工学院，几何学家沃伦·安布罗斯被这位年轻同事的傲慢激怒，向纳什挑战：既然这么厉害，那就把这个问题解决了。纳什接受了赌约。
一个例子：圆柱 我们用一个简单的情形来看看等距嵌入是什么意思。平面上的一条带子有坐标 $(u,v)$ 和普通的度量 $ds^2=du^2+dv^2$：位移为 $du$ 和 $dv$ 的一小段曲线长度为 $\sqrt{du^2+dv^2}$。把带子卷成半径为 $R$ 的圆柱：
$$F(u,v)=\left(R\cos\frac uR,\ R\sin\frac uR,\ v\right).$$导数是
$$F_u=\left(-\sin\frac uR,\ \cos\frac uR,\ 0\right),\qquad F_v=(0,0,1),$$内积为
$$F_u\cdot F_u=1,\qquad F_v\cdot F_v=1,\qquad F_u\cdot F_v=0.$$所以在圆柱上 $ds^2=du^2+dv^2$，与带子上完全一样。卷起来是等距的：在曲面上爬行的蚂蚁察觉不到任何差别。但请注意：隔着圆柱相距很近的两点，沿曲面走可能相距很远。嵌入保持的是曲面上曲线的长度，而不是穿过空间的直线距离。
平坦环面 现在来看一个难的情形。拿一张正方形的纸，把上边和下边粘起来：它变成圆柱。再把圆柱两端粘起来：它变成甜甜圈，即环面。如果用真的纸来做，纸会起皱：普通的甜甜圈外侧曲率为正，内侧为负。由平坦正方形做成、保留正方形度量的环面叫做平坦环面，一个经典定理说，它不能被光滑地、无失真地画进三维空间。它可以无失真地放进四维空间，但放不进三维。
纳什证明了什么 1954 年，纳什发表了一个惊人的结果：如果嵌入只需要一阶光滑，也就是每一点都有确定的切面、但不一定有曲率，那么任何曲面都能等距地放进三维空间。荷兰人尼古拉斯·凯珀在 1955 年完善了这个论证。根据纳什–凯珀定理，就连平坦环面也能放进普通空间。代价是一个极其古怪的曲面，布满了褶皱叠褶皱，尺度越来越小，像分形一样。
平坦环面在三维空间中的一个等距嵌入，由 Hevea 项目在 2012 年计算得出。曲面上布满了越来越小的褶皱叠褶皱；这里显示的是前三层。Hevea 项目，Romainbehar 上传 · Wikimedia Commons · CC0 1956 年，纳什发表了安布罗斯所提出的情形，即完全光滑的嵌入：每个黎曼流形都可以等距地放进维数足够高的欧几里得空间。为此他发明了一种求解方程的新技术，一种逐次逼近的方法，每一步都修正上一步损失的光滑性。这种技术后来由于尔根·莫泽改进，被称为纳什–莫泽方法，今天被用于天体力学以及与几何毫无关系的微分方程问题。
一张揉皱的纸
纳什–凯珀定理有一个听起来荒谬的推论：一张平的纸可以不拉伸地放进一个任意小的球里，只要允许无限细的褶皱。2012 年，一个法国团队，即 Hevea 项目，首次计算出平坦环面的这样一个嵌入，并制作了展示它模样的图像。
