Euler's Eyes
2026-10-31
柯西的遗产
柯西是个疯子，和他打交道毫无办法；可是如今，他是唯一懂得数学应该怎样做的人。
— 尼尔斯·亨里克·阿贝尔，致霍尔姆伯的信（1826）
柯西发表了大约 800 篇论文和七部著作。法国科学院编辑的《柯西全集》从 1882 年到 1974 年陆续出版，共 27 厚卷。在数学家当中，只有欧拉和极少数几个人留下了规模相当的著作。
以他命名的成果
- 柯西列和收敛的柯西准则，这是康托尔定义实数的基础。
- 根值判别法、凝聚判别法以及两个级数的柯西乘积。
- 柯西–施瓦茨不等式，以及柯西对平均值不等式的证明。
- 柯西中值定理，它为洛必达法则提供了依据。
- 柯西–黎曼方程、柯西积分定理、柯西积分公式和留数定理。
- 柯西主值，它通过在麻烦点两侧对称地切除一小段，使 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x}$ 这样的积分有了意义。
- 微分方程的柯西问题，它问初值是否决定解；以及柯西–柯瓦列夫斯卡娅定理，它对解析函数回答了这个问题。
- 固体力学中的柯西应力张量和光学中的柯西色散公式。
- 行列式的柯西–比内公式和关于有限群的柯西定理。
- 凸多面体的柯西刚性定理。
- 《分析教程》中研究的柯西函数方程 $f(x + y) = f(x) + f(y)$。
- 概率论中的柯西分布，它的形状就是阿涅西曲线，而且没有平均值。
严格性
影响最大的是态度的转变。柯西之后，分析中的一个结果只有从清晰的定义出发得到证明才算数，而那些定义都是他的：极限、收敛、连续、导数、积分。下一代的魏尔斯特拉斯、戴德金和康托尔完成了这项工作，纠正了柯西过于相信直觉的地方，比如一致收敛。但他们翻修的大厦是柯西的。
其人
同时代人形容他虔诚、对穷人慷慨、不知疲倦，而且几乎无法相处。他在政治和宗教上毫不妥协，总想让同事改宗，为发现的优先权据理力争，作为科学院的审稿人下手很重。阿贝尔和伽罗瓦都有理由抱怨他，工程师让-维克托·彭赛列还指责他窃取了自己关于射影几何的想法。与此同时，他为了忠于一个誓言甘冒断送前程的风险，宁可离开巴黎八年，也不背弃自己的信念。在柯西的一生中，很难把科学家与那个有信仰、有党派的人分开。
纪念
古斯塔夫·埃菲尔在 1889 年把 72 位法国科学家和工程师的名字刻在埃菲尔铁塔上，柯西是其中之一。月球上静海里有一座柯西环形山；巴黎、索镇以及法国其他好几座城市都有以他命名的街道。
练习：柯西函数方程
在《分析教程》中，柯西证明了：对所有 $x, y$ 满足 $f(x + y) = f(x) + f(y)$ 的连续函数，只有 $f(x) = cx$ 这种形式。重做这个论证。
设 $c = f(1)$。取 $x = y = 0$，得 $f(0) = 2f(0)$，所以 $f(0) = 0$。反复相加，对每个正整数 $n$ 有 $f(n) = nf(1) = cn$；又由 $f(x) + f(-x) = f(0) = 0$，负整数也成立。对正整数 $q$，$c = f(1) = f\!\left(q \cdot \frac{1}{q}\right) = q\,f\!\left(\frac{1}{q}\right)$，所以 $f\!\left(\frac{1}{q}\right) = \frac{c}{q}$，$f\!\left(\frac{p}{q}\right) = c\,\frac{p}{q}$。公式在所有有理数上成立。每个实数都是有理数的极限，而 $f$ 连续，所以对所有 $x$，$f(x) = cx$。
练习：每三周一篇论文
柯西在 1811 年到 1857 年间发表了约 800 篇论文。平均每年多少篇？每隔多少天一篇？
共 $1857 - 1811 = 46$ 年。$\frac{800}{46} \approx 17$ 篇每年，即每 $\frac{365}{17} \approx 21$ 天一篇：每三周一篇，持续将近半个世纪，中间还穿插着革命和流亡。
来源： Bruno Belhoste，Augustin-Louis Cauchy: A Biography（1991） · Académie des sciences，Œuvres complètes d’Augustin Cauchy（1882–1974） · Judith V. Grabiner，The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus（1981） · Hans Freudenthal，“Cauchy, Augustin-Louis”，Dictionary of Scientific Biography 第 3 卷（1971）。
柯西的全部主题 · ← 弹性固体中的应力 · 图片来源 →