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直角三角形中的三角比

让我们证明将直角三角形的边的测量值与角的测量值联系起来的三个属性。它们将我们迄今为止研究的循环三角学与一切开始的三角形三角学联系起来。 故事 据说,米利都传说(公元前六世纪)通过将埃及大金字塔的影子与棍子的影子进行比较来测量埃及大金字塔的高度:在同一时刻,太阳与两个物体形成相同的角度,并且两者的高度和影子之间的比例相同。这正是本章的思想——一旦角度固定,直角三角形两条边之间的比率就固定了——尽管对于泰勒斯来说,这些比率仍然没有名称或表格。这个故事是由后来的作家写给我们的,比如第欧根尼·拉尔修斯和普鲁塔克。 米利都的泰勒斯是谁? 传说(约公元前 624–546 BC)生活在米利都,这是一座位于今土耳其海岸的富裕希腊城市,希腊人将他视为七贤之一。他被认为是第一个尝试在不求助诸神的情况下解释自然的人——对他来说,一切都来自于水——并且是第一个展示几何性质而不是仅仅使用它们的人。历史学家希罗多德说,他在公元前 585 预言了一次日食,中断了吕底亚人和米底人之间的战斗。两件轶事展示了他名气的两个方面。柏拉图说,泰勒斯在夜里散步看星星时掉进了井里,一个奴隶嘲笑他只想知道天上有什么,却看不到脚下有什么。亚里士多德说,泰勒斯指责哲学毫无用处,他通过天文学预测橄榄会大丰收,并提前租用了该地区所有的橄榄压榨机并致富——只是为了证明哲学家可以随时赚钱。 泰勒斯和大金字塔:在同一时刻,金字塔和一根棍子的高度和阴影的比例是相同的。改变太阳的高度:阴影改变,计算的高度不变。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. **书中的直角三角形。**在巴格达影子碑和现代碑之间,带有它们名字的直角三角形被绘制并重新绘制: c. 850Habash al-Hasib(艾哈迈德·伊本·阿卜杜拉)在他的天文学手稿中使用阴影和半弦。 1220比萨的列奥纳多(斐波那契)在实践几何中,将弦和三角形应用于土地的测量。 1551Rheticus,在正则三角学说中,通过直角三角形的边定义了六个函数。 1558Francesco Maurolico 编辑了墨涅拉俄斯的球面,包括球面桌子和三角形。 1620Edmund Gunter,在卡农三角中,介绍了余正弦和余切线。 来源: 故事 (MacTutor) · 第欧根尼·拉尔修斯 (Diogenes Laertius),杰出哲学家的传记,I.27 · 亚里士多德,政治,I.11。 在日常生活中 **用手机测量建筑物的高度。**测角仪应用程序可测量与顶部的角度。在距离建筑物 30 米处,对于 $40^\circ$,眼睛上方的高度为 $30\operatorname{tg} 40^\circ \approx 25{,}2$ 米。 飞机着陆。 最终下降发生在距跑道约 $3^\circ$: 10 公里处,飞机高度为 $10\,000\operatorname{tg} 3^\circ \approx 524$ 米。 **土地坡度。**测量员和工程师根据坡度的切线(以百分比表示)对土地进行分类,以确定可以建造的位置。 用手机测量建筑物的高度:距离、角度和切线。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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正切不等式

对于切线,边界不再是平行于轴的直线,而是通过中心的直线 $OT$:它将循环切割成两个直径相对的点,并且解总是成对相对于 $O$ 对称的弧 — 具有周期 $\pi$ 的切线的反射。 故事 名称切线 来自我们用来测量它的轴:线段 $\overline{AT}$ 位于 $A$ 处循环的切线上。这个词的拉丁语tangens是由丹麦数学家Thomas Fincke在Geometria rotundi (1583)一书中与secans一起引入的。此前,阿拉伯人在一项与日晷相关的研究中已经将这个星等计算为太阳照射的垂直杆的“阴影”(见第二章)。 托马斯·芬克是谁 托马斯·芬克 (1561–1656) 出生于弗伦斯堡,当时在丹麦王国,在出版Geometria rotundi(“圆的几何”)时才年仅 22 岁,这本书以切线和割线命名,并带来了定律切线(第十章)。随后,他在意大利和瑞士学习医学,从 1591 起,他成为哥本哈根大学的教授——首先是数学,然后是修辞学,最后是医学——并在那里任教超过 60 年。他于95去世,创下了当时的长寿纪录。 来源: Fincke (MacTutor) · 三角函数 — 历史 (MacTutor)。 在日常生活中 **无障碍。**巴西标准将斜坡限制为倾斜度的 8,33%:$\operatorname{tg}\alpha \le 0{,}0833$,即 $\alpha \le 4{,}76^\circ$。 **屋顶。**瓷砖需要最小坡度,约为 30%,具体取决于型号,以便排水:$\operatorname{tg}\alpha \ge 0{,}30$,即 $\alpha \ge 16{,}7^\circ$。 道路。“急坡”标志警告坡度切线超过一定值的路段,这对重型卡车来说是危险的。 可访问性范数是正切不等式:$\operatorname{tg}\alpha \le 0{,}0833$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 理论 tg x > m 的分辨率 Resumo · 路线图 在切轴上标记点 $T$,使得 $\overline{AT} = m$ 并绘制直线 $r = \overleftrightarrow{OT}$。 实数 $x$ 的图像,使得 $\operatorname{tg} x > m$ 位于圆与角 $r\hat{O}v$ 的交点处(直线 $r$ 和轴 $v$ 之间,在 $T$ 一侧),且其对边位于顶点。 描述适当的间隔。

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正切函数

切线测量连接循环中心与点 $P$ 的直线的斜率。它是在垂直轴上读取的,该垂直轴接触 $A$ 处的周期(切轴),并且与正弦和余弦不同,它可以采用任何实值。 故事 切线诞生于远离圆的地方:它诞生于阴影。一根垂直插入地面的棍子,即晷针,投射出阴影,其长度取决于太阳的高度,而阴影和棍子之间的比率,用今天的语言来说,就是切线(或余切线,取决于棍子的位置)。由于日晷和祈祷时间的存在,伊斯兰世界的天文学家需要这些比率,并且第一个已知的影子表是在 860 左右在巴格达制作的。它们通常归因于 Habash al-Hasib。一个半世纪后,al-Biruni汇集了关于阴影的详尽论文中已知的所有内容。 “tangent”这个名字只出现在托马斯·芬克的1583中(见第八章)。 哈巴什·哈西卜是谁 Ahmad ibn Abdallah al-Marwazi(c. 770–870),被称为 Habash al-Hasib —“计算器哈巴什” —,出生于中亚马尔夫,曾在巴格达哈里发宫廷工作al-Ma’mun,也是智慧之家的赞助者,在那里,希腊和印度的作品被翻译成阿拉伯语。他奉哈里发之命参加了在巴格达和大马士革进行的天文观测,并编制了流传了几个世纪的天文表。据阿拉伯传记作家记载,他活了大约一百岁。 阿拉伯天文学家的两个影子。站立的棍子在地面上投射出直影,该影子是太阳高度的余切值;插在墙上的棍子将诗句阴影投射到墙上,这就是切线。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 来源: 三角函数 (MacTutor) · al-Biruni (MacTutor)。 在日常生活中 坡道和屋顶。 坡道的坡度(以百分比表示)为 $100 \cdot \operatorname{tg}\alpha$:每水平米,8% 坡道上升 8 厘米。 阴影。 一根高度为 $h$ 的棒被太阳以角度高度 $\alpha$ 照射,投射出长度为 $\dfrac{h}{\operatorname{tg}\alpha}$ 的阴影。 斜坡的斜率(以百分比表示)是 100 乘以角度的正切。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

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切线段 — 外接四边形

从圆外一点引出两条切线,到切点的两条线段长度相等。 谁发现的 切线段相等是欧几里得的几何原本的命题III.17的直接结果,该命题教导如何通过外点绘制切线。这就产生了皮托定理:在有内切圆的四边形中,对边之和相等。法国工程师 Henri Pitot 在 1725 中发表了它(请参阅下面关于他的好奇心)。 倒数(如果对边之和相等,则四边形有内切周长)已在 19 世纪得到证明,通常归因于 Jakob Steiner。 欧几里得,文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 亨利·皮托.未知作者未知作者 · 维基共享资源 · 公共领域 雅各布·斯坦纳。作者身份不明;查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 皮托定理的证明是一个很好的例子,说明了一个简单的性质如何产生很多结果:四边形的每个顶点都是圆外的一个点,并且有两个相等的切线段。将相对的边相加,每个线段在每个总和中恰好出现一次。 皮托的职业并不是数学家。作为一名水利工程师,他在法国南部建造了渡槽和桥梁,并发明了皮托管,可测量液体和气体的速度,并为现代飞机提供动力。 在日常生活中 **皮带和皮带轮。**包含两个皮带轮的皮带的直线部分与轮子相切;在相同的滑轮上,它们具有相同的长度。 **自行车链条。**它离开齿冠相切,到达棘轮相切。 **灯塔视图。**从灯塔顶部看,接触圆岛的两条视线到接触点为止的长度相同。 飞机的速度。 皮托管与该定理由同一位工程师发明,是测量飞机相对于空气的速度的传感器。 来源: 元素,命题 III.17 · 亨利·皮托 (Wikipedia) · Steiner (MacTutor)。 理论与结构 Teorema · 切线段 如果从点 $P$ 开始,我们驱动线段 $\overline{PA}$ 和 $\overline{PB}$,两者都与圆相切,$A$ 和 $B$ 在圆上,然后是 $PA = PB$。另外,中心位于$A\hat{P}B$的角平分线处。

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两个圆的相对位置

两个圆可以是正割的、相切的、一个在另一个圆的内部或相距很远。中心之间的距离决定了情况。 谁发现的 基本情况是欧几里德(公元前300)的几何原本:两个不同的圆最多相交于两个点(命题III.10),并且当它们接触时,接触点位于连接圆心的直线上(III.11 和 III.12)。一个世纪后,Apollonius of Perga提出了关于该主题的最著名的问题:给定三个圆,为所有圆画第四条切线。 欧几里得,文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 佩尔加的阿波罗尼乌斯,后来的艺术表现。乔瓦尼·巴蒂斯塔备忘录 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 阿波罗尼乌斯关于切线的书丢失了。在1600中,法国人François Viète用尺子和圆规重构了一个解,这个问题开始被牛顿、欧拉和高斯研究。一般来说,有八种解决方案。 弗朗索瓦·维埃特。作者身份不明;查看源代码 · 维基共享资源 · 公共领域 艾萨克·牛顿。戈弗雷·内勒 (1646–1723) · 维基共享资源 · 公共领域 莱昂哈德·欧拉.雅各布·伊曼纽尔·汉德曼 (1718–1781) · 维基共享资源 · 公共领域 卡尔·弗里德里希·高斯。克里斯蒂安·阿尔布雷希特·詹森 (1792–1870) · 维基共享资源 · 公共领域 阿波罗尼乌斯的问题又回到了 20 世纪的场景:从到三个已知电台的距离中找到一个点与之相关,无线电定位技术就利用了这一推理。 在日常生活中 齿轮和滑轮。 互锁链轮由切圆建模;轴之间的距离是半径之和。 奥林匹克五环和维恩图。 割圆表示具有共同元素的集合。 **水中的波浪。**将两块石头扔进湖中会产生在两点相交的圆形波浪。 **手机的位置。**已知到两个天线的距离,该设备位于圆周相交的两个点之一;第三根天线消除了疑虑。 来源: 元素,命题 III.10 · Apollonius (MacTutor) · Viète (MacTutor)。

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直线和圆的相对位置

一条直线可以在两点处切开一个圆,也可以只接触一个圆,或者穿过很远的地方。只接触的线是切线。 谁发现的 切线性质位于 Euclid 的 几何原本 的第三卷中(c. 300 BC)。 命题 III.16 表明垂直于半径的直线在其端点处与圆相切,而 III.18 证明了相反的情况:切线在接触点垂直于半径。 tangent 这个词来自拉丁语 tangere,“触摸”。 欧几里得,文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 命题 III.16 引发了几何学中最长的争议之一。欧几里得指出,圆和切线之间的“角度”小于直线形成的任何角度。这个应急角度将大于零并且小于任何角度——这很奇怪。在 16 世纪,Jacques Peletier 和 Cristovão Clávio 争论了他是否真的是一个角度;几个世纪后这个问题才得到很好的解决。 克里斯托弗·克拉维奥。国家博物馆 · 维基共享资源 · CC0 接触点的半径垂直于切线:曲线、直线和中心之间的关系。来自博客的原始教学插图。 切线也是微分学的起点。 17 世纪,费马、笛卡尔、牛顿和莱布尼茨正在寻找一种绘制任意曲线切线的方法,而导数作为答案诞生了。 皮埃尔·德·费马。身份不明的画家 · 维基共享资源 · 公共领域 艾萨克·牛顿。戈弗雷·内勒 (1646–1723) · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 车轮落在地面上。 车轮在一个点接触街道;街道与车轮相切。 来自研磨机的火花。 火花与旋转的石头相切,从轮胎中流出的泥浆也是如此。 吊索和锤子投掷。 释放物体后,物体将沿着圆形路径的切线运动。 **道路曲线。**工程师将直线段和曲线段切向连接,这样方向盘就不需要“摇晃”。 来源: 元素,命题 III.16 · 元素,命题 III.18 · Clávio (MacTutor)。

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定义和要素

所有点到中心的距离都相同:圆的定义适合一条直线,但它隐藏了数字 π。 谁发现的 圆圈是人类历史上最古老的形式之一,从美索不达米亚的轮子(约公元前 3500 BC)到石碑。严格的定义来自欧几里得(几何原本的定义I.15到I.18):由一条线限定的图形,该线的所有点与内部点(中心)的距离相同。他的第三个公设保证可以以任意圆心和任意半径绘制圆。第一个准确计算轮廓与直径之比的人是阿基米德(公元前3世纪)。 欧几里得,文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 阿基米德,后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 所有圆圈都具有相同的形状,只是大小发生变化。因此,长度 $C$ 和直径 $2R$ 之间的比率始终相同 - 我们今天称之为 π 的数字。巴比伦人使用3或$3\tfrac{1}{8}$; Rhind 纸莎草给出的值接近 3,16。 展开后,圆的直径刚好超过三个:C = π · 2R。来自博客的原始教学插图,根据欧拉之眼系列中的人物重新设计。 阿基米德将圆包围在具有 96 条边(一条内接一条外接)的多边形之间,并得出 π 位于 $3\tfrac{10}{71}$ 和 $3\tfrac{1}{7}$ 之间的结论。符号 π 由威尔士人 William Jones 在 1706 中使用,并由 Euler 推广。 威廉·琼斯.威廉·霍加斯 (1697–1764) · 维基共享资源 · 公共领域 莱昂哈德·欧拉.雅各布·伊曼纽尔·汉德曼 (1718–1781) · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 **轮子。**轮子可以平稳旋转,因为边缘上的所有点到轴的距离都相同。 **井盖。**它们是圆形的,因为圆不会从任何位置的开口落下。 披萨和时钟。 披萨片是圆形扇形;时钟的指针是扫过表盘的射线。 指南针和 GPS。 天线或无线电信号从一个点的范围是一个圆。 来源: 元素,定义 I.15 · 阿基米德 (MacTutor) · π 的历史 (MacTutor)。