所有圆的周长与直径之比都相同，这在阿基米德之前就已为人所知。不确定的是这个比值，也就是我们今天所说的 $\pi$，到底是多少：巴比伦人有时用 $3\frac{1}{8}$，埃及人用的数接近 $3.16$。在短篇著作《圆的度量》中，阿基米德做了两件事：把圆的面积与周长联系起来，并说明怎样把 $\pi$ 算到任意想要的精度。 圆的面积 第一个命题说，圆的面积等于一个直角三角形的面积，这个三角形的两条直角边分别是半径 $r$ 和周长 $C$： $$A = \frac{1}{2}\,r\,C.$$思路是把圆切成很薄的扇形，像切比萨一样，注意到每一片几乎都是一个高为 $r$ 的三角形。阿基米德用穷竭法给出了严格的证明：他证明这个面积既不能大于也不能小于那个三角形的面积。由于 $C = 2\pi r$，公式就变成了熟悉的 $A = \pi r^2$。 夹在两个多边形之间 为了估计 $\pi$，阿基米德在圆内作内接正多边形，在圆外作外切正多边形。里面多边形的周长小于圆周，外面多边形的周长大于圆周。除以直径，$\pi$ 就被夹在两个可以计算的数之间。 他从正六边形开始。内接正六边形的周长是 $6r$，即 $3$ 个直径；外切正六边形的周长是 $4\sqrt{3}\,r \approx 6.93\,r$。然后他把边数加倍：12、24、48，最后是 96。每一步，他都利用 $n$ 边形与 $2n$ 边形之间的一个几何关系。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 最终结果是 $$3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{1}{7}, \qquad \text{即} \qquad 3.1408 < \pi < 3.1429.$$上界 $\frac{22}{7}$ 变得非常有名，至今仍是学校里常用的 $\pi$ 的近似值。
《分析讲义》第三册讲积分学：曲线下的面积、体积、长度。箕舌线提供了一个令人惊讶的例子。这条曲线永远碰不到 $x$ 轴，向两边无限延伸。尽管如此，曲线与横轴之间的区域面积却是有限的。 一个熟悉的原函数 取 $a = 1$，曲线为 $y = \frac{1}{1 + x^2}$。我们需要一个导数为 $\frac{1}{1 + x^2}$ 的函数。它是存在的，而且是老相识：反正切。若 $u = \arctan x$，则 $x = \tan u$， $$\begin{aligned} \frac{dx}{du} &= \frac{1}{\cos^2 u} = 1 + \tan^2 u = 1 + x^2 \\ &\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}. \end{aligned}$$所以 $-X$ 到 $X$ 之间的面积是 $$\int_{-X}^{X} \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan X - \arctan(-X) = 2\arctan X.$$当 $X$ 无限增大时，$\arctan X$ 趋近于 $\frac{\pi}{2}$，总面积为 $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = \pi.$$ 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。
$\pi$ 来自圆的几何，奇数来自算术。两者似乎没有任何理由相遇。但它们确实相遇了： $$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\frac19-\cdots$$把奇数的倒数交替加减，结果乘以 4，就是 $\pi$。 一个发现，三次出现 莱布尼茨于 1673 年在巴黎发现了这个公式，当时他还在跟惠更斯学数学。他把结果拿给老师看，惠更斯大为赞赏。这是莱布尼茨的第一个重大发现，也让他确信自己能成为数学家。 他并不是第一个。1671 年，苏格兰人詹姆斯·格雷戈里已经找到了反正切级数，这个公式只是它的一个特例。而大约 250 年前，喀拉拉学派的创始人、印度数学家桑加马格拉马的马德哈瓦就已经发现了同一个级数。当时的欧洲人并不知道这些工作。所以今天它被称为马德哈瓦–莱布尼茨级数或格雷戈里–莱布尼茨级数。 “神喜爱奇数” 在评论这个级数时，莱布尼茨引用了罗马诗人维吉尔的诗句：Numero Deus impare gaudet，“神喜爱奇数”。他觉得，一个与完美圆形紧密相连的数，恰恰由奇数生成，真是美妙。 证明 我们用今天的工具，分三步证明这个公式。 1. 一个等比数列的和。 公比为 $-q$ 的等比数列 $1-q+q^2-q^3+\cdots$ 有已知的求和公式。取 $q=t^2$，在第 $N$ 项处截断，加上余项后等式就是精确的： $$\frac{1}{1+t^2}=1-t^2+t^4-\cdots+(-1)^{N-1}t^{2N-2}+\frac{(-1)^Nt^{2N}}{1+t^2}.$$2. 两边从 0 到 1 积分。 左边，$\dfrac{1}{1+t^2}$ 在 0 与 1 之间的面积是 $\arctan1=\dfrac\pi4$，因为 $45°$ 的正切等于 1。右边，每个幂 $t^{2k}$ 给出 $\dfrac{1}{2k+1}$： $$\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\cdots+\frac{(-1)^{N-1}}{2N-1}+R_N.$$3. 余项趋于零。 由于 $1+t^2\ge1$，余项有界： $$|R_N|\le\int_0^1t^{2N}\,dt=\frac{1}{2N+1}.$$当 $N$ 增大时，$\dfrac{1}{2N+1}$ 趋于零，部分和可以任意接近 $\dfrac\pi4$。 美丽，但缓慢 乘以 4 后，部分和逼近 $\pi$ 的误差至多为 $\dfrac{4}{2N+1}$。这很慢： 项数 部分和 × 4 保证的最大误差 1 4 1.33 2 2.667 0.8 10 3.0418 0.19 100 3.1316 0.02 1000 3.1406 0.002 用了一千项，小数点后第三位还是错的。要得到十位正确的小数，需要数十亿项。这个级数非常适合理解 $\pi$，却非常不适合计算 $\pi$。如今计算出数万亿位的计算机，用的是其他快得多的公式。