《分析讲义》第三册讲积分学：曲线下的面积、体积、长度。箕舌线提供了一个令人惊讶的例子。这条曲线永远碰不到 $x$ 轴，向两边无限延伸。尽管如此，曲线与横轴之间的区域面积却是有限的。

一个熟悉的原函数

取 $a = 1$，曲线为 $y = \frac{1}{1 + x^2}$。我们需要一个导数为 $\frac{1}{1 + x^2}$ 的函数。它是存在的，而且是老相识：反正切。若 $u = \arctan x$，则 $x = \tan u$，

$$\begin{aligned} \frac{dx}{du} &= \frac{1}{\cos^2 u} = 1 + \tan^2 u = 1 + x^2 \\ &\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}. \end{aligned}$$

所以 $-X$ 到 $X$ 之间的面积是

$$\int_{-X}^{X} \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan X - \arctan(-X) = 2\arctan X.$$

当 $X$ 无限增大时，$\arctan X$ 趋近于 $\frac{\pi}{2}$，总面积为

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1 + x^2} = \pi.$$

四个圆

对任意直径 $a$，作变量代换 $x = a u$，得

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{a^3}{x^2 + a^2}\,dx = a^2 \int_{-\infty}^{\infty} \frac{du}{1 + u^2} = \pi a^2.$$

生成曲线的圆直径为 $a$，即半径为 $\frac{a}{2}$，面积为 $\pi\frac{a^2}{4}$。箕舌线下的面积恰好是圆面积的四倍。这正是 18 世纪数学家喜爱的那种干净利落的结果，阿涅西把它作为新微积分威力的例子。

莱布尼茨级数

同一个积分还解释了数学中最美的公式之一。当 $|x| < 1$ 时，几何级数求和给出

$$\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$$

从 0 到 1 逐项积分，并记得 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$：

$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$$

这就是莱布尼茨级数，发表于 1682 年，印度喀拉拉学派的数学家更早就知道它。用箕舌线的话来说：曲线下从 0 到 1 的面积恰好是 $\frac{\pi}{4}$，与生成它的直径为 1 的圆面积相同。

练习：−1 到 1 之间的面积

计算 $y = \frac{1}{1 + x^2}$ 在 $x = -1$ 和 $x = 1$ 之间的面积。它占总面积的几分之几？

$2\arctan 1 = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$。总面积是 $\pi$，所以 $-1$ 到 $1$ 之间（对应 $-a$ 到 $a$）的部分占了一半面积。另一半在向无穷远延伸的两条尾巴里。

练习：莱布尼茨级数收敛得很慢

把级数的前四项 $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7}$ 加起来，与 $\frac{\pi}{4} \approx 0.7854$ 比较。

$1 - 0.3333 + 0.2 - 0.1429 = 0.7238$。误差约 0.06，仍然很大。由于各项只按 $\frac{1}{2n+1}$ 减小，要算准五位小数大约需要十万项。这个级数很美，但用来计算 $\pi$ 却很糟糕。

来源： Maria Gaetana Agnesi，Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana，第二卷（1749），第三册 · Gottfried Wilhelm Leibniz，“De vera proportione circuli ad quadratum circumscriptum in numeris rationalibus”，Acta Eruditorum（1682） · Ranjan Roy，“The Discovery of the Series Formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha”，Mathematics Magazine 63（1990）。

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