牛顿用一条定律解释了行星的轨道，但他知道这条定律带来了一个问题。每颗行星都受太阳吸引，也受其他行星的一点点吸引。这些小小的吸引会随时间累积。牛顿怀疑，从长远看，太阳系会变得混乱，需要上帝不时出手，把它重新整理好。 木星与土星之谜 天文学家有理由担心。比较古代和近代的观测，埃德蒙·哈雷在 1695 年注意到，木星似乎走得越来越快，土星越来越慢。如果这是一个永久的趋势，木星最终会掉进太阳，土星会消失在太空中。欧拉和拉格朗日都试图解释这一现象，但没有成功。 1785 年，拉普拉斯找到了答案。这不是趋势，而是一种非常缓慢的振荡，周期将近 900 年。天文学家只看到了其中一小段，把这一段误当成了直线。 五圈对两圈 关键在于周期。木星绕太阳一圈约需 11.86 年，土星约需 29.46 年。也就是说，它们每年前进 $$n_J = \frac{360^\circ}{11.86} \approx 30.35^\circ, \qquad n_S = \frac{360^\circ}{29.46} \approx 12.22^\circ.$$请注意，土星的两圈和木星的五圈几乎一样长：$2 \times 29.46 = 58.9$ 年，$5 \times 11.86 = 59.3$ 年。我们说这两颗行星接近 5 比 2 的共振。起作用的差是 $$2n_J - 5n_S \approx 60.70^\circ - 61.10^\circ = -0.40^\circ \text{ 每年}.$$这个差很小，正因如此，扰动需要很久才能消解：这个角转完整一圈需要 $$\frac{360^\circ}{0.40^\circ \text{ 每年}} \approx 880 \text{ 年}.$$三角形上的合 还有一种直观的方式来看同一件事。两颗行星与太阳排成一线，即发生合，每隔 $$\frac{1}{\frac{1}{11.86} - \frac{1}{29.46}} \approx 19.86 \text{ 年}$$发生一次，每次合都比上一次前移约 $242.7^\circ$。连续三次合前移 $3 \times 242.7^\circ = 728.1^\circ$，也就是两整圈再加 $8.1^\circ$。所以合几乎总是落在天空中同样的三个位置，构成一个近似等边三角形的三个顶点，而这个三角形在缓慢旋转。正是在这些位置，一颗行星对另一颗的拉扯不断重复、叠加：