牛顿用一条定律解释了行星的轨道，但他知道这条定律带来了一个问题。每颗行星都受太阳吸引，也受其他行星的一点点吸引。这些小小的吸引会随时间累积。牛顿怀疑，从长远看，太阳系会变得混乱，需要上帝不时出手，把它重新整理好。

木星与土星之谜

天文学家有理由担心。比较古代和近代的观测，埃德蒙·哈雷在 1695 年注意到，木星似乎走得越来越快，土星越来越慢。如果这是一个永久的趋势，木星最终会掉进太阳，土星会消失在太空中。欧拉和拉格朗日都试图解释这一现象，但没有成功。

1785 年，拉普拉斯找到了答案。这不是趋势，而是一种非常缓慢的振荡，周期将近 900 年。天文学家只看到了其中一小段，把这一段误当成了直线。

五圈对两圈

关键在于周期。木星绕太阳一圈约需 11.86 年，土星约需 29.46 年。也就是说，它们每年前进

$$n_J = \frac{360^\circ}{11.86} \approx 30.35^\circ, \qquad n_S = \frac{360^\circ}{29.46} \approx 12.22^\circ.$$

请注意，土星的两圈和木星的五圈几乎一样长：$2 \times 29.46 = 58.9$ 年，$5 \times 11.86 = 59.3$ 年。我们说这两颗行星接近 5 比 2 的共振。起作用的差是

$$2n_J - 5n_S \approx 60.70^\circ - 61.10^\circ = -0.40^\circ \text{ 每年}.$$

这个差很小，正因如此，扰动需要很久才能消解：这个角转完整一圈需要

$$\frac{360^\circ}{0.40^\circ \text{ 每年}} \approx 880 \text{ 年}.$$

三角形上的合

还有一种直观的方式来看同一件事。两颗行星与太阳排成一线，即发生合，每隔

$$\frac{1}{\frac{1}{11.86} - \frac{1}{29.46}} \approx 19.86 \text{ 年}$$

发生一次，每次合都比上一次前移约 $242.7^\circ$。连续三次合前移 $3 \times 242.7^\circ = 728.1^\circ$，也就是两整圈再加 $8.1^\circ$。所以合几乎总是落在天空中同样的三个位置，构成一个近似等边三角形的三个顶点，而这个三角形在缓慢旋转。正是在这些位置，一颗行星对另一颗的拉扯不断重复、叠加：

三角形转过 $120^\circ$ 后又和原来一样，所以周期是 $\frac{120^\circ}{8.1^\circ} \approx 15$ 组三次合，即 $15 \times 3 \times 19.86 \approx 890$ 年：换一条路，得到同一个周期。拉普拉斯算出，在一个周期里，土星相对平均位置超前和落后约 $0.8^\circ$，木星约 $0.35^\circ$，方向总是相反。他用这个修正编制的星表与两千年的观测相符。

太阳系会自我修正

关于木星和土星的结果，是一个更大计划的一部分。早在 1773 年，24 岁的拉普拉斯就证明了：在一阶近似下，决定每颗行星轨道大小和周期的半长轴不随时间改变；扰动使它们振荡，但不会无限增长。1787 年，他用同样的方法解释了另一个古老的谜——月球的视加速，把它归因于地球轨道偏心率的缓慢变化。

结论看来是完整的：天空中的不规则是周期性的，会相互抵消。太阳系是一台稳定的机器，不需要外来的调整。传说中拉普拉斯在拿破仑面前说他不需要上帝这个“假设”来解释天空，正是源于这个结果。

练习：海王星与冥王星的共振

海王星绕太阳一圈约需 164.8 年，冥王星约需 248.0 年。两者之间有什么简单的共振？

计算比值：$\frac{248.0}{164.8} \approx 1.505 \approx \frac{3}{2}$。海王星转三圈（$3 \times 164.8 = 494.4$ 年）的时候，冥王星转两圈（$2 \times 248.0 = 496.0$ 年）。这是 3 比 2 的共振，正是它让两者无法靠近，尽管冥王星的轨道与海王星的轨道相交。

练习：会合周期

证明：若两颗行星的周期为 $T_1 < T_2$，则相继两次合之间的时间为 $\frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}$，并应用于木星和土星。

在时间 $t$ 内，较快的行星前进 $\frac{360^\circ t}{T_1}$，较慢的前进 $\frac{360^\circ t}{T_2}$。当较快的行星多走一整圈时，发生新的合：$\frac{t}{T_1} - \frac{t}{T_2} = 1$，即 $t = \frac{T_1 T_2}{T_2 - T_1}$。对木星和土星：$\frac{11.86 \times 29.46}{17.60} \approx 19.85$ 年。

来源： Pierre-Simon Laplace，“Théorie de Jupiter et de Saturne”，Mémoires de l’Académie royale des sciences（1785，1788 年出版） · Curtis Wilson，“The Great Inequality of Jupiter and Saturn: from Kepler to Laplace”，Archive for History of Exact Sciences 33（1985） · Jacques Laskar，“A numerical experiment on the chaotic behaviour of the Solar System”，Nature 338（1989） · Charles C. Gillispie，Pierre-Simon Laplace（1997）。

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