一颗发光的星，如果密度与地球相同、直径是太阳的 250 倍，那么由于它的引力，它的任何光线都无法到达我们这里。因此，宇宙中最大的发光天体，可能正因为如此而看不见。 — 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯，《宇宙体系论》（1796） 这几句话出现在《宇宙体系论》的第一版。拉普拉斯写下它们的时候，人们和牛顿一样相信光是由微粒组成的。如果光是一群微粒，引力就应该像拉一块石头那样拉住它们。那么，如果一颗星足够致密，它发出的光就会像向上抛出的石头一样落回去。 逃逸速度 从质量为 $M$、半径为 $R$ 的天体表面以速度 $v$ 向上抛出的石头，只有当它的动能胜过引力能时才能永远逃离： $$\frac{1}{2}mv^2 \ge \frac{GMm}{R} \quad\Longleftrightarrow\quad v \ge v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.$$石头的质量消掉了：逃逸速度 $v_e$ 只取决于天体。地球上约为 11.2 千米/秒，太阳上为 618 千米/秒。 密度与大小 对于密度为 $\rho$ 的天体，质量为 $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$。代入得 $$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\rho} = R\,\sqrt{\frac{8\pi G\rho}{3}}.$$密度固定时，逃逸速度与半径成正比。这正是拉普拉斯的推理。他从太阳出发，$v_e = 618$ 千米/秒，平均密度 1.41 克/立方厘米，设想一个大 250 倍、密度与地球相同（5.51 克/立方厘米）的天体： $$v_e \approx 618 \times 250 \times \sqrt{\frac{5.51}{1.41}} \approx 618 \times 250 \times 1.98 \approx 305\,000 \text{ 千米/秒},$$比光速 $c \approx 300\,000$ 千米/秒略大。这样的天体发出的光逃不出来。
要知道一颗行星如何吸引一个点，就得把它每一块的吸引力加起来。每一块都朝不同方向拉，而力的相加很费事：它们是向量，每个有三个分量。18 世纪的数学家发现了一条捷径，拉普拉斯把它变成了一件工具。 加数而不是加箭头 对于集中在一点的质量 $M$，考虑这个数 $$V = \frac{M}{r},$$其中 $r$ 是到该质量的距离（我们略去常数 $G$）。这个后来被称为势的数包含了力的全部信息：吸引力在每个方向上的分量，就是 $V$ 在该方向上的导数。最大的好处是，对于多个质量，势像数一样直接相加。先把行星所有部分的势加起来，再求一次导数，就得到力。 方程 拉普拉斯注意到，在质量之外的任何一点，势都服从一个非常简单的方程： $$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0.$$今天我们写作 $\nabla^2 V = 0$，符号 $\nabla^2$ 称为拉普拉斯算子。拉普拉斯 1782 年在一篇关于行星形状的论文中以球坐标形式发表了这个方程，1787 年研究土星环时又给出了上面的直角坐标形式。 不妨对原点处的单个质量验证一下。设 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，$V = \frac{1}{r}$： $$\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{x}{r^3}, \qquad \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3x^2}{r^5}.$$把三个方向相加： $$\nabla^2 V = -\frac{3}{r^3} + \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = -\frac{3}{r^3} + \frac{3}{r^3} = 0.$$由于方程是线性的，解的和仍是解：任何一组质量的势在质量之外都满足它。满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。 方程说了什么 这个方程有一个简单的解读。把平面分成点的网格。在离散形式下，$\nabla^2 V = 0$ 是说每一点的值等于四个相邻点的平均值：