Euler's Eyes
2026-10-30
暗星
一颗发光的星，如果密度与地球相同、直径是太阳的 250 倍，那么由于它的引力，它的任何光线都无法到达我们这里。因此，宇宙中最大的发光天体，可能正因为如此而看不见。
— 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯，《宇宙体系论》（1796）
这几句话出现在《宇宙体系论》的第一版。拉普拉斯写下它们的时候，人们和牛顿一样相信光是由微粒组成的。如果光是一群微粒，引力就应该像拉一块石头那样拉住它们。那么，如果一颗星足够致密，它发出的光就会像向上抛出的石头一样落回去。
逃逸速度
从质量为 $M$、半径为 $R$ 的天体表面以速度 $v$ 向上抛出的石头，只有当它的动能胜过引力能时才能永远逃离：
$$\frac{1}{2}mv^2 \ge \frac{GMm}{R} \quad\Longleftrightarrow\quad v \ge v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.$$石头的质量消掉了：逃逸速度 $v_e$ 只取决于天体。地球上约为 11.2 千米/秒，太阳上为 618 千米/秒。
密度与大小
对于密度为 $\rho$ 的天体，质量为 $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$。代入得
$$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\rho} = R\,\sqrt{\frac{8\pi G\rho}{3}}.$$密度固定时，逃逸速度与半径成正比。这正是拉普拉斯的推理。他从太阳出发，$v_e = 618$ 千米/秒，平均密度 1.41 克/立方厘米，设想一个大 250 倍、密度与地球相同（5.51 克/立方厘米）的天体：
$$v_e \approx 618 \times 250 \times \sqrt{\frac{5.51}{1.41}} \approx 618 \times 250 \times 1.98 \approx 305\,000 \text{ 千米/秒},$$比光速 $c \approx 300\,000$ 千米/秒略大。这样的天体发出的光逃不出来。
临界半径
也可以固定质量，问天体需要收缩到多小。当 $v_e = c$ 时，光被困住：
$$\sqrt{\frac{2GM}{R}} = c \quad\Longleftrightarrow\quad R = \frac{2GM}{c^2}.$$对太阳，$G = 6.67 \times 10^{-11}$，$M = 1.99 \times 10^{30}$ 千克，$c = 3.0 \times 10^8$ 米/秒：
$$R = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30}}{(3.0 \times 10^8)^2} \approx 2\,950 \text{ 米}.$$整个太阳被压进一个半径 3 千米的球里。
练习：把地球变成黑洞
地球质量为 $5.97 \times 10^{24}$ 千克。它的临界半径 $R = \frac{2GM}{c^2}$ 是多少？
$R = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{9.0 \times 10^{16}} \approx 8.8 \times 10^{-3}$ 米。整个地球可以装进一个半径 9 毫米的球里，相当于一颗玻璃弹珠。
练习：比例
用公式 $v_e = R\sqrt{\frac{8\pi G\rho}{3}}$ 回答：密度与太阳相同的天体，半径要是太阳的多少倍才能困住光？
密度相同时，$v_e$ 与 $R$ 成正比。需要把 618 千米/秒放大到 300 000 千米/秒：$\frac{300\,000}{618} \approx 485$。密度与太阳相同、半径约为太阳 485 倍的天体就是暗的。拉普拉斯得到 250，是因为他用了大约四倍的密度，即地球的密度，而 $\frac{485}{\sqrt{3.9}} \approx 246$。
来源： Pierre-Simon Laplace，Exposition du système du monde（1796），第五卷第六章 · Pierre-Simon Laplace，“Beweis des Satzes, dass die anziehende Kraft bey einem Weltkörper so groß seyn könne, dass das Licht davon nicht ausströmen kann”，Allgemeine geographische Ephemeriden 4（1799） · John Michell，“On the Means of Discovering the Distance, Magnitude, &c. of the Fixed Stars”，Philosophical Transactions 74（1784） · Kip Thorne，Black Holes and Time Warps（1994）。
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