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虚功原理

在任意力的任何平衡中，无论这些力以何种方式施加，正能量之和都等于负能量之和。 — 约翰·伯努利致皮埃尔·瓦里尼翁的信（1717 年 1 月 26 日） 从阿基米德起，每一种简单机械都有自己的一套解释。杠杆遵循力臂定律；斜面遵循斯蒂文发明的力的分解；滑轮靠关于绳子的推理；螺旋又是另一回事。1717 年，约翰·伯努利在给法国朋友皮埃尔·瓦里尼翁的信中证明，这些定律全都是 同一个原理 的特例。 想法：只动一点点 设想一台处于平衡的静止机械。现在设想你在思想中让它移动一段极小的距离，同时遵守它的约束：杠杆绕支点转动，绳子不伸长，木块不离开斜面。这种想象中的位移叫作 虚位移，因为它并不真的发生。 在每个受力 $F_i$ 的点上，该点沿力的方向移动了一点点 $\delta s_i$。乘积 $F_i\,\delta s_i$ 就是这个力的 虚功。约翰称之为 能量，这是这个词第一次以接近今天的含义出现。原理说： $$\boxed{\ \text{平衡时，}\quad\sum_i F_i\,\delta s_i=0\ \text{ 对一切虚位移成立。}\ }$$帮助运动的力所做的功，等于阻碍运动的力所做的功。静止的机械不能无中生有地产生功。 阿基米德的杠杆 一根杠杆上，重物 $P_1$ 和 $P_2$ 分别距支点 $a$ 和 $b$。让杠杆转过一个极小的角 $\delta\theta$。$P_1$ 一侧下降 $a\,\delta\theta$，$P_2$ 一侧上升 $b\,\delta\theta$。下降的重物做正功，上升的做负功： $$P_1\,a\,\delta\theta-P_2\,b\,\delta\theta=0\quad\Longrightarrow\quad P_1\,a=P_2\,b.$$这就是阿基米德定律，不需要任何相似三角形的图形：$\delta\theta$ 直接约掉了。 滑轮 在一组滑轮中，重物 $W$ 由 $n$ 段绳子吊着，一个人用力 $F$ 拉绳子的自由端。如果重物上升 $\delta h$，$n$ 段绳子每段都缩短 $\delta h$，这些绳子全都从自由端出来，自由端移动 $n\,\delta h$。所以 $$F\cdot n\,\delta h-W\,\delta h=0\quad\Longrightarrow\quad F=\frac Wn.$$用四段绳子，只需 25 千克的力就能提起 100 千克。但要在距离上付出代价：重物上升 1 米，就得拉动 4 米绳子。

October 13, 2026 阅读
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克拉德尼图形与振动板奖

在一块从中心固定的金属板上撒上沙子，用小提琴弓擦过它的边缘。金属板开始“歌唱”，而沙子像有了自己的意志一样，从一些地方逃开，聚到另一些地方，画出线条、十字、星形和对称的曲线。换一个音，图案就变了。这就是克拉德尼图形。 如何激发克拉德尼板：板从中心固定，用小提琴弓擦过边缘。出自 1879 年一本书中的版画。作者不详，1879 · Wikimedia Commons · 公有领域 看得见的声音 德国人恩斯特·克拉德尼在 1787 年出版的《关于声音理论的发现》一书中发表了这些图形。定性的解释很简单。板振动时，几乎所有的点都在上下运动，把沙子抛开。但有些线保持不动：这就是节线。沙子滑到那里就停住了。图案是板上不动之处的地图。 克拉德尼带着他的金属板周游欧洲。1808 年，他在巴黎向拿破仑演示，皇帝着了迷，向科学院提供了一枚一千克重的金质奖章，奖给能给出解释这些图形的弹性曲面数学理论的人。 为什么这么难 对于振动的弦，数学早已准备好了。1747 年达朗贝尔写出了弦的方程，欧拉和丹尼尔·伯努利解释了弦振动时发出的音，其频率是最低音频率的整数倍：$f, 2f, 3f, \ldots$ 弦是一条线，把它拉回来的力取决于它倾斜了多少。 板则不同。它抵抗的是被弯曲，就像一把金属尺，而且它同时在两个方向上弯曲。欧拉曾试图研究钟，丹尼尔的侄子雅各布·伯努利曾把板想象成交叉梁组成的网格，都没有成功。评审委员拉格朗日认为当时的方法还不够。只有一个人参赛。 三次尝试 索菲·热尔曼从一个假设出发：板抵抗的力与它的曲率成正比，而在曲面上，这意味着把两个主方向上的曲率相加。1811 年，她提交了论文。论文中有计算错误，奖项没有颁发。但拉格朗日根据她的假设修正了计算，得到了板的微小位移 $z(x,y,t)$ 的正确方程： $$\begin{aligned}&\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}+k^2\Bigg(\frac{\partial^4 z}{\partial x^4}+2\,\frac{\partial^4 z}{\partial x^2\,\partial y^2}\\&\qquad\qquad+\frac{\partial^4 z}{\partial y^4}\Bigg)=0.\end{aligned}$$注意其中的四阶导数。弦的方程只有二阶导数。更高的阶数正是抵抗弯曲的标志。 竞赛重新开放。1813 年，索菲证明了这个方程能再现克拉德尼的几种图形，获得荣誉提名。1816 年，第三次参赛，她获奖了。评审仍然指出了物理论证和板边缘条件上的缺口，这些直到 1850 年才由古斯塔夫·基尔霍夫解决。但这个方程，今天写作 $\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}+k^2\,\Delta^2 z=0$，正是工程师至今用来计算楼板、机翼和吉他面板的方程。 画出图形 对于正方形板，节线的一个经典近似由下面这样的组合给出： $$\cos(n\pi x)\cos(m\pi y)\pm\cos(m\pi x)\cos(n\pi y)=0,$$其中 $x$ 和 $y$ 在 0 和 1 之间。下图就是用这个公式画的：每个正方形是一块板，浅色的线就是沙子会聚集的地方。 简化模型中正方形板的节线，取几组 m、n 和符号的值。沙子聚集在浅色的线上。Euler’s Eyes 绘图 吉他与小提琴 制琴师至今仍在使用克拉德尼图形。他们在还没装上的小提琴或吉他面板上撒上粉末，用扬声器让它振动，观察图案。如果节线不在应在的位置，就在这里那里刨掉一点木头，再试一次，直到面板“唱”得正好。

October 13, 2026 阅读
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欧几里得算法：最大公约数

欧几里得算法是所有算法的老祖宗，因为它是流传至今的最古老的非平凡算法。 — 高德纳，《计算机程序设计艺术》第二卷（1969） 你有两根杆子，一根长 252 厘米，一根长 105 厘米，想找一把最长的尺，能把两根都恰好量整数次。用今天的话说，你要的是 最大公约数 $\gcd(252,105)$。可以把每个数的约数都列出来，再找最大的公共约数，但数一大，这就行不通了。在《几何原本》第七卷中，欧几里得教了一个快得多的方法。 用大的减去小的 欧几里得在命题 VII.1 和 VII.2 中的想法很简单：能量尽两根杆子的尺，也能量尽它们的 差。所以，不必找 252 和 105 的公共度量，可以改找 105 和 $252-105=147$ 的，再找 105 和 $147-105=42$ 的。总是用大的减去小的，直到两者相等： $$(252,105)\to(147,105)\to(42,105)\to(42,63)\to(42,21)\to(21,21).$$两个数都变成了 21。这就是最大公约数。希腊人把这个过程称为 antanairesis，“辗转相减”。（中国古代《九章算术》中的"更相减损术"与此相同。） 用除法的版本 多次减去同一个数，就是除法。把重复的减法合并成带余除法，算法就更短了： $$\begin{aligned}252&=2\cdot105+42\\105&=2\cdot42+21\\42&=2\cdot21+0\end{aligned}$$最后一个非零余数就是最大公约数： $$\boxed{\gcd(252,105)=21.}$$为什么行得通 如果 $a=qb+r$，那么： 每个同时整除 $a$ 和 $b$ 的数，也整除 $r=a-qb$； 每个同时整除 $b$ 和 $r$ 的数，也整除 $a=qb+r$。 数对 $(a,b)$ 和 $(b,r)$ 的公约数完全相同，所以 $\gcd(a,b)=\gcd(b,r)$。那么算法为什么会 结束？因为余数是每一步都在减小的正整数，$42>21>0$，而正整数不可能无限地减小下去。总有一刻余数为零，而 $\gcd(d,0)=d$。 这个算法很快。法国人加布里埃尔·拉梅在 1844 年证明，除法的次数永远不会超过两个数中较小者位数的五倍。对一百位的数，最多只需 500 次除法。 倒推回去 这些计算还能把最大公约数写成两个数的 组合。从下往上倒推： $$\begin{aligned}21&=105-2\cdot42\\&=105-2\cdot(252-2\cdot105)\\&=5\cdot105-2\cdot252.\end{aligned}$$验算：$525-504=21$。一般地，对任意 $a$ 和 $b$，存在整数 $x$ 和 $y$ 使 $ax+by=\gcd(a,b)$。这就是 裴蜀等式，而倒推的过程叫作 扩展欧几里得算法。

October 12, 2026 阅读
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广义相对论：从电梯到索布拉尔日食

我正坐在伯尔尼专利局的椅子上，突然想到：一个人如果自由下落，他就感觉不到自己的重量。我吃了一惊。这个简单的想法给我留下了深刻的印象，它推动我走向一种引力理论。 — 阿尔伯特·爱因斯坦，谈 1907 年的一个想法 1905 年的相对论有一个缺陷：它没有包括引力。牛顿定律说，太阳隔着 1.5 亿千米瞬间吸引地球；而相对论说，没有什么比光传得更快。爱因斯坦花了八年时间试图解决这个问题。出发点是他所说的"一生中最快乐的想法"。 下坠的电梯 设想你在一部缆绳断了的电梯里。你和电梯里的一切以相同的加速度一起下落。如果你松手放开一个苹果，它就飘在你面前。在电梯里，就好像没有引力一样。空间站上的宇航员时时刻刻都在体验这一点：他们飘浮不是因为远离地球，而是因为在绕着地球下落。 反过来也一样：在远离一切的太空中，一枚以 $9.8$ m/s² 加速的火箭里，你会感到双脚紧压着地板，和在地球上一模一样。在一个小舱室里做的任何实验，都无法区分引力和加速度。这就是 等效原理。 现在在加速的火箭里水平打开一支手电筒。在光穿过舱室的过程中，火箭向上运动，光到达对面舱壁的位置比出发点略低：在火箭里，光走的是一条曲线。既然引力与加速度无法区分，那么 引力也会使光弯曲。 引力就是几何 爱因斯坦把这个想法推到了极致：引力不是一种力，而是 空间和时间的形状。像太阳这样的大质量物体使周围的时空弯曲，自由下落的物体——包括光——只是沿着这个弯曲空间中尽可能直的线，即 测地线 运动。地球绕太阳转，不是因为被拉着，而是因为它在被太阳弯曲的空间里"走直线"。 要把这一点写出来，爱因斯坦需要弯曲空间的几何，那是 高斯 开创、黎曼推广的，而他并不熟悉。他请朋友马塞尔·格罗斯曼帮忙，经历了多年的尝试和失败。1915 年 11 月 25 日，他向普鲁士科学院提交了 场方程： $$G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}.$$左边的 $G_{\mu\nu}$ 描述时空的 曲率；右边的 $T_{\mu\nu}$ 描述那里的 物质和能量。物理学家约翰·惠勒总结道：“物质告诉空间如何弯曲；空间告诉物质如何运动。” 这是十个相互交织的方程，解起来很难；但在弱场下，它们又回到了牛顿的引力。 第一个检验：水星 水星的轨道不是一个完全固定的椭圆：椭圆本身在缓慢地绕太阳转动。这种转动几乎全部可以用其他行星的吸引来解释，但还剩下 每世纪 43 角秒，牛顿物理学解释不了。有人提出在水星和太阳之间有一颗看不见的行星，叫作"火神星"。 1915 年 11 月，爱因斯坦用他的方程计算了这个效应，得到的恰好是每世纪 43 角秒。他写信告诉一位朋友，他好几天都"高兴得忘乎所以"，感到心跳加快。 第二个检验：偏折的光 对于掠过太阳的一束光，理论预言的偏折角为 $$\alpha=\frac{4GM_\odot}{R_\odot c^2}.$$取 $GM_\odot\approx1.327\times10^{20}$ m³/s²，太阳半径 $R_\odot\approx6.96\times10^8$ m， $$\alpha\approx\frac{4\cdot1.327\times10^{20}}{6.96\times10^8\cdot9\times10^{16}}\approx8.5\times10^{-6}\ \text{rad}\approx1.75''.$$这相当于从 3 千米外看一枚硬币的视大小。要测出它，就得拍摄出现在太阳旁边的恒星，再与几个月后夜里太阳移到天空别处时这些恒星的位置作比较。但太阳旁边的星星只有在 日全食 时才看得见。 英国考察队在塞阿拉州索布拉尔架设的望远镜，为 1919 年 5 月 29 日的日食做好了准备。Charles Davidson · Wikimedia Commons · 公有领域 索布拉尔，1919 年 5 月 29 日 1919 年 5 月 29 日的日食条件理想：太阳正好位于一群明亮的恒星——毕星团前面。全食带经过巴西北部和非洲沿岸。英国皇家天文学会派出两支考察队：阿瑟·爱丁顿去了几内亚湾的普林西比岛，安德鲁·克罗姆林和查尔斯·戴维森去了塞阿拉州的 索布拉尔。里约热内卢国家天文台的天文学家也在索布拉尔，研究日冕。

October 12, 2026 阅读
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黄金定理：大数定律

即使是最愚笨的人，也凭着某种天性，无需任何指点就自己相信：观察的次数越多，偏离目标的危险就越小。 — 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第四部分 对一颗骰子，我们事先就知道每一面的机会：$\frac16$。可是，一个 40 岁的男人再活二十年的机会是多少？明天下雨的机会呢？一种药有效的机会呢？这些情形里没有相同的面可以数。雅各布提出了另一条路：多次观察，用频率来估计概率。如果在许多 40 岁的男人中，有一半活到了 60 岁，那么这个机会应该接近一半。 正如上面的引文所说，人人都已经这样想了。雅各布的问题更深一层：这能 证明 吗？随着观察次数增加，频率真的会接近概率吗，还是误差可能一直很大？要达到实际上的确定，需要多少次观察？他花了二十年才回答这个问题，并且对结果非常自豪，称之为 黄金定理。 罐子 雅各布用一个看不见内部的罐子来表述这个问题：罐中有 3 000 颗白石子和 2 000 颗黑石子。不能往里看的人想知道白石子所占的比例，也就是 $\frac35$。为此，他取出一颗石子，记下颜色，放回去，再重复。 $n$ 次抽取中有 $S_n$ 次白色，观察到的频率就是 $\frac{S_n}n$。精确的问题是：需要抽多少次，才能 道德上确定，也就是以至少 $\frac{1000}{1001}$ 的机会保证频率落在 $\frac{29}{50}$ 与 $\frac{31}{50}$ 之间，即与 $\frac35$ 相差不到 $\frac1{50}$？ 定理说了什么 雅各布的回答有两部分。第一部分是定性的：对任何误差范围 $\varepsilon$，不论多小，当 $n$ 增大时，频率偏离 $p$ 超过 $\varepsilon$ 的机会趋于零。用今天的语言写， $$\boxed{\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{S_n}n-p\right|>\varepsilon\right)=0.}$$这是 大数定律 的第一个版本，这个名称是泊松在 1837 年起的。第二部分是数值的：雅各布算出，对这个罐子，25 550 次抽取 就足以达到道德上的确定。 模拟的抛硬币。起初正面所占比例波动很大；抛了几千次后，它接近 1/2。横轴采用对数刻度。Euler’s Eyes 绘图 用今天的工具证明 雅各布的证明用了好几章篇幅，讨论二项式各项之间的不等式。今天，同样的想法用几行就能写完，用到的是俄国人切比雪夫在 1867 年发表的一个不等式。 每次抽取，白石子记为 $1$，黑石子记为 $0$。每次抽取的均值是 $p$，它的 方差，即围绕均值波动的程度，是 $p(1-p)$。把 $n$ 次独立抽取相加再除以 $n$，均值仍是 $p$，方差却除以了 $n$：

October 11, 2026 阅读
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神秘六边形：圆锥曲线上的六个点

1640 年 2 月，巴黎流传着一张只印了一面的纸，像一张告示，标题是《圆锥曲线论》。上面没有证明，只有定义、三个引理和一串结论。作者 16 岁，名叫布莱兹·帕斯卡。 梅森神父把这张纸拿给笛卡儿看，笛卡儿的反应是怀疑：他认为这个年轻人的东西全是从吉拉尔·德萨格那里学来的。德萨格是帕斯卡敬佩的建筑师和几何学家。德萨格的影响确实存在，帕斯卡本人也承认这一点。但这张纸上的核心结论是全新的。 圆锥曲线 用一个平面去截一个圆锥。根据倾斜的角度不同，截口的边缘会是椭圆、抛物线或双曲线；圆是椭圆的一种特殊情况。这些曲线统称圆锥曲线，从公元前 3 世纪的阿波罗尼奥斯起就有人研究。 德萨格有一个改变了这门学问的想法：把圆锥曲线看作圆的影子。用手电筒照一个圆，它投在墙上的影子可以是椭圆、抛物线或双曲线。所以，圆的某个性质如果只涉及点和直线，不涉及距离和角度的测量，那它在影子里也会保留下来，对所有圆锥曲线都成立。这就是射影几何的思想。 六边形定理 在一条圆锥曲线上按顺序标出六个点 $A,B,C,D,E,F$，把它们连成一个六边形。相对的边是 $AB$ 和 $DE$、$BC$ 和 $EF$、$CD$ 和 $FA$。把每一对延长，直到它们相交： $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$帕斯卡定理说：$P$、$Q$、$R$ 三点总在同一条直线上。 这六个点在曲线上可以按任意顺序排列，六边形甚至可以自己和自己相交。如果两条对边平行，它们就交于一个“无穷远点”，而那条直线就与它们平行。帕斯卡把这个图形叫作神秘六边形。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 四百条推论 据梅森说，帕斯卡从这一条定理推出了大约四百条推论，其中包括阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的几乎全部成果。大约在 1654 年，他写成了一部完整的论著。1676 年，莱布尼茨在巴黎读到了这份手稿，认为写得极好，并建议帕斯卡的家人出版。可是没有人出版它，这部论著就这样失传了。 在抛物线上验证 我们用计算来检验这条定理。在抛物线 $y=x^2$ 上取横坐标为 $0,1,2,3,4,7$ 的六个点： $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$先介绍一个捷径。经过抛物线上横坐标为 $u$ 和 $v$ 的两点的直线是 $$y=(u+v)x-uv.$$确实，在 $x=u$ 处它的值是 $u^2+uv-uv=u^2$，在 $x=v$ 处是 $v^2$。下面计算三个交点。 点 P。 $AB$ 的 $u=0,v=1$：$y=x$。$DE$ 的 $u=3,v=4$：$y=7x-12$。令两者相等，$x=7x-12$，所以 $x=2$，$P=(2,2)$。

October 8, 2026 阅读
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费马与帕斯卡：公平分配中断的赌局

两个玩家各下相同的赌注，玩一场多局的游戏：谁先赢得规定的局数，谁就拿走全部赌注。游戏进行到一半，不得不中断。钱该怎样公平地分配？ 这就是点数问题（分赌注问题）。它看起来简单，却难倒了数学家 150 多年。 错误的答案 1494 年，意大利修士卢卡·帕乔利提出按已赢局数的比例分配。如果 A 赢了 2 局、B 赢了 1 局，A 就拿走 $\frac23$。 听起来合理，其实不然。设想一场先赢 100 局者胜的游戏，在 A 以 1 比 0 领先时中断。按帕乔利的规则，A 拿走全部赌注。可游戏才刚开始，B 获胜的机会几乎一样大。重要的不是已经发生了什么，而是还可能发生什么。 1654 年的通信 这个问题经由法国贵族、嗜好赌博的德·梅雷骑士传到了布莱兹·帕斯卡手中。帕斯卡写信给图卢兹的费马，1654 年夏天两人往来了一系列书信。他们各自用不同的方法找到了答案：帕斯卡用逐步倒推的推理，费马则列举所有可能情况。 当帕斯卡看到两种方法给出同样的答案时，他写道： 我清楚地看到，真理在图卢兹和在巴黎是一样的。 — 布莱兹·帕斯卡致费马的信（1654 年 7 月 29 日） 费马的方法：数一数所有的未来 假设每一局就像抛硬币：每个玩家赢这一局的机会都是 $\frac12$。游戏中断时，A 还差 1 局，B 还差 2 局。 费马这样推理：最多再过两局，一定有人获胜。于是我们设想两局都打完，即使第一局已经决出胜负。所有可能的结果（概率都相同）是： 局 胜者 A A A A B A B A A B B B A 在 4 种情况中赢 3 种；B 赢 1 种。概率为

October 7, 2026 阅读
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莱布尼茨的机器：把算术变成运动

1642 年，年轻的布莱兹·帕斯卡为了帮助当税务官的父亲，造了一台机器。这台“帕斯卡计算器”通过转动齿轮做加法和减法。但要做乘法，就得用手反复做很多次加法。 莱布尼茨在巴黎见到了帕斯卡计算器，想更进一步：造一台能自己做乘法和除法的机器。 乘法就是加法加移位 诀窍和学校里的竖式乘法一样。要算 $23\times14$，把 14 拆成 $4+10$： $$23\times14=23\times4+23\times10=92+230=322.$$乘以 4 就是把 23 加四次。乘以 10 只是把数左移一位。所以，一台加法做得好、又能移位的机器，就能做任何乘法。 把 23 × 14 拆成 23 × 4 和 23 × 10。示意图解释的是计算，并非历史上那台机器的复制品。本博客原创插图。 阶梯轮 莱布尼茨的计算机，带有阶梯圆柱，陈列于德累斯顿技术收藏馆。当时只造了两台，唯一留存下来的一台保存在汉诺威的戈特弗里德·威廉·莱布尼茨图书馆。Kolossos · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 难点在于：如何让机器把同一个数加好几次，而不需要操作者重新输入。莱布尼茨的解决方案是阶梯轮（德语 Staffelwalze）：一个圆柱体上带有九个长短不一的齿，就像一道绕在上面的阶梯。 一个小齿轮在阶梯轮旁边滑动。如果它停在“3”的高度，阶梯轮每转一圈只有三个齿能碰到它，它就转动三格；如果停在“7”，就转七格。所以，调好小齿轮的位置，就等于在机器里存储了一个数字。每摇一次手柄，就再加一次这个数字。 计算 $23\times4$ 时，先设好 2 和 3，摇四次手柄。然后把机器的活动部分移一位，再摇一次，加上 $23\times10$。结果显示在表盘上：322。 进位的难题 在十进制齿轮上给 9 加 1，表盘要回到 0，同时下一个齿轮要前进一格：这就是“进位”。计算 $9999+1$ 时，四个齿轮必须依次、在恰当的时刻把进位传递下去。以 17 世纪零件的精度，这是最难的地方。

October 6, 2026 阅读
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运动定律：力与速度的变化

在亚里士多德看来，物体只有在被推着的时候才会运动。不推车了，车就停下。这似乎显而易见，也被接受了将近两千年。 伽利略对此表示怀疑。他让小球沿斜面滚动，发现表面越光滑，小球滚得越远。如果完全没有摩擦，它将永远不会停下。笛卡儿也得出了类似的想法。牛顿把这些线索汇集起来，在 1687 年的《原理》中写下了三条定律，它们成了整个力学的基础。 1687 年《原理》第一版的扉页。艾萨克·牛顿 · Wikimedia Commons · 公有领域。 这本书用拉丁文写成，证明几乎全部采用欧几里得式的几何。牛顿当时已经掌握了流数法，但他选择了读者不会争议的语言。三条定律一开篇就作为公理出现。 第一定律：惯性 每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非有外力迫使它改变这种状态。 — 《原理》，定律一 车停下来是因为摩擦力使它减速，而不是因为它“累了”。在太空中，远离一切，一个关闭了发动机的探测器会沿直线飞行数百万公里。1977 年发射的旅行者号探测器就是这样，至今仍在远离太阳。 这一课违反直觉：力不是维持运动的原因，而是改变运动的原因。 第二定律：力与加速度 运动的改变与所施加的动力成正比，并沿该力作用的直线方向发生。 — 《原理》，定律二 牛顿所说的“运动”，就是今天所说的动量：质量乘以速度。当质量不变时，这条定律就变成我们熟悉的公式： $$\sum\vec F=m\,\vec a.$$$\sum$ 提醒我们，起作用的是所有力的合力。如果 10 N 的力向右推一个 2 kg 的木块，4 N 的摩擦力向左拉，合力就是向右 6 N，于是 $$a=\frac{6}{2}=3\ \text{m/s}^2.$$用流数的语言，加速度是 $\ddot x$，即位置的流数的流数。第二定律于是说 $m\ddot x=F$：这是一个微分方程。知道了力，就能一瞬接一瞬地算出整个运动。正是这一点使牛顿力学成为一台预测机器。 第三定律：作用与反作用 每一个作用总有一个大小相等、方向相反的反作用。 — 《原理》，定律三 你推墙时，墙以同样大小的力推你。游泳的人向后推水，水向前推人。火箭也是一样：它向下喷出气体，气体向上推动火箭。 一个常见的困惑：既然两个力大小相等、方向相反，为什么不会抵消？因为它们作用在不同的物体上。你施加的力作用在墙上，墙施加的力作用在你身上。要判断你是否加速，只看作用在你身上的力。 以他命名的单位 在国际单位制中，力的单位叫作牛顿（N）。1 牛顿是使 1 千克物体产生 1 m/s² 加速度的力。一个普通的苹果重约 1 N，这个巧合让物理老师们津津乐道。 三定律的影响 凭借这三句话，再加上万有引力定律，《原理》解释了物体的下落、抛射体的运动、潮汐、月亮的轨道以及地球两极的扁平。直到今天，设计桥梁、计算卫星轨道、模拟汽车碰撞，用的仍是这些定律。 练习：一个物体所受合力为零，它的速度一定为零吗？不一定。根据第一定律，它可以静止，也可以做匀速直线运动。合力为零意味着加速度为零，而不是速度为零。 练习：一辆 1000 kg 的汽车在 10 s 内从 0 加速到 20 m/s，平均合力是多少？平均加速度为 $\dfrac{20}{10}=2$ m/s²。由第二定律，$F=1000\cdot2=2000$ N。

October 6, 2026 阅读
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计算素数

欧拉证明了素数永远不会结束（见他的章节）。但有多少呢？ 15岁时，高斯 他利用空闲时间数桌子上的堂兄弟姐妹，一次有一千个。你有没有注意到，接近一个数字 $x$, 或多或少 各 1 个 $\ln x$ 数字是质数。因此估计：表兄弟姐妹的数量最多 $x$, 我们称之为 $\pi(x)$，类似于 $$\pi(x) \approx \frac{x}{\ln x}, \qquad \text{ou melhor ainda,} \qquad \pi(x) \approx \text{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$ $x$ 表兄弟高达 $x$ $x / \ln x$ $\text{Li}(x)$ 100 25 21,7 29,1 1 000 168 144,8 176,6 10 000 1 229 1 085,7 1 245,1 100 000 9 592 8 685,9 9 628,8 1 000 000 78 498 72 382,4 78 626,1 计算机计算真实素数（蓝色）并将它们与高斯的估计进行比较。 x 越大，百分比误差越小。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 1, 2026 阅读
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接吻圈定理

在1643给伊丽莎白公主的信中，笛卡尔两两处理了四个相切圆。 将圆的曲率称为半径的倒数，$k = \frac{1}{r}$。该定理说 曲率满足 $$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2\right).$$ 应用： 半径为 1 的三个相等的硬币两两接触。适合的圆的半径是多少 他们之间有洞？对于 $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ 和 $k_4 = k$： $$\begin{aligned} (3 + k)^2 &= 2(3 + k^2) \\ 9 + 6k + k^2 &= 6 + 2k^2 \\ k^2 - 6k - 3 &= 0 \\ k &= 3 \pm 2\sqrt{3}. \end{aligned}$$ 带符号$+$：$k = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46$，即半径$\approx 0{,}155$。就是中间那个小圆圈。 带有符号$-$：$k = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46$。负曲率表示圆 涉及其他三个，半径为$\approx 2{,}155$。 三枚硬币，中间的圆圈和包围一切的一枚。再次将笛卡尔定理应用于每个孔，阿波罗尼奥斯的垫圈就会出现。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

September 30, 2026 阅读
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弹簧和微分方程

微分方程是一个方程，其中未知数是一个函数，并且该方程讲述了它的函数 衍生物。欧拉将这条路径组织成一个我们今天仍在使用的方案：观察一个现象，写出 方程，找到解该方程的函数并绘制图形。 flowchart LR phenomenon((FENÔMENO)) --> equation["EQUAÇÃODIFERENCIAL"] equation --> solution["FUNÇÃOSOLUÇÃO"] solution --> plottedGraph((GRÁFICO)) plottedGraph --> derivative{"DERIVADA"} derivative --> phenomenon derivative -. "localiza" .-> extrema["Pontos de máximoe de mínimo"] classDef phenomenonStyle fill:#e6f1ee,stroke:#397c75,color:#243448,stroke-width:2px classDef equationStyle fill:#eaf0f7,stroke:#58799b,color:#243448,stroke-width:2px classDef solutionStyle fill:#f8efd9,stroke:#b68b3c,color:#243448,stroke-width:2px classDef derivativeStyle fill:#f5e9e3,stroke:#9b6251,color:#243448,stroke-width:2px class phenomenon phenomenonStyle class equation,plottedGraph equationStyle class solution solutionStyle class derivative,extrema derivativeStyle **这种现象。**在 1678 中，罗伯特胡克用拉丁语总结了弹簧的行为：uttensio, sic vis，“作为延伸，所以力量。”恒定 $k$ 的弹簧，被 $x$ 拉伸，拉回 强度$F = -kx$。 附在常数 k 的弹簧上的质量 m；位移围绕平衡 O 在 -A 和 +A 之间振荡。根据欧拉之眼集合中的草图重新绘制的图表 时间 t 进入系统，位置 x 离开：x = x(t)。基于提供的草图的原始图 由F = m·a、F = −kx 和a = x″，我们得到运动微分方程。基于提供的草图的原始图 **方程。**根据牛顿第二定律，$F = m \cdot a$，加速度是 位置，$x''$。然后

September 29, 2026 阅读