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黄金定理：大数定律

即使是最愚笨的人，也凭着某种天性，无需任何指点就自己相信：观察的次数越多，偏离目标的危险就越小。 — 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第四部分 对一颗骰子，我们事先就知道每一面的机会：$\frac16$。可是，一个 40 岁的男人再活二十年的机会是多少？明天下雨的机会呢？一种药有效的机会呢？这些情形里没有相同的面可以数。雅各布提出了另一条路：多次观察，用频率来估计概率。如果在许多 40 岁的男人中，有一半活到了 60 岁，那么这个机会应该接近一半。 正如上面的引文所说，人人都已经这样想了。雅各布的问题更深一层：这能 证明 吗？随着观察次数增加，频率真的会接近概率吗，还是误差可能一直很大？要达到实际上的确定，需要多少次观察？他花了二十年才回答这个问题，并且对结果非常自豪，称之为 黄金定理。 罐子 雅各布用一个看不见内部的罐子来表述这个问题：罐中有 3 000 颗白石子和 2 000 颗黑石子。不能往里看的人想知道白石子所占的比例，也就是 $\frac35$。为此，他取出一颗石子，记下颜色，放回去，再重复。 $n$ 次抽取中有 $S_n$ 次白色，观察到的频率就是 $\frac{S_n}n$。精确的问题是：需要抽多少次，才能 道德上确定，也就是以至少 $\frac{1000}{1001}$ 的机会保证频率落在 $\frac{29}{50}$ 与 $\frac{31}{50}$ 之间，即与 $\frac35$ 相差不到 $\frac1{50}$？ 定理说了什么 雅各布的回答有两部分。第一部分是定性的：对任何误差范围 $\varepsilon$，不论多小，当 $n$ 增大时，频率偏离 $p$ 超过 $\varepsilon$ 的机会趋于零。用今天的语言写， $$\boxed{\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{S_n}n-p\right|>\varepsilon\right)=0.}$$这是 大数定律 的第一个版本，这个名称是泊松在 1837 年起的。第二部分是数值的：雅各布算出，对这个罐子，25 550 次抽取 就足以达到道德上的确定。 模拟的抛硬币。起初正面所占比例波动很大；抛了几千次后，它接近 1/2。横轴采用对数刻度。Euler’s Eyes 绘图 用今天的工具证明 雅各布的证明用了好几章篇幅，讨论二项式各项之间的不等式。今天，同样的想法用几行就能写完，用到的是俄国人切比雪夫在 1867 年发表的一个不等式。 每次抽取，白石子记为 $1$，黑石子记为 $0$。每次抽取的均值是 $p$，它的 方差，即围绕均值波动的程度，是 $p(1-p)$。把 $n$ 次独立抽取相加再除以 $n$，均值仍是 $p$，方差却除以了 $n$：

October 11, 2026 阅读
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神秘六边形：圆锥曲线上的六个点

1640 年 2 月，巴黎流传着一张只印了一面的纸，像一张告示，标题是《圆锥曲线论》。上面没有证明，只有定义、三个引理和一串结论。作者 16 岁，名叫布莱兹·帕斯卡。 梅森神父把这张纸拿给笛卡儿看，笛卡儿的反应是怀疑：他认为这个年轻人的东西全是从吉拉尔·德萨格那里学来的。德萨格是帕斯卡敬佩的建筑师和几何学家。德萨格的影响确实存在，帕斯卡本人也承认这一点。但这张纸上的核心结论是全新的。 圆锥曲线 用一个平面去截一个圆锥。根据倾斜的角度不同，截口的边缘会是椭圆、抛物线或双曲线；圆是椭圆的一种特殊情况。这些曲线统称圆锥曲线，从公元前 3 世纪的阿波罗尼奥斯起就有人研究。 德萨格有一个改变了这门学问的想法：把圆锥曲线看作圆的影子。用手电筒照一个圆，它投在墙上的影子可以是椭圆、抛物线或双曲线。所以，圆的某个性质如果只涉及点和直线，不涉及距离和角度的测量，那它在影子里也会保留下来，对所有圆锥曲线都成立。这就是射影几何的思想。 六边形定理 在一条圆锥曲线上按顺序标出六个点 $A,B,C,D,E,F$，把它们连成一个六边形。相对的边是 $AB$ 和 $DE$、$BC$ 和 $EF$、$CD$ 和 $FA$。把每一对延长，直到它们相交： $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$帕斯卡定理说：$P$、$Q$、$R$ 三点总在同一条直线上。 这六个点在曲线上可以按任意顺序排列，六边形甚至可以自己和自己相交。如果两条对边平行，它们就交于一个“无穷远点”，而那条直线就与它们平行。帕斯卡把这个图形叫作神秘六边形。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 四百条推论 据梅森说，帕斯卡从这一条定理推出了大约四百条推论，其中包括阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的几乎全部成果。大约在 1654 年，他写成了一部完整的论著。1676 年，莱布尼茨在巴黎读到了这份手稿，认为写得极好，并建议帕斯卡的家人出版。可是没有人出版它，这部论著就这样失传了。 在抛物线上验证 我们用计算来检验这条定理。在抛物线 $y=x^2$ 上取横坐标为 $0,1,2,3,4,7$ 的六个点： $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$先介绍一个捷径。经过抛物线上横坐标为 $u$ 和 $v$ 的两点的直线是 $$y=(u+v)x-uv.$$确实，在 $x=u$ 处它的值是 $u^2+uv-uv=u^2$，在 $x=v$ 处是 $v^2$。下面计算三个交点。 点 P。 $AB$ 的 $u=0,v=1$：$y=x$。$DE$ 的 $u=3,v=4$：$y=7x-12$。令两者相等，$x=7x-12$，所以 $x=2$，$P=(2,2)$。

October 8, 2026 阅读
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费马与帕斯卡：公平分配中断的赌局

两个玩家各下相同的赌注，玩一场多局的游戏：谁先赢得规定的局数，谁就拿走全部赌注。游戏进行到一半，不得不中断。钱该怎样公平地分配？ 这就是点数问题（分赌注问题）。它看起来简单，却难倒了数学家 150 多年。 错误的答案 1494 年，意大利修士卢卡·帕乔利提出按已赢局数的比例分配。如果 A 赢了 2 局、B 赢了 1 局，A 就拿走 $\frac23$。 听起来合理，其实不然。设想一场先赢 100 局者胜的游戏，在 A 以 1 比 0 领先时中断。按帕乔利的规则，A 拿走全部赌注。可游戏才刚开始，B 获胜的机会几乎一样大。重要的不是已经发生了什么，而是还可能发生什么。 1654 年的通信 这个问题经由法国贵族、嗜好赌博的德·梅雷骑士传到了布莱兹·帕斯卡手中。帕斯卡写信给图卢兹的费马，1654 年夏天两人往来了一系列书信。他们各自用不同的方法找到了答案：帕斯卡用逐步倒推的推理，费马则列举所有可能情况。 当帕斯卡看到两种方法给出同样的答案时，他写道： 我清楚地看到，真理在图卢兹和在巴黎是一样的。 — 布莱兹·帕斯卡致费马的信（1654 年 7 月 29 日） 费马的方法：数一数所有的未来 假设每一局就像抛硬币：每个玩家赢这一局的机会都是 $\frac12$。游戏中断时，A 还差 1 局，B 还差 2 局。 费马这样推理：最多再过两局，一定有人获胜。于是我们设想两局都打完，即使第一局已经决出胜负。所有可能的结果（概率都相同）是： 局 胜者 A A A A B A B A A B B B A 在 4 种情况中赢 3 种；B 赢 1 种。概率为

October 7, 2026 阅读
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古典概率与高斯积分

数学概率始于赌博游戏，始于 1654 年帕斯卡与费马之间的通信，又因雅各布·伯努利的大数定律得到第一个伟大定理。拉普拉斯把它变成了一套完整的理论。他关于这一主题的第一篇论文写于 1774 年；1812 年的《概率的解析理论》汇集了将近四十年的研究；1814 年的《概率的哲学随笔》则不用公式，向公众解释了这一切。 1840 年版《概率的哲学随笔》的扉页。Pierre-Simon Laplace · Wikimedia Commons · 公有领域 古典定义 机遇的理论在于：把同一类的所有事件归结为一定数目的同等可能的情形，也就是我们对它们是否发生同样无法确定的情形；然后确定对所求概率的事件有利的情形数。 — 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯，《概率的哲学随笔》（1814） 这就是学校里教的定义： $$P = \frac{\text{有利情形数}}{\text{可能情形数}}.$$微妙之处在于“同等可能”这几个字。掷两颗骰子，点数和有 11 种可能，从 2 到 12，但它们并不同样可能。同等可能的情形是 36 个有序对（第一颗，第二颗）。和为 7 出现在其中 6 个里，从 (1, 6) 到 (6, 1)，所以概率是 $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$；和为 2 只出现在 (1, 1) 中，概率是 $\frac{1}{36}$。 e 的负 x 平方次幂的积分 研究许多偶然量之和时，拉普拉斯需要一个在整个统计学中处处出现的积分： $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.$$亚伯拉罕·棣莫弗在 1733 年已经以数值形式用过这个结果；拉普拉斯在 1774 年给出了证明。最漂亮的证明是一个技巧：不直接算积分 $I$，而是算 $I^2$，它是平面上的积分： $$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy.$$在极坐标下，$x^2 + y^2 = r^2$，面积元是 $r\,dr\,d\theta$：

October 30, 2026 阅读
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统计学里的女巫：柯西分布

阿涅西 1799 年去世时，想不到她的曲线会在远离几何的地方获得第二次生命。19 世纪，它在概率论中重新出现，成为统计学里最具迷惑性的例子之一。 概率密度 我们在曲线下的面积中看到，$y = \frac{1}{1 + x^2}$ 下的总面积是 $\pi$。除以 $\pi$，面积就变成 1，曲线就成了一个概率密度： $$f(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)}.$$这就是柯西分布。一次抽样落在 $c$ 和 $d$ 之间的概率，等于这个区间上曲线下的面积 $\frac{1}{\pi}(\arctan d - \arctan c)$。画出来，它和正态曲线很像：一个以零为中心的对称钟形。区别在尾部。正态分布按 $e^{-x^2/2}$ 下降，降得太快，极大的值几乎不会出现；阿涅西曲线只按 $\frac{1}{x^2}$ 下降。 不存在的均值 这个区别带来了一个惊人的后果。分布的均值是 $x\,f(x)$ 的积分。对柯西分布，正半部分的积分是 $$\int_0^{X} \frac{x}{\pi(1 + x^2)}\,dx = \frac{1}{2\pi}\ln(1 + X^2),$$当 $X$ 增大时它无限增大。负半部分向另一个方向做同样的事，计算变成了“无穷减无穷”：这个分布没有均值，也没有方差。 实际上，这意味着多次抽样的平均值不会稳定下来。大数定律和中心极限定理要求均值和方差有限，在这里根本不适用。更糟的是，可以证明 $n$ 次柯西抽样的平均值与单次抽样的分布完全相同。收集再多数据也毫无帮助。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 另一方面，中位数却很好用：一半面积在零的左边，一半在右边，多次抽样的中位数趋近于零。所以统计学家把阿涅西曲线当作一个警示：在计算平均值之前，最好先弄清楚数据的尾部是轻还是重。 泊松、柯西与物理学 最早注意到这个问题的是西梅翁-德尼·泊松，他在 1824 年把这个分布当作拉普拉斯误差理论的反例。名字来自奥古斯丁-路易·柯西，他在 1853 年与伊雷内-儒勒·比安内梅关于最小二乘法的争论中讨论过它。 在物理学中，同一条曲线以另一个名字出现：洛伦兹线型，以亨德里克·洛伦兹命名。它描述原子和分子光谱中谱线的形状、振子在共振附近的响应，在粒子物理中还描述揭示不稳定粒子的峰的形状（布莱特-维格纳公式）。凡是一边振荡一边慢慢损失能量的东西，往往都会出现阿涅西的女巫。 海滩上的灯塔 一个经典的例子说明了柯西分布可能从哪里来。一座灯塔距一条笔直的海滩 1 千米，它旋转着，朝随机方向发出一道光脉冲，所有角度的可能性相同。打到海滩上的脉冲，其落点恰好服从柯西分布。当角度接近 90° 时，脉冲会打到海滩上很远的地方，正是这些罕见的远点使均值无法存在。 练习：四分位数一次柯西抽样落在 $-1$ 和 $1$ 之间的概率是多少？ $\frac{1}{\pi}(\arctan 1 - \arctan(-1)) = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}$。一半的抽样落在 $-1$ 和 $1$ 之间：这就是该分布的四分位数。对标准正态分布，一半落在 $-0.674$ 和 $0.674$ 之间；柯西分布在中间更“分散”，在尾部则分散得多得多。

October 29, 2026 阅读
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蒙特卡洛方法：掷骰子来计算

1946 年，冯·诺依曼在洛斯阿拉莫斯的同事、波兰数学家斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆正在从脑炎中康复，靠玩单人纸牌打发时间。他想知道一局牌能打通的概率是多少。用组合数学去算，复杂得毫无希望。但还有另一个办法：玩上几百局，数一数有多少局打通了。有了计算机，就可以玩上几千局。 乌拉姆把这个想法告诉了冯·诺依曼，后者立刻看出了它的威力：同样的窍门可以用于他们在洛斯阿拉莫斯面对的问题，即中子在炸弹或反应堆中的路径，每个中子都会随机地偏转、被吸收或增殖。不去解方程，而是模拟成千上万个中子，用抽签决定每个中子遇到什么，然后取平均。尼古拉斯·梅特罗波利斯用蒙特卡洛赌场给这个方法命名，乌拉姆的一位叔叔常去那里赌钱。 斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆手持 FERMIAC，这是恩里科·费米的一辆小推车，能在纸上画出由人手随机选出的中子路径：一台机械的蒙特卡洛装置。Los Alamos National Laboratory · Wikimedia Commons · 公有领域 1948 年，最早的模拟在 ENIAC 上运行。大部分代码是由冯·诺依曼的妻子克拉拉·丹·冯·诺依曼编写的，她是历史上最早的程序员之一。 用随机点计算 π 最简单的例子：随机抽取点 $(x, y)$，$x$ 和 $y$ 都在 $0$ 和 $1$ 之间。一个点落在四分之一圆 $x^2 + y^2 \le 1$ 内的概率是面积之比，$\frac{\pi/4}{1} = \frac{\pi}{4}$。因此 $$\pi \approx 4 \times \frac{\text{落在里面的点数}}{\text{抽取的点数}}.$$ 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 估计值改进得很慢。典型误差按 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 的方式减小：要多得一位小数，就需要一百倍的点。计算 $\pi$ 有好得多的方法。但在有许多变量的问题里，比如中子在三维空间中带着能量、方向和碰撞类型的路径，蒙特卡洛往往是唯一可行的方法，因为它的误差与维数无关。 制造偶然 计算机是确定性的机器。“随机”数从哪里来？1949 年，冯·诺依曼提出了平方取中法：取一个四位数，把它平方，把结果写成八位数，取中间四位。这就是下一个数。他完全清楚这不是真正的随机： 任何考虑用算术方法产生随机数字的人，当然都处于罪孽之中。 — 约翰·冯·诺依曼，《与随机数字有关的各种技术》（1951） 这个序列最终会重复或者落到零。但它很快，而且结果可以重现，便于核对计算。今天使用的生成器要好得多，但冯·诺依曼的原则依然成立：人们对生成器的要求不是真正的随机，而是通过问题所需的统计检验。 练习：平方取中从 $1234$ 出发，用平方取中法生成三个数。 $1234^2 = 1\,522\,756$，写成八位数 $01522756$：中间是 $5227$。$5227^2 = 27\,321\,529$：中间是 $3215$。$3215^2 = 10\,336\,225$：中间是 $3362$。序列开头是 $1234, 5227, 3215, 3362, \ldots$

October 27, 2026 阅读
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班伯里法：用分班衡量证据

炸弹机很快，但还不够快，无法测试海军恩尼格玛的每一种转子顺序。1940 年，图灵发明了一种纸笔方法，在开动机器之前就排除掉大部分顺序。由于这种方法用的纸张印制于班伯里镇，同事们把它命名为班伯里法（Banburismus）。 这是一种统计方法。为了设计它，图灵重新发明了现代统计学的一个核心思想。 重复出现的字母 把两份德文电报上下对齐，数一数两者在同一位置有相同字母的地方。由于德语大量使用 E、N、R 和 I，重合会比字母随机抽取时频繁得多。在德文文本中，对齐的两个字母相同的概率约为 $\frac1{17}$；如果字母是随机的，这个概率是 $\frac1{26}$。 恩尼格玛以一种奇特的方式保留了这个性质：如果两份电报是用同一串转子位置加密的，原文中的重合在密文中仍然是重合，因为同一位置上的相同字母会变成相同的字母。如果位置不同，比率就降到 $\frac1{26}$。所以，数重合的次数就为“两份电报是否对齐”提供了证据，从而透露出转子位置的信息。 一次重合值多少 图灵问：一次重合应该使我对“电报已对齐”的信心增加多少？答案是似然比，即在一种情况下看到重合的可能性是另一种情况的多少倍： $$\frac{\text{对齐时重合的概率}}{\text{未对齐时的概率}}=\frac{1/17}{1/26}=\frac{26}{17}\approx1.53.$$一个没有重合的位置则是相反方向的证据，弱得多： $$\frac{16/17}{25/26}=\frac{416}{425}\approx0.979.$$按照贝叶斯定理，每条证据都把几率（一个假设的概率与另一个假设的概率之比）乘以它的似然比。位置多了，乘法就多，而手算乘法很慢。 用加法代替乘法 图灵做了纳皮尔三个世纪前做过的事：改用对数，把乘法变成加法。他把似然比的常用对数称为班（ban），把它的十分之一称为分班（deciban）： $$\text{以分班计的权重}=10\log_{10}(\text{似然比}).$$现在，每次重合值 $$10\log_{10}\frac{26}{17}\approx+1.8\ \text{分班},$$每个没有重合的位置值 $$10\log_{10}\frac{416}{425}\approx-0.09\ \text{分班}.$$第 8 号营房的操作员只需计数和相加。总计 $+20$ 分班，意味着证据使这个假设的几率变成原来的 $10^2=100$ 倍。 能察觉到的最小证据 在布莱切利园与图灵共事的统计学家 I. J. 古德回忆说，选择分班，是因为它大致是人的直觉能察觉到的证据权重的最小变化，就像分贝是耳朵能察觉到的最小音量变化一样。战后，古德发展了这些思想，帮助奠定了现代贝叶斯统计学。他使用的“证据权重”这套语言，来自图灵。 练习：把证据加起来两份电报对齐了 200 个位置，有 14 处重合。总权重是多少分班？对齐的假设变得更可能了吗？ 有 14 处重合和 186 个无重合的位置：$14\cdot1.8+186\cdot(-0.09)\approx25.2-16.7=8.5$ 分班。是正的：支持对齐的几率大约乘以 $10^{0.85}\approx7$。如果字母随机，预期的重合是 $200/26\approx7.7$ 次；如果对齐，是 $200/17\approx11.8$ 次。14 次更符合对齐。 练习：多少次重合打成平手？在 100 个位置中，多少次重合 $k$ 会使总权重为零？ $1.8k-0.09(100-k)=0$，即 $1.89k=9$，$k\approx4.8$。在 100 个位置中有 5 次或更多重合，证据就已偏向对齐。这个数介于随机预期 $100/26\approx3.8$ 和对齐预期 $100/17\approx5.9$ 之间。

October 18, 2026 阅读
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伯努利数：七分钟算出一千个幂的和

借助这张表，我用了不到半刻钟（七分半钟）就求出：前一千个数的十次幂之和等于 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500。 — 雅各布·伯努利，《猜度术》（1713），第二部分 传说少年 高斯 把第一个数和最后一个数配对，几秒钟就算出了 1 到 100 的和：$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$。平方和与立方和也有公式，从阿基米德和阿拉伯数学家起就已为人所知： $$\begin{aligned}1^2+2^2+\cdots+n^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\\ 1^3+2^3+\cdots+n^3&=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.\end{aligned}$$那么四次、五次、十次幂呢？十七世纪，好几位数学家一个一个地推导这些公式，写满了一页又一页。法国人伊斯梅尔·布里奥在 1682 年出版了一部厚书，费尽力气也只推到六次幂。雅各布·伯努利找到了一条能给出 所有 公式的规则。 那张表 在《猜度术》的第二部分，雅各布把这些公式一个接一个地写下来，仔细端详： $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^n k&=\tfrac12n^2+\tfrac12n\\ \sum_{k=1}^n k^2&=\tfrac13n^3+\tfrac12n^2+\tfrac16n\\ \sum_{k=1}^n k^3&=\tfrac14n^4+\tfrac12n^3+\tfrac14n^2\\ \sum_{k=1}^n k^4&=\tfrac15n^5+\tfrac12n^4+\tfrac13n^3-\tfrac1{30}n\\ \sum_{k=1}^n k^5&=\tfrac16n^6+\tfrac12n^5+\tfrac5{12}n^4-\tfrac1{12}n^2\end{aligned}$$这里有规律。$m$ 次幂之和总是 $m+1$ 次多项式。第一个系数是 $\frac1{m+1}$，与积分 $\int_0^n x^m\,dx=\frac{n^{m+1}}{m+1}$ 一样。第二个系数总是 $\frac12$。后面的系数看起来像 二项式 $(n+1)^{m+1}$ 的系数，只是分别乘上了某些固定的数。 神秘的数 雅各布意识到，只需要一列数，今天记作 $B_0,B_1,B_2,\dots$，称为 伯努利数，就能一次写出所有公式： $$\boxed{\sum_{k=1}^n k^m=\frac1{m+1}\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j\,n^{m+1-j}}$$怎样求出 $B_j$？有个简单的诀窍：公式必须对 $n=1$ 成立，此时和只是 $1^m=1$。令 $n=1$，$n$ 的所有幂都变成 1，剩下 $$\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j=m+1.$$从 $B_0=1$ 开始，每个 $m$ 值给出下一个数： $m=1$：$1+2B_1=2$，所以 $B_1=\frac12$。 $m=2$：$1+3\cdot\frac12+3B_2=3$，所以 $B_2=\frac16$。 $m=3$：$1+4\cdot\frac12+6\cdot\frac16+4B_3=4$，所以 $B_3=0$。 $m=4$：$1+5\cdot\frac12+10\cdot\frac16+0+5B_4=5$，所以 $B_4=-\frac1{30}$。 继续下去，$B_6=\frac1{42}$，$B_8=-\frac1{30}$，$B_{10}=\frac5{66}$，而下标为大于 1 的奇数的都等于零。这些数没有明显的规律：$B_{12}=-\frac{691}{2730}$，此后增长得非常快。

October 11, 2026 阅读
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摆线：一场牙痛带来的曲线

在自行车轮胎上点一个点，推着车沿直线前进。这个点会升起来，画出一道拱，再落下来碰到地面，车轮每转一圈就重复一次。它画出的曲线叫作摆线。 在 17 世纪，这是最时髦的曲线。法国人把它叫作 roulette。为了它的种种发现，那么多数学家争吵不休，以至于它得了一个外号：几何学家的海伦，取自引发了特洛伊战争的海伦。 车轮的方程 一个半径为 $r$ 的轮子沿直线无滑动地滚动。当它转过角度 $t$（以弧度计）时，圆心前进的距离是 $rt$，也就是碰过地面的那段轮缘的长度。那个从最低处出发的点，此时位于 $$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$从 $t=0$ 到 $t=2\pi$，轮子转了整整一圈。这道拱的宽度是 $2\pi r$，等于轮子的周长；最大高度是 $2r$，也就是直径。 一道摆线拱，由半径为 1 的轮子画出。拱下的面积是 3π，等于轮子面积的三倍。本博客原创插图。 伽利略称曲线的重量 大约在 1599 年，伽利略给这条曲线起了名字，并想知道一道拱下面的面积。他算不出来，就用同一种材料剪出摆线和生成它的圆，分别称重。摆线的重量几乎是圆的三倍。伽利略怀疑这个比值并不恰好是 3，于是放弃了。 它恰好就是 3。吉尔·德·罗贝瓦尔在 1634 年证明了这一点，而今天这个计算只需要几行。 用微积分求面积 曲线下的面积是许多高为 $y$、宽为 $dx$ 的细条之和。因为 $dx=r(1-\cos t)\,dt$， $$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$把平方展开，得到三部分： $$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$最后一个来自 $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$。相加得 $$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$一道摆线拱下的面积，等于画出它的轮子面积的三倍。伽利略剪下的纸片是对的。 1658 年的那个夜晚 到 1658 年，帕斯卡已经放下数学四年了。据他的姐姐吉尔贝特记载，有一天夜里他牙疼得厉害，睡不着觉。为了忘掉疼痛，他开始思考摆线。结果牙不疼了。帕斯卡把这看作允许他继续研究的信号，八天之内就解决了前人没有解决的问题：曲线各部分的面积、它们的重心，以及曲线绕轴旋转所生成的立体的体积。 随后，他以化名阿莫斯·德通维尔向全欧洲发出公开挑战。第一名的奖金是 40 枚金皮斯托尔，第二名 20 枚，截止日期是 1658 年 10 月 1 日。

October 8, 2026 阅读
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中心极限定理

掷一颗骰子：每个面的机会相同，概率图是平的。掷两颗并相加：和为 7 最可能，图变成三角形。掷十颗、三十颗、一百颗：和的图形逐渐变成一口钟的形状。如果把骰子换成硬币、轮盘或测量误差，也是一样。这个令人惊讶的事实就是中心极限定理。 棣莫弗与拉普拉斯 1733 年，亚伯拉罕·棣莫弗对硬币证明了这一现象：多次抛掷中正面的次数，其分布接近曲线 $e^{-x^2}$。拉普拉斯在 1810 年的一篇论文中把结果推广到任意偶然量之和，只要它们相互独立，且没有哪一个压倒其他。 用现代语言说：设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立的偶然量，分布相同，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。和 $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ 的均值为 $n\mu$，标准差为 $\sigma\sqrt{n}$，而 $$\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$$在 $n$ 很大时，其分布越来越接近标准正态分布，密度为 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$。 骰子 对一颗骰子，$\mu = 3.5$，且 $$\sigma^2 = \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + 6^2}{6} - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}.$$$n$ 颗骰子之和的均值为 $3.5\,n$，标准差为 $\sqrt{\frac{35n}{12}}$。下图把和的精确分布与均值、标准差相同的正态曲线作比较。拖动滑块，可以看到只用几颗骰子，两者就几乎重合： 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 用 100 颗骰子时，均值为 350，标准差为 $\sqrt{\frac{3500}{12}} \approx 17.1$。和落在 330 到 370 之间——两侧各约 1.2 个标准差——的概率大约是 76%。没有人需要去数那 $6^{100}$ 种可能的组合。

October 30, 2026 阅读
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变公平的不公平硬币

假设你有一枚不均匀的硬币。它以某个你不知道的概率 $p$ 正面朝上，也许是 $0.7$，也许是 $0.55$。能用它来做一次完全公平、各占一半的抽签吗？ 在谈到制造随机数的人的“罪孽状态”的那篇 1951 年的论文里，冯·诺依曼给出了一个简短而出人意料的回答。 窍门 把硬币抛两次： 如果是正、反，就算“正面”； 如果是反、正，就算“反面”； 如果是正、正或反、反，就作废，再抛两次。 为什么是公平的？两次抛掷相互独立，所以 $$P(\text{正、反}) = p\,(1-p), \qquad P(\text{反、正}) = (1-p)\,p.$$无论 $p$ 是多少，它们都是同一个数。相同的结果被丢掉了，在剩下的结果中，正面和反面的机会完全相等。不需要知道硬币偏得多厉害，只需要各次抛掷互不影响。 代价 代价是要丢掉一些对。一对可用的概率是 $2p(1-p)$。对于公平的硬币 $p = \frac12$，一对可用的概率是 $\frac12$：平均每个结果需要 $2$ 对，也就是 $4$ 次抛掷。对于偏得很厉害的硬币，代价急剧上升：如果 $p = 0.9$，一对可用的概率只有 $2 \times 0.9 \times 0.1 = 0.18$，平均每个结果需要大约 $11$ 次抛掷。 冯·诺依曼的方法是随机性提取器的鼻祖。随机性提取器把不完美的随机来源，比如电路的电噪声或鼠标的移动，变成密码学所要求的均匀比特。 硬币从来都不完全公平 2007 年，数学家佩尔西·戴康尼斯、苏珊·霍姆斯和理查德·蒙哥马利证明，用拇指以通常方式抛出的硬币，落地时与起始时同一面朝上的概率略高于一半，约为 51%。2023 年，一项超过 35 万次抛掷的实验证实了这一效应。只要每一对中的两次抛掷相互独立，冯·诺依曼的窍门就能消除这种偏差。 练习：70% 的硬币取 $p = 0.7$，计算每种对出现的概率，以及每个结果平均需要的抛掷次数。 $P(\text{正、正}) = 0.49$，$P(\text{反、反}) = 0.09$，$P(\text{正、反}) = P(\text{反、正}) = 0.21$。一对可用的概率是 $0.42$。到第一个可用的对为止所需对数的平均值是 $\frac{1}{0.42} \approx 2.4$，即每个结果大约 $4.8$ 次抛掷。

October 27, 2026 阅读
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雅各布·伯努利的遗产

雅各布·伯努利只活了五十岁，生前发表的东西不多，几乎都是《学者学报》上的短文。即便如此，很少有数学家像他一样，留下这么多我们至今天天在用的词语、符号和思想：积分、伯努利试验、二项分布、伯努利数、大数定律、随机。 “积分"这个词 莱布尼茨把导数的逆运算称为 calculus summatorius，即求和的演算，并用 $\int$ 来写它，这是 summa（和）的首字母 S 拉长后的样子。1690 年 5 月，雅各布在解决等时曲线问题时写道，两个表达式有"相等的积分”。这是 积分（integral）一词第一次出现在印刷的数学文本里。约翰采用了这个术语；1696 年，莱布尼茨同意把他的"求和演算"改称伯努利兄弟的 积分学。符号沿用莱布尼茨的，名称则来自雅各布。 年份 作者 记号或名称 出处 1659 彼得罗·门戈利 omnia $x$ Geometriae speciosae elementa 1675 莱布尼茨 $\int x$ 1675 年 10 月 29 日的手稿 1690 雅各布·伯努利 “integral” 《学者学报》 1696 莱布尼茨与约翰·伯努利 calculus integralis 通信 1822 傅里叶 $\int_a^b f(x)\,dx$ 《热的解析理论》 悬挂的链子 在 1690 年的同一篇文章里，雅各布问：两端悬挂的链子是什么形状？伽利略曾以为是抛物线。1691 年，约翰、莱布尼茨和惠更斯发表了正确答案，即 悬链线，今天用双曲余弦写作 $y=a\cosh\frac xa$。雅各布在这场比赛中输给了弟弟，但问题是他提出的。悬链线 的故事在约翰的学习路线里。 棣莫弗与正态曲线 黄金定理指出频率会接近概率，但雅各布对所需观察次数的估计过于夸大。1733 年，流亡伦敦的法国人亚伯拉罕·棣莫弗为 $n$ 很大时的二项式各项寻找更好的近似，发现了钟形曲线 $$y=\frac1{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}.$$这是 正态曲线 的首次出现，后来拉普拉斯和高斯把它放到了统计学的中心。有了它，雅各布的罐子只需大约 6 500 次抽取，而不是他算出的 25 550 次。

October 11, 2026 阅读