让我们证明将直角三角形的边的测量值与角的测量值联系起来的三个属性。它们将我们迄今为止研究的循环三角学与一切开始的三角形三角学联系起来。 故事 据说，米利都传说（公元前六世纪）通过将埃及大金字塔的影子与棍子的影子进行比较来测量埃及大金字塔的高度：在同一时刻，太阳与两个物体形成相同的角度，并且两者的高度和影子之间的比例相同。这正是本章的思想——一旦角度固定，直角三角形两条边之间的比率就固定了——尽管对于泰勒斯来说，这些比率仍然没有名称或表格。这个故事是由后来的作家写给我们的，比如第欧根尼·拉尔修斯和普鲁塔克。 米利都的泰勒斯是谁？ 传说（约公元前 624–546 BC）生活在米利都，这是一座位于今土耳其海岸的富裕希腊城市，希腊人将他视为七贤之一。他被认为是第一个尝试在不求助诸神的情况下解释自然的人——对他来说，一切都来自于水——并且是第一个展示几何性质而不是仅仅使用它们的人。历史学家希罗多德说，他在公元前 585 预言了一次日食，中断了吕底亚人和米底人之间的战斗。两件轶事展示了他名气的两个方面。柏拉图说，泰勒斯在夜里散步看星星时掉进了井里，一个奴隶嘲笑他只想知道天上有什么，却看不到脚下有什么。亚里士多德说，泰勒斯指责哲学毫无用处，他通过天文学预测橄榄会大丰收，并提前租用了该地区所有的橄榄压榨机并致富——只是为了证明哲学家可以随时赚钱。 泰勒斯和大金字塔：在同一时刻，金字塔和一根棍子的高度和阴影的比例是相同的。改变太阳的高度：阴影改变，计算的高度不变。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. **书中的直角三角形。**在巴格达影子碑和现代碑之间，带有它们名字的直角三角形被绘制并重新绘制： c. 850Habash al-Hasib（艾哈迈德·伊本·阿卜杜拉）在他的天文学手稿中使用阴影和半弦。 1220比萨的列奥纳多（斐波那契）在实践几何中，将弦和三角形应用于土地的测量。 1551Rheticus，在正则三角学说中，通过直角三角形的边定义了六个函数。 1558Francesco Maurolico 编辑了墨涅拉俄斯的球面，包括球面桌子和三角形。 1620Edmund Gunter，在卡农三角中，介绍了余正弦和余切线。 来源： 故事 (MacTutor) · 第欧根尼·拉尔修斯 (Diogenes Laertius)，杰出哲学家的传记，I.27 · 亚里士多德，政治，I.11。 在日常生活中 **用手机测量建筑物的高度。**测角仪应用程序可测量与顶部的角度。在距离建筑物 30 米处，对于 $40^\circ$，眼睛上方的高度为 $30\operatorname{tg} 40^\circ \approx 25{,}2$ 米。 飞机着陆。 最终下降发生在距跑道约 $3^\circ$: 10 公里处，飞机高度为 $10\,000\operatorname{tg} 3^\circ \approx 524$ 米。 **土地坡度。**测量员和工程师根据坡度的切线（以百分比表示）对土地进行分类，以确定可以建造的位置。 用手机测量建筑物的高度：距离、角度和切线。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.
令$f$和$g$为变量$x$的两个三角函数。求解不等式$f(x) < g(x)$就是获得数字$r$的集合$S$——解集或真值集，其中$f(r) < g(r)$是一个真句子。 故事 信号$<$和$>$出现在Artis analyticae praxis一书中的1631中，该书在英国数学家Thomas Harriot（同时也是天文学家和航海家）去世十年后出版。符号 $\le$ 和 $\ge$（符号下有破折号）是由法国数学家和水文学家 Pierre Bouguer 在 1734 中引入的。在此之前，不平等被完整地写出来——“大于”、“小于”。 托马斯·哈里奥特是谁 托马斯·哈里奥特 （c. 1560–1621）开始了作为航海老师的生活 沃尔特·罗利爵士伊丽莎白一世宫廷里的冒险家。1585 年，他踏上了罗利探险之旅，前往罗阿诺克岛（位于今北卡罗来纳州）；他学习了阿尔冈昆语，并写了一本关于这片土地及其居民的记述——这是他一生中出版的唯一一本书。回到英国后，在诺森伯兰伯爵的保护下，他致力于代数、光学和天文学：1609 年 7 月，比伽利略早几个月，他用望远镜对准月球，画出了他所看到的东西。但哈里奥特几乎什么也没发表，数千页的手稿几个世纪以来一直被遗忘。他死于鼻癌，可能是由烟草引起的，这是他从美国带来的一种习惯。 1557Robert Recorde 发明了符号 $=$：“两条平行直线，因为没有什么比这更平等了”。 1631打印 Harriot 信号 $<$ 和 $>$。 1734Pierre Bouguer 介绍了 $\le$ 和 $\ge$。 资料来源： F. Cajori，数学符号史，卷。 I (1928)，§§ 484–485 · Harriot (MacTutor)。 在日常生活中 **摩天轮。**在第七章的摩天轮中，舱室在29米以上的同时$\operatorname{sen}\theta > \frac{1}{2}$，即在$\frac{1}{3}$圈期间：每10分钟3分钟20秒。 **太阳能。**水平面板仅在太阳足够高时产生有用的能量；要求至少最大强度的一半就是要求$\operatorname{sen} h > \frac{1}{2}$，即太阳高于$30^\circ$。 **低潮时穿越。**步行穿越沙洲的时间是$a + b\operatorname{sen}(ct + d) < m$类型不等式的解。 客舱在所选高度上方停留多长时间？绿色带是不平等的解决方案。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.
正弦是在周期中旋转的点的高度。当点转动时，高度在$-1$和$1$之间升降，绘制出数学中最著名的曲线：正弦曲线。 故事 一千多年来，正弦只是一个表格数字：没有人考虑过绘制它的图形。第一个已知的正弦曲线出现在 1634 附近，出现在法国人 Gilles Personne de Roberval 的关于摆线 的作品中，该曲线由滚轮上的点描述。为了计算摆线下方的面积，罗伯瓦尔使用了一条辅助曲线，他将其称为“摆线的伴曲线”——而这个伴曲线正是正弦曲线。一个世纪后，欧拉开始将正弦视为实数的函数，直到那时，该图才获得了今天的中心地位。 吉尔·德·罗贝瓦尔是谁 Gilles Personne de Roberval (1602–1675) 出生于 Roberval 村附近诺埃尔圣马丁的一个农民家庭，他采用了 Roberval 村的名字。在1634中，他赢得了拉穆斯在巴黎皇家学院的教席，该学院有一个特殊的规则：每三年该职位进行一次竞争，问题由占用者本人提出。为了避免失去工作，罗伯瓦尔对他的方法保密，并设法保留了他的教授职位，直到 40 年多后他去世。代价很高：由于他发表的文章很少，他陷入了与托里拆利、笛卡尔等人的优先权争夺战中，这些人得出了相同的结果并更早地发表了它们。他的名字保留在罗伯瓦尔天平中，这是一种带有铰链机构的两盘秤，由他在 1669 中引入，并在商业中使用了几个世纪。 轮子滚动：边缘上的点 $P$ 绘制摆线，与 $P$ 高度相同且垂直于中心的点 $Q$ 绘制罗伯瓦尔的伴生曲线 - 第一个正弦曲线。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 来源： Roberval (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor)。 在日常生活中 **声音。**那里的音叉每秒振动 440 次；它附近的气压是周期为 $\frac{1}{440}$ s 的正弦曲线。 **交流电。**巴西的插座电压是每秒 60 个周期的正弦波。 **潮汐和季节。**潮汐的高度和全年白天的长度可以通过 $a + b \operatorname{sen}(cx + d)$ 等函数很好地近似。 出口电压是每秒 60 周期的正弦曲线，峰值约为 180 V。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.