正弦是在周期中旋转的点的高度。当点转动时，高度在$-1$和$1$之间升降，绘制出数学中最著名的曲线：正弦曲线。

故事

一千多年来，正弦只是一个表格数字：没有人考虑过绘制它的图形。第一个已知的正弦曲线出现在 1634 附近，出现在法国人 Gilles Personne de Roberval 的关于摆线 的作品中，该曲线由滚轮上的点描述。为了计算摆线下方的面积，罗伯瓦尔使用了一条辅助曲线，他将其称为“摆线的伴曲线”——而这个伴曲线正是正弦曲线。一个世纪后，欧拉开始将正弦视为实数的函数，直到那时，该图才获得了今天的中心地位。

轮子滚动：边缘上的点 $P$ 绘制摆线，与 $P$ 高度相同且垂直于中心的点 $Q$ 绘制罗伯瓦尔的伴生曲线 - 第一个正弦曲线。

来源： Roberval (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor)。

在日常生活中

  • **声音。**那里的音叉每秒振动 440 次；它附近的气压是周期为 $\frac{1}{440}$ s 的正弦曲线。
  • **交流电。**巴西的插座电压是每秒 60 个周期的正弦波。
  • **潮汐和季节。**潮汐的高度和全年白天的长度可以通过 $a + b \operatorname{sen}(cx + d)$ 等函数很好地近似。
出口电压是每秒 60 周期的正弦曲线，峰值约为 180 V。

理论

定义

Definição正弦和正弦函数

给定一个实数$x$，令$P$为其在循环中的图像。 $x$ 的正弦值（我们表示为 $\operatorname{sen} x$）是点 $P$ 相对于系统 $uOv$ 的纵坐标 $\overline{OP_1}$。

正弦函数是将每个实数$x$与实数$\overline{OP_1} = \operatorname{sen} x$（即$f(x) = \operatorname{sen} x$）关联起来的函数$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$。

将$P$拖过循环：正弦轴上的红色段$\overline{OP_1}$是$\operatorname{sen} x$。

特性

Propriedade正弦函数的性质

  1. 对于所有实数 $x$，正弦函数的范围为 $[-1, 1]$: $\;-1 \le \operatorname{sen} x \le 1$ 范围。
  2. 如果 $x$ 来自第一或第二象限，则 $\operatorname{sen} x$ 为正。
  3. 如果 $x$ 来自第三或第四象限，则 $\operatorname{sen} x$ 为负。
  4. 如果 $x$ 穿过第一或第四象限，则 $\operatorname{sen} x$ 增加。
  5. 如果 $x$ 通过第二或第三象限，则 $\operatorname{sen} x$ 递减。
  6. 正弦函数是周期性，其周期为$2\pi$。
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1。 如果$P$在半径循环1内，则其纵坐标只能在$-1$到$+1$之间变化；该范围内的每个值都是从循环中的某个点开始排序的。

2和3。在第一和第二象限中，$P$位于$u$轴的上方，且纵坐标为正；第 3 和第 4 个中，$P$低于$u$，纵坐标为负。

**4和5。**如果$x$穿过第一象限，$P$穿过圆弧$\overset{\frown}{AB}$，其纵坐标从0增长到1；在第四象限中，$P$从$B'$到$A$，纵坐标从$-1$增加到0。若$x$穿过第二象限，$P$穿过$\overset{\frown}{BA'}$，纵坐标从1递减至0；类似的事实也发生在第三象限。

6。 如果 $\operatorname{sen} x = \overline{OP_1}$ 和 $k \in \mathbb{Z}$，则 $\operatorname{sen}(x + 2k\pi) = \overline{OP_1}$，因为 $x$ 和 $x + 2k\pi$ 在循环中具有相同的图像 $P$。因此，对于每个实数 $x$，

$$\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(x + 2k\pi),$$

正弦函数是周期性的。周期是 $2k\pi$ 的最小正值，即 $2\pi$（0 和 $2\pi$ 之间没有 $p$，因为 $\operatorname{sen}\frac{\pi}{2} = 1$ 仅在整转后重复）。

图表：正弦曲线

让$x$遍历区间$[0, 2\pi]$。当图像$P$逆时针完全旋转时，$P$的纵坐标变化如下：

$x$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$\operatorname{sen} x$ $0$ 成长 $1$ 减少 $0$ 减少 $-1$ 成长 $0$

以$x$为横坐标，$\operatorname{sen} x$为纵坐标，我们得到名为正弦曲线的图：

移动控件（或使用 ▶ 动画）：循环点的高度将传输到正在绘制的图形中。
正弦曲线。矩形$[0, 2\pi] \times [-1, 1]$恰好包含一个周期；它的尺寸是$2\pi \times 2$，即大约$6{,}28 \times 2$。

由于正弦函数的域是 $\mathbb{R}$，因此正弦曲线继续到 $2\pi$ 的右侧和 $0$ 的左侧，重复相同的标记。

正弦曲线的变化

本章的练习要求提供 $-\operatorname{sen} x$、$2\operatorname{sen} x$、$|\operatorname{sen} x|$、$\operatorname{sen} 2x$、$\operatorname{sen}\frac{x}{2}$、$1 + \operatorname{sen} x$ 和 $\operatorname{sen}\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ 等函数的图形。它们都遵循相同的方法，分三个步骤：

  1. 我们为正弦 参数 ($0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$) 分配方便的值；
  2. 我们计算这些值的正弦；
  3. 我们从中计算 $x$ 和 $y$。

Resumof(x) = a + b·sin(cx + d) 的图像和周期

对于实数 $a, b, c, d$ 以及 $b \ne 0$ 和 $c \ne 0$：

$$\operatorname{Im}(f) = \big[a - |b|,\ a + |b|\big] \qquad\qquad p(f) = \frac{2\pi}{|c|}.$$
  • $a$ 将图表向上 ($a > 0$) 或向下 ($a < 0$) 平移；
  • $b$ 垂直拉伸图形（幅度为 $|b|$），如果为 $b < 0$，则将其反映在 $x$ 轴上；
  • $c$ 水平压缩图形：周期变为$\frac{2\pi}{|c|}$；
  • $d$ 水平移动图表：一个周期从 $x = -\frac{d}{c}$ 开始。

演示在章节列表.

移动控件并观察每个系数的效果。使用练习中的值来检查您的图表。