来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2026 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布解答题的官方解答（第二阶段的官方 答案只涉及葡萄牙语选择题）；下面的解答由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个 公式或计算机）核对过。 答案一览 题号 内容 答案 01 八面体中的整点 231 02 三角矩阵的幂 $n = 15$ 03 平行四边形与内切圆 30 04 靶子的红色面积 $\pi(\alpha^2 + 32\alpha + 528)$ 05 大球中的四个小球 $\frac{22 + 9\sqrt{6}}{16}$ 06 三角矩阵（题目自相矛盾） 见说明 07 四次多项式与余式 $-1$、$\frac{1}{2}$、$1 \pm 2i$ 08 和为 100 的递增三元组 784 09 过一点作双曲线的切线 $y = \pm 2\sqrt{6}\,x - 8$；$(\pm\sqrt{6}, 4)$ 10 相交的圆与公共面积 半径 $2\sqrt{3}$ 和 $6$；面积 $10\pi - 12\sqrt{3}$ 第 01 题：八面体中的整点 题目 考虑以原点为中心的正八面体，它的三个顶点为 $(5, 0, 0)$、$(0, 5, 0)$、$(0, 0, 5)$。这个立体的 内部和表面上有多少个坐标全为整数的点？
来源： ITA ——第一阶段试卷 和官方答案。文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2026 第一阶段共有 48 道选择题：数学 12 道、物理 12 道、化学 12 道、英语 12 道。 本文收录其中的数学题，题号沿用试卷的 1 至 12。 试卷约定。 $i^2 = -1$；$\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭；$]a, b[$ 为开区间 $a < x < b$。 答案一览 题号 内容 答案 1 复数：模与辐角 D 2 对数：用近似值解方程组 B 3 矩阵：对称、等差数列与奇异性 E 4 复数：解构成的多边形 C 5 平面几何：六角星 D 6 空间位置关系 作废 7 旋转矩阵 A 8 多项式：关于一点对称 B 9 抛物线、切线与面积 D 10 三角方程组 E 11 双射计数 A 12 半径成等比数列的相切圆 B 第 1 题：z − w 为实数，w 的辐角为 π/6 题目 设 $z, w \in \mathbb{C}$，$z - w = -2\sqrt{3}$ 且 $w \ne 0$。若 $z$ 的模为 $2\sqrt{3}$，$w$ 的辐角为 $\pi/6$，则 $z$ 的实部等于
来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2023 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答 由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或计算机）核对过。 答案一览 题号 内容 答案 1 齐次线性方程组 $b = 2a$；$\{(-15t, -16t, 17t) : t \in \mathbb{R}\}$ 2 矩阵：$M$ 何时可逆 $\alpha \notin \{0, 2, 3 - \sqrt{15}, 3 + \sqrt{15}\}$ 3 底数含变量的对数不等式 $]-2, 0[$ 4 多项式除法与根 $q = x^6 + x^5 - x - 1$，$r = 0$；根为 $\operatorname{cis}\frac{\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{3\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{7\pi}{5}, \operatorname{cis}\frac{9\pi}{5}$ 5 三角：和差化积 $\sin(\alpha - \beta) = \frac{2AB}{A^2 + B^2}$ 6 内切圆半径 $\frac{6\sqrt{7} - 3\sqrt{3}}{10}$ 7 椭圆：两焦半径夹角为 60° $\left(\pm\frac{4\sqrt{2}}{3}, \pm\frac{1}{3}\right)$ 8 等边圆柱与球 $400\pi$ cm² 和 $\frac{4000\pi}{3}$ cm³ 9 正弦定理：三角形的边 $6 + \sqrt{11}$ 和 $6 - \sqrt{11}$ 10 计数：十边形的对角线对 175 第 1 题：齐次方程组何时有非零解 题目 设 $a$、$b$ 为正实数。考虑关于未知数 $x$、$y$、$z$ 的线性方程组：
来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。 ITA 2022 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布第二阶段的官方解答；下面的解答 由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个公式或数值计算）核对过。 记号约定与第一阶段相同：$i^2 = -1$，$m(\overline{AB})$ 为线段 $\overline{AB}$ 的长度， $A\hat{O}B$ 为以 $O$ 为顶点的角。 答案一览 题号 内容 答案 1 多项式：矩形的周长 $a = \frac{164}{125}$，$b = \frac{336}{125}$ 2 复数：虚部为零 $z = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ 3 递推定义的矩阵 725 4 计数：井字棋 120 5 反三角函数 $\frac{\pi}{4}$ 和 $\frac{3\pi}{4}$ 6 解析几何：直线夹角与距离 $Q = \left(-\frac{4}{5}, \frac{6}{5}\right)$ 7 立体几何：正六棱台 $112 + \frac{224\sqrt{3}}{3}$ 8 圆内接四边形：外接圆半径 $r = \frac{7\sqrt{3}}{3}$ 9 有公共水平切线的三个圆 $\left\{\left(1, \frac{21}{4}\right)\right\}$ 10 依次内接的正八面体与立方体 $\frac{l_{10}}{l_1} = \frac{1}{3^9}$ 第 1 题：周长为 8 的矩形的边长 题目 设 $x \in \mathbb{R}$。矩形 $R$ 的两边长为 $a = 9x^2 - 5x^4$ 和 $b = 8x - 8x^3$。 已知 $R$ 的周长为 8，求 $a$ 和 $b$。