ITA 2026 – 第二阶段：数学题详解

来源： ITA ——第二阶段数学试卷。 文件见 ITA 历年试题页面。

ITA 2026 第二阶段数学试卷共有 10 道解答题。ITA 不公布解答题的官方解答（第二阶段的官方 答案只涉及葡萄牙语选择题）；下面的解答由我们完成，每个答案都用第二种方法（代入、另一个 公式或计算机）核对过。

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第 01 题：八面体中的整点

题目

考虑以原点为中心的正八面体，它的三个顶点为 $(5, 0, 0)$、$(0, 5, 0)$、$(0, 0, 5)$。这个立体的 内部和表面上有多少个坐标全为整数的点？

解答

1. 立体。 顶点为 $(\pm 5, 0, 0)$、$(0, \pm 5, 0)$、$(0, 0, \pm 5)$ 的八面体就是集合 $|x| + |y| + |z| \le 5$。

2. 按 $z$ 分层。 对每个满足 $|z| \le 5$ 的整数 $z$，数满足 $|x| + |y| \le k$ 的整数对，其中 $k = 5 - |z|$。这个"菱形"有 $2k^2 + 2k + 1$ 个整点（例如 $k = 1$：5 个点 $(0,0)$、$(\pm1, 0)$、$(0, \pm1)$）。

3. 总数。

用计算机验证： 数出所有满足 $|x| + |y| + |z| \le 5$ 的整数点 $(x, y, z)$，得 231 ✔

答案： 231 个点。

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第 02 题：Aⁿ 的 (1, 3) 元素何时超过 119

题目

考虑

求最小的 $n \in \mathbb{N}$，使 $A^n$ 第一行第三列的元素大于 119。

解答

1. 分出单位矩阵。 $A = I + N$，其中

2. 二项式定理。 $I$ 与 $N$ 可交换，所以

$(1, 3)$ 元素为 $2n + \frac{n(n - 1)}{2} = \frac{n^2 + 3n}{2}$。

3. 不等式。 $\frac{n^2 + 3n}{2} > 119 \iff n^2 + 3n > 238$。$n = 14$ 时 $196 + 42 = 238$，不大于。 $n = 15$ 时 $225 + 45 = 270 > 238$。

验证： $(1,3)$ 元素在 $A^{14}$ 中为 $119$，在 $A^{15}$ 中为 $135$ ✔

答案： $n = 15$。

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第 03 题：平行四边形 ABCD 的面积

题目

平行四边形 $ABCD$ 的对角线分别在直线 $r: 2y - x = 2$ 和 $s: x + 2y = 8$ 上。直线 $r$ 与 $s$ 交于 点 $X$。已知 $C = (8, 5)$，三角形 $ABX$ 的内切圆方程为

求 $ABCD$ 的面积。

解答

1. 中心 $X$。 把 $r$、$s$ 的方程相加：$4y = 10$，$y = \frac{5}{2}$，$x = 3$。所以 $X = \left(3, \frac{5}{2}\right)$。

2. 顶点 $A$。 $C = (8, 5)$ 在 $r$ 上（$10 - 8 = 2$），所以 $AC$ 是 $r$ 上的对角线。对角线互相 平分：$A = 2X - C = (-2, 0)$。

3. 边 $AB$。 $B$ 在 $s$ 上，$AB$ 是过 $A$ 且与圆心 $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$、半径 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 的圆相切的直线，不同于 $r$（$r$ 也与该圆相切）。设 $y = k(x + 2)$：

所以 $k = \frac{1}{2}$（即直线 $r$）或 $k = 2$。于是 $AB: y = 2x + 4$，与 $s$ 联立： $x + 2(2x + 4) = 8 \Rightarrow x = 0$，$B = (0, 4)$。

验证： 用各边长加权平均顶点算出 $A(-2, 0)$、$B(0, 4)$、$X\left(3, \frac52\right)$ 的内心，正是 $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ ✔

4. 面积。 两条对角线把平行四边形分成面积相等的四个三角形。由 $\overrightarrow{AB} = (2, 4)$、$\overrightarrow{AX} = \left(5, \frac{5}{2}\right)$：

（顶点为 $A(-2, 0)$、$B(0, 4)$、$C(8, 5)$、$D = 2X - B = (6, 1)$。）

答案： $ABCD$ 的面积为 30。

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第 04 题：靶子有多少是红色的？

题目

墙上画着一个靶子，由一个中心圆和一系列红白相间的同心圆环组成。中心圆涂成红色，半径为 $\alpha$ 个单位。之后每个圆的半径都比前一个大一个单位：$\alpha + 1$，然后 $\alpha + 2$，依此类推。 已知靶子共有 33 个圆，求红色的总面积（用 $\alpha$ 表示）。

解答

1. 区域。 33 个圆的半径为 $\alpha, \alpha + 1, \dots, \alpha + 32$。红色区域是中心圆，以及半径在 $\alpha + k$ 与 $\alpha + k + 1$ 之间、$k$ 为奇数（$k = 1, 3, \dots, 31$）的圆环：共 16 个圆环。

2. 一个圆环的面积。

3. 求和。 令 $k = 2m - 1$，$m = 1, \dots, 16$：$2\alpha + 2k + 1 = 2\alpha + 4m - 1$。于是

用总面积验证： 白色面积是 $k$ 为偶数（$k = 0, 2, \dots, 30$）的圆环之和 $\pi(32\alpha + 496)$； 红 + 白 $= \pi(\alpha^2 + 64\alpha + 1024) = \pi(\alpha + 32)^2$，正是最大圆的面积 ✔

答案： $\pi\left(\alpha^2 + 32\alpha + 528\right)$。

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第 05 题：大球中的四个球

题目

四个相同的球两两相切，同时内切于一个更大的球，且四个小球的球心构成正四面体。求大球的 体积与四个小球体积之和的比。

解答

1. 球心构成的四面体。 半径为 $r$ 的两两相切的球，球心间距为 $2r$：棱长为 $2r$ 的正四面体。 棱长为 $\ell$ 的正四面体的外接球半径为 $\frac{\ell\sqrt{6}}{4}$；这里为 $\frac{2r\sqrt{6}}{4} = \frac{r\sqrt{6}}{2}$。

2. 大球。 大球在小球的外侧与之相切，切点在从整体中心指向小球球心的延长线上：

3. 比值。

由于 $(\sqrt{6} + 2)^3 = 6\sqrt{6} + 3\cdot 6\cdot 2 + 3\sqrt{6}\cdot 4 + 8 = 44 + 18\sqrt{6}$，

答案： $\dfrac{22 + 9\sqrt{6}}{16}$。

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第 06 题：三角矩阵与列和

题目

给定实数 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n-1}$，定义 $n \times n$ 矩阵 $A = (a_{ij})$ 和 $B = (b_{ij})$：

假设矩阵 $AB$ 第 $j$ 列元素之和等于 $n - j$。

• a) 求 $AB$ 的行列式。
• b) 用 $n$ 表示 $AB$ 的迹。
• c) 设 $n = 5$，求 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4 \in \mathbb{R}$ 的所有可能值。

说明

注意： 按字面理解，题目自相矛盾：无论怎样选取 $\alpha$，都不能使 $AB$ 各列之和 等于 $n - j$。下面先说明原因，再解出使题目自洽的版本（$A$ 的列和）。Poliedro 学校公布的 解答也得出了同样的矛盾。

1. $A$ 的列。 $A$ 的第 $j$ 列为 $(0, \dots, 0, 1, \alpha_j, \alpha_j^2, \dots, \alpha_j^{\,n-j-1})$，1 在第 $j + 1$ 行。其和为

2. $AB$ 的列。 $B$ 的第 $j$ 列在第 $1, \dots, j$ 行为 1。所以 $AB$ 的第 $j$ 列是 $A$ 的第 $1, \dots, j$ 列之和，其元素和为

3. 矛盾。 由于 $S_n = 0$，有 $c_n = c_{n-1}$。但条件要求 $c_{n-1} = 1$ 且 $c_n = 0$。不可能。 （即使不管最后一列，$c_1 = n - 1$ 和 $c_2 = n - 2$ 也会迫使 $S_2 = -1$；当 $n = 5$ 时， $1 + \alpha_2 + \alpha_2^2 = -1$ 没有实数解。）

a) 任何理解下都成立。 $A$ 是对角线为零的下三角矩阵，所以 $\det A = 0$，

自洽的版本：$A$ 的列和等于 $n - j$。 设对所有 $j$ 有 $S_j = n - j$（$j = n$ 时就是 $0 = 0$， $j = n - 1$ 时 $S_{n-1} = 1$，总是成立）。

b) $AB$ 的 $(i, i)$ 元素为 $\sum_{k \le i} a_{ik}$，即 $A$ 第 $i$ 行之和（$k \ge i$ 的项为零）。所以 $AB$ 的迹就是 $A$ 所有元素之和：

c) 当 $n = 5$：

• $S_1 = 1 + \alpha_1 + \alpha_1^2 + \alpha_1^3 = 4 \Rightarrow (\alpha_1 - 1)(\alpha_1^2 + 2\alpha_1 + 3) = 0 \Rightarrow \alpha_1 = 1$（二次因子无实根）；
• $S_2 = 1 + \alpha_2 + \alpha_2^2 = 3 \Rightarrow (\alpha_2 - 1)(\alpha_2 + 2) = 0 \Rightarrow \alpha_2 = 1$ 或 $\alpha_2 = -2$；
• $S_3 = 1 + \alpha_3 = 2 \Rightarrow \alpha_3 = 1$；
• $S_4 = 1$ 恒成立：$\alpha_4$ 只以 $\alpha_4^0$ 的形式出现，可以取任意实数。

答案（按自洽的理解）： a) $\det(AB) = 0$；b) $\operatorname{tr}(AB) = \frac{n(n-1)}{2}$； c) $\alpha_1 = 1$，$\alpha_2 \in \{1, -2\}$，$\alpha_3 = 1$，$\alpha_4 \in \mathbb{R}$ 任意。 按字面理解，不存在满足条件的 $\alpha$；只有 a) 仍然成立。

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第 07 题：由余式求根

题目

设 $p(x)$ 是实系数四次多项式。$p(x)$ 的根之和为 $\frac{3}{2}$，根之积为 $-\frac{5}{2}$。已知 $p(x)$ 除以 $x^3 - x + 4$ 的余式为 $9x^2 - 4x + 7$，求 $p(x)$ 在 $\mathbb{C}$ 中的所有根。

解答

1. $p$ 的形式。 除以三次多项式的商是一次的：

2. 韦达定理。 根之和：$-\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$，所以 $b = -\frac{3a}{2}$。根之积： $\frac{4b + 7}{a} = -\frac{5}{2}$，所以 $-6a + 7 = -\frac{5a}{2}$，$a = 2$，$b = -3$。

3. 根。 试有理根：$p(-1) = 2 + 3 + 7 - 7 - 5 = 0$， $p\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2} - 5 = 0$。相除得：

而 $x^2 - 2x + 5 = 0$ 给出 $x = 1 \pm 2i$。

验证： 和 $-1 + \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$ ✔；积 $(-1)\cdot\frac{1}{2}\cdot 5 = -\frac{5}{2}$ ✔； $p$ 除以 $x^3 - x + 4$ 的余式为 $9x^2 - 4x + 7$ ✔（经计算机验证）。

答案： $-1$、$\dfrac{1}{2}$、$1 + 2i$ 和 $1 - 2i$。

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第 08 题：和为 100 的三个递增自然数

题目

可以构造多少个由三个自然数组成、严格递增且三数之和为 100 的数列？

解答

要求 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ 中的 $a < b < c$，$a + b + c = 100$。

1. 去掉严格不等号。 令 $a = x$，$b = x + y$，$c = x + y + z$，其中 $x, y, z \ge 1$。则

每个解恰好对应一个数列。

2. 计数。 对每对满足 $3x + 2y \le 99$ 的 $x$、$y$，有唯一的 $z \ge 1$。固定 $x$，$y$ 从 1 取到 $\left\lfloor\frac{99 - 3x}{2}\right\rfloor$：

（$x$ 最大为 32，因为 $x = 33$ 时就没有 $y \ge 1$ 的余地了。）把 $x$ 为奇数的项 （$48, 45, \dots, 3$：16 项，公差 $-3$ 的等差数列）和 $x$ 为偶数的项（$46, 43, \dots, 1$：16 项， 公差 $-3$）分组：

用计算机验证： 直接数出和为 100 的三元组 $a < b < c$，得 784 ✔。（这也与经典公式一致： $m$ 分成 3 个部分的分拆数是最接近 $\frac{m^2}{12}$ 的整数；这里 $m = 100 - 3 = 97$， $\frac{97^2}{12} \approx 784.1$。）

答案： 784 个数列。

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第 09 题：过 (0, −8) 作双曲线的切线

题目

设 $H$ 是焦点为 $A = (-6, 0)$、$B = (6, 0)$，离心率为 3 的双曲线。

• a) 求所有过 $C = (0, -8)$ 且与 $H$ 相切的直线的方程。
• b) 对上一问的每条直线，求切点。

解答

1. 双曲线。 $c = 6$，$e = \frac{c}{a} = 3$，得 $a = 2$，$b^2 = c^2 - a^2 = 32$：

2. 过 $C$ 的直线。 竖直线 $x = 0$ 与 $H$ 不相交。其他直线为 $y = mx - 8$。代入：

若 $m^2 = 8$（平行于渐近线的直线），只有一个交点，但这是割线而不是切线。当 $m^2 \ne 8$ 时， 相切即判别式为零：

3. 切点。 二重根为 $x = \frac{-16m}{2(8 - m^2)} = \frac{-16m}{-32} = \frac{m}{2}$， $y = m\cdot\frac{m}{2} - 8 = 12 - 8 = 4$。

• $m = 2\sqrt{6}$：切点 $(\sqrt{6}, 4)$。
• $m = -2\sqrt{6}$：切点 $(-\sqrt{6}, 4)$。

验证： $\frac{6}{4} - \frac{16}{32} = 1$ ✔，而 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{32} = 1$ 在 $(\sqrt{6}, 4)$ 处的切线为 $\frac{\sqrt{6}\,x}{4} - \frac{4y}{32} = 1$，即 $y = 2\sqrt{6}\,x - 8$，它经过 $(0, -8)$ ✔

答案： a) $y = 2\sqrt{6}\,x - 8$ 和 $y = -2\sqrt{6}\,x - 8$。b) 切点分别为 $(\sqrt{6}, 4)$ 和 $(-\sqrt{6}, 4)$。

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第 10 题：两个圆以及它们之间的透镜形

题目

点 $A$、$B$ 确定一条线段，$m(\overline{AB}) = 6(1 + \sqrt{3})$ cm。点 $C$、$D$ 在线段 $\overline{AB}$ 上。 以 $C$ 为圆心且过 $A$ 的圆与以 $D$ 为圆心且过 $B$ 的圆相交于点 $P$、$Q$，满足

• a) 求每个圆的半径。
• b) 求两个圆内部公共区域的面积。

解答

1. 坐标。 $A = (0, 0)$，$B = (L, 0)$，$L = 6(1 + \sqrt{3})$。两圆心在 $x$ 轴上，所以 $P$、$Q$ 对称：$P = (u, h)$，$Q = (u, -h)$，$m(\overline{PQ}) = 2h$。

2. 利用条件。

• $AP = 2h$：$u^2 + h^2 = 4h^2 \Rightarrow u = \sqrt{3}\,h$（取 $u > 0$；若 $u < 0$，圆心 $C$ 会落在线段之外）。
• $BP = 2h\sqrt{2 + \sqrt{3}}$：$(L - u)^2 + h^2 = 4h^2(2 + \sqrt{3})$，所以 $(L - u)^2 = h^2(7 + 4\sqrt{3}) = h^2(2 + \sqrt{3})^2$，$L - u = h(2 + \sqrt{3})$。

相加：$L = h(2 + 2\sqrt{3}) = 2h(1 + \sqrt{3})$，所以 $h = 3$，$u = 3\sqrt{3}$，$P = (3\sqrt{3}, 3)$。

3. a) 半径。

• 圆心 $C = (R_1, 0)$，过 $A$ 和 $P$：$(3\sqrt{3} - R_1)^2 + 9 = R_1^2 \Rightarrow 36 = 6\sqrt{3}\,R_1 \Rightarrow R_1 = 2\sqrt{3}$ cm。
• 圆心 $D = (L - R_2, 0)$，过 $B$ 和 $P$：令 $w = L - u = 3(2 + \sqrt{3})$，$(w - R_2)^2 + 9 = R_2^2 \Rightarrow R_2 = \frac{w^2 + 9}{2w} = \frac{36(2 + \sqrt{3})}{6(2 + \sqrt{3})} = 6$ cm。

（用到 $w^2 = 9(7 + 4\sqrt{3})$，所以 $w^2 + 9 = 36(2 + \sqrt{3})$。）圆心 $C = (2\sqrt{3}, 0) \approx (3.46,\ 0)$ 和 $D = (6\sqrt{3}, 0) \approx (10.39,\ 0)$ 都在线段上 ✔

4. b) 透镜形。 公共弦 $\overline{PQ}$ 长 6，位于直线 $x = 3\sqrt{3}$ 上。公共区域是两个弓形的并：

• 以 $C$ 为圆心的圆： 弦到圆心的距离为 $3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$；半圆心角的余弦为 $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$，所以圆心角为 $120^\circ$。弓形面积：$\frac{R_1^2}{2}\left(\frac{2\pi}{3} - \sin120^\circ\right) = 6\left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4\pi - 3\sqrt{3}$。
• 以 $D$ 为圆心的圆： 弦到圆心的距离为 $6\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$；半角的余弦为 $\frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，圆心角为 $60^\circ$。弓形面积：$\frac{36}{2}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 6\pi - 9\sqrt{3}$。

数值验证： $AP = 6 = PQ$，$BP \approx 11.591 = 6\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ ✔；对公共区域做数值积分得 $\approx 10.632$ cm² ✔

答案： a) $2\sqrt{3}$ cm（圆心 $C$）和 $6$ cm（圆心 $D$）。b) $10\pi - 12\sqrt{3}$ cm²。

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