1812 年 11 月 30 日，来自瑟堡的年轻工程师在法兰西学会宣读了一篇标题很长的论文：论那些在变量互换时只能取两个大小相等、符号相反的值的函数。标题背后，是第一套一般的行列式理论。 会变号的函数 取三个变量 $a_1, a_2, a_3$，以及它们之差的乘积 $$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2).$$如果交换 $a_1$ 和 $a_2$，每个因子要么不变，要么变号，总的结果是 $\Delta$ 变成 $-\Delta$。交换任何两个变量都是如此。变量的置换是一连串交换，它把 $\Delta$ 乘以 $+1$ 或 $-1$：置换分为偶置换和奇置换。 柯西用这个观察整理了莱布尼茨、克拉默、范德蒙德和拉普拉斯在解线性方程组时得到的各种表达式。他把 $n^2$ 个系数排成一个方阵，用两个下标记为 $a_{i,j}$，并把行列式定义为所有这样的乘积之和：每个乘积从每一行、每一列各取一个元素，并带上相应置换的符号： $$\det\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix} = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}.$$“行列式”（déterminant）这个词来自高斯，他曾把它用于二次型；是柯西把它固定为今天的含义。 乘积 这篇论文的主要结果是乘积定理：如果 $C$ 是 $A$ 与 $B$ 按行乘列得到的方阵，那么 $$\det C = \det A \cdot \det B.$$雅克·比内在同一年也提出了这个定理，适用于长方阵列的一般形式今天称为柯西–比内公式。用数字验证一下。设 $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},$$则 $\det A = 6 - 1 = 5$，$\det B = 1 - 8 = -7$。乘积是
1832 年 5 月 30 日凌晨，在巴黎，一个二十岁的年轻人通宵写作。埃瓦里斯特·伽罗瓦约好了黎明时分的一场决斗，他知道自己多半活不下来。他给朋友奥古斯特·舍瓦利耶写了一封长信，概述那些被科学院拒绝或遗失的想法，并请求把信拿给雅可比和高斯看，“不是请他们评判这些定理的真伪，而是评判它们的重要性”。在一份手稿的页边，他留下了一句后来很有名的话： 这个证明还有些地方要补全。我没有时间了。 — 埃瓦里斯特·伽罗瓦，手稿页边的批注（1832） 伽罗瓦在决斗中受伤，第二天去世。他的论文直到 1846 年才由约瑟夫·刘维尔发表，又过了几十年才被人理解。它们解答了一个困扰了几个世纪的问题：为什么二次、三次和四次方程都有用根式表示的求根公式，比如二次方程的求根公式，而五次方程一般没有？挪威人尼尔斯·亨里克·阿贝尔在二十六岁死于肺结核，他早在 1824 年就证明了五次方程不存在一般的求根公式。伽罗瓦解释了为什么，为此，他发明了一个新概念：群。 运动的代数 伽罗瓦的想法用图形比用方程更容易看清。用纸剪一个等边三角形，把顶点编号为 $1$、$2$、$3$，再在纸上画出它的轮廓。有多少种办法把三角形拿起来、再恰好放回轮廓上？六种：不动；转三分之一圈；转三分之二圈；或者绕三条对称轴之一把它翻过来。 把等边三角形放回轮廓的六种方式：不动、两种旋转和三种翻转。数字表示每个顶点去了哪里。根据本站早期文章为本书绘制的教学示意图。 本站早期的文章把这些运动叫作 $M_1,\dots,M_6$，并用 $M_i\star M_j$ 表示“先做 $M_j$，再做 $M_i$”。连续做两个运动，结果总是同一张清单里的第三个运动，这正是它们构成一个群的原因。所有的组合都能装进一张表，本站称之为群的乘法表： $$\begin{array}{c|cccccc} \star & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5 & M_6\\ \hline M_1 & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5 & M_6\\ M_2 & M_2 & M_3 & M_1 & M_5 & M_6 & M_4\\ M_3 & M_3 & M_1 & M_2 & M_6 & M_4 & M_5\\ M_4 & M_4 & M_6 & M_5 & M_1 & M_3 & M_2\\ M_5 & M_5 & M_4 & M_6 & M_2 & M_1 & M_3\\ M_6 & M_6 & M_5 & M_4 & M_3 & M_2 & M_1 \end{array}$$（行表示最后做的运动，列表示先做的运动。）从符号学的角度看看发生了什么：一个物理动作——转动或翻转三角形——变成了一个符号，而组合运动变成了查表。不再需要想象三角形：表格替我们做了这件事。