1812 年 11 月 30 日、シェルブールから来た若い技師が、フランス学士院で長い題の論文を読みあげた。変数をたがいに入れかえたとき、大きさが等しく符号が反対の二つの値しかとりえない関数について。この題の背後にあったのは、行列式の最初の一般理論だった。 符号を変える関数 三つの変数 $a_1, a_2, a_3$ と、差の積 $$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2)$$を考える。$a_1$ と $a_2$ を入れかえると、各因子はそのままか符号を変えるかで、全体として $\Delta$ は $-\Delta$ になる。どの二つの変数を入れかえても同じである。変数の置換は入れかえの列なので、$\Delta$ に $+1$ か $-1$ を掛ける。置換は偶か奇かのどちらかである。 コーシーはこの観察を使って、ライプニッツ、クラメール、ヴァンデルモンド、ラプラスが連立一次方程式を解くときに見つけていた式を整理した。彼は $n^2$ 個の係数を、二つの添字 $a_{i,j}$ をもつ正方形の表に並べ、各行と各列から一つずつ要素をとった積すべてに、対応する置換の符号をつけて足したものとして行列式を定義した。 $$\det\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix} = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}.$$「行列式（déterminant）」という言葉はガウスに由来する。ガウスは二次形式についてこの言葉を使っていた。今日の意味に定着させたのはコーシーである。 積 論文の主要な結果は積の定理である。$C$ が $A$ と $B$ を行と列で掛けて得られる表なら、 $$\det C = \det A \cdot \det B.$$ジャック・ビネも同じ年に同じ定理を発表しており、長方形の表に対する一般形は、今日コーシー＝ビネの公式とよばれる。数で確かめよう。 $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$とすると、$\det A = 6 - 1 = 5$、$\det B = 1 - 8 = -7$ である。積は
1832 年 5 月 30 日の未明、パリで、二十歳の青年が夜通し書きものをしていました。エヴァリスト・ガロアは夜明けに決闘の約束があり、おそらく生きのびられないとわかっていました。彼は友人オーギュスト・シュヴァリエに長い手紙を書き、科学アカデミーに退けられたり紛失されたりした自分の考えをまとめ、それをヤコビとガウスに見せてほしいと頼みました。「定理が正しいかどうかではなく、その重要性について」意見を求めてほしい、と。ある手稿の余白には、のちに有名になる一文を残しています。 この証明には補わなければならないところがある。私には時間がない。 — エヴァリスト・ガロア、手稿の余白の書きこみ（1832） ガロアは決闘で傷を負い、翌日亡くなりました。彼の論文は 1846 年になってようやくジョゼフ・リウヴィルによって出版され、理解されるまでにさらに何十年もかかりました。それは何世紀にもわたる問いに答えるものでした。2 次、3 次、4 次の方程式には二次方程式の解の公式のような累乗根を使った公式があるのに、5 次の方程式には一般にそれがないのはなぜか。26 歳で結核のため亡くなったノルウェーのニールス・ヘンリック・アーベルは、1824 年にすでに、5 次には一般的な公式が存在しないことを証明していました。ガロアはなぜなのかを説明し、そのために新しい考えを発明しました。群です。 動きの代数 ガロアの考えは、方程式より図で見るほうがわかりやすいでしょう。紙で正三角形を切りぬき、頂点に $1$、$2$、$3$ と番号をつけ、紙の上にその輪郭をかきます。三角形を持ち上げて、輪郭にぴったり戻す方法は何通りあるでしょうか。六通りです。そのまま置く、三分の一回転させる、三分の二回転させる、あるいは三本の対称軸のどれかを軸にして裏返す。 正三角形を輪郭に戻す六つの方法：そのまま、二つの回転、三つの裏返し。数字は、それぞれの頂点がどこへ行ったかを示す。このサイトの以前の記事をもとに、この本のために作成した説明図。 このサイトの以前の記事は、これらの動きを $M_1,\dots,M_6$ と呼び、「$M_j$ をしてから $M_i$ をする」ことを $M_i\star M_j$ と書いていました。二つの動きを続けて行うと、結果はいつも同じリストの中の三つ目の動きになります。これが、それらが群をなす理由です。組み合わせはすべて一つの表に収まり、サイトではそれを群の九九表と呼んでいました。 $$\begin{array}{c|cccccc} \star & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5 & M_6\\ \hline M_1 & M_1 & M_2 & M_3 & M_4 & M_5 & M_6\\ M_2 & M_2 & M_3 & M_1 & M_5 & M_6 & M_4\\ M_3 & M_3 & M_1 & M_2 & M_6 & M_4 & M_5\\ M_4 & M_4 & M_6 & M_5 & M_1 & M_3 & M_2\\ M_5 & M_5 & M_4 & M_6 & M_2 & M_1 & M_3\\ M_6 & M_6 & M_5 & M_4 & M_3 & M_2 & M_1 \end{array}$$（行があとで行う動き、列が先に行う動きです。）記号論の観点から何が起きたかを見てください。三角形を回したり裏返したりという物理的な動きが記号になり、動きを組み合わせることが表を読むことになったのです。もう三角形を思い浮かべる必要はありません。表が仕事をしてくれます。