1812 年 11 月 30 日，来自瑟堡的年轻工程师在法兰西学会宣读了一篇标题很长的论文：论那些在变量互换时只能取两个大小相等、符号相反的值的函数。标题背后，是第一套一般的行列式理论。 会变号的函数 取三个变量 $a_1, a_2, a_3$，以及它们之差的乘积 $$\Delta = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1)(a_3 - a_2).$$如果交换 $a_1$ 和 $a_2$，每个因子要么不变，要么变号，总的结果是 $\Delta$ 变成 $-\Delta$。交换任何两个变量都是如此。变量的置换是一连串交换，它把 $\Delta$ 乘以 $+1$ 或 $-1$：置换分为偶置换和奇置换。 柯西用这个观察整理了莱布尼茨、克拉默、范德蒙德和拉普拉斯在解线性方程组时得到的各种表达式。他把 $n^2$ 个系数排成一个方阵，用两个下标记为 $a_{i,j}$，并把行列式定义为所有这样的乘积之和：每个乘积从每一行、每一列各取一个元素，并带上相应置换的符号： $$\det\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{pmatrix} = a_{1,1}a_{2,2} - a_{1,2}a_{2,1}.$$“行列式”（déterminant）这个词来自高斯，他曾把它用于二次型；是柯西把它固定为今天的含义。 乘积 这篇论文的主要结果是乘积定理：如果 $C$ 是 $A$ 与 $B$ 按行乘列得到的方阵，那么 $$\det C = \det A \cdot \det B.$$雅克·比内在同一年也提出了这个定理，适用于长方阵列的一般形式今天称为柯西–比内公式。用数字验证一下。设 $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix},$$则 $\det A = 6 - 1 = 5$，$\det B = 1 - 8 = -7$。乘积是
行列式是为了解线性方程组而诞生的。1750 年，加布里埃尔·克莱姆发表了以他命名的法则，把每个未知数表示成由系数构成的两个式子之比。但当未知数很多时，还缺少一种有条理地计算这些式子的方法。1772 年，亚历山大-泰奥菲勒·范德蒙德和拉普拉斯几乎同时把这些式子当作独立的对象来研究。现代意义上的行列式一词直到 1812 年才由柯西确定下来，而我们今天使用的竖线记号则来自 1841 年的阿瑟·凯莱。 六项，三组 $3 \times 3$ 矩阵的行列式有六项： $$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1.$$拉普拉斯的想法是按某一行（或某一列）的元素把这些项分组。把第一列的元素 $a_1$、$a_2$、$a_3$ 提出来： $$= a_1(b_2c_3 - b_3c_2) - a_2(b_1c_3 - b_3c_1) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1).$$每个括号都是一个 $2 \times 2$ 行列式：删去该元素所在的行和列后剩下的部分。这个较小的行列式称为该元素的余子式： $$= a_1\begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} - a_2\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} + a_3\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}.$$符号的棋盘 符号按棋盘模式交替：第 $i$ 行第 $j$ 列的元素带符号 $(-1)^{i+j}$。