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角度及其测量

角度是同源两条射线之间的“开口”。为了测量它，我们将问题转移到弧上：角度的测量值与它在以其顶点为中心的圆中确定的弧相同。 故事 欧几里得 (c. 300 BC) 的几何原本将平面角度定义为“平面中相交且不在一条直线上的两条线相对于彼此的倾斜度”。定义看似简单，但希腊人讨论了几个世纪的什么是，毕竟是一个角度：一个数量，可以相加和比较？ 质量，就像表格一样？或者两行之间的关系？讲述这场争论的是5世纪的普罗克洛斯，他在对欧几里得的评论中。我们采用的解决方案——通过在以顶点为中心的圆中确定的弧来测量角度——将哲学问题放在一边，并将角度转换为数字。 钟面也有古老的根源：将白天和黑夜划分为 12 小时来自埃及人，每小时的 60 分钟来自巴比伦人的 60 基数。然而，在克里斯蒂安·惠更斯在1656中建造了摆钟之后，分针才变得普遍，这是第一个足够精确的摆钟。 罗德岛的尤德穆斯是谁 罗德岛的尤德穆斯 （约公元前 370-300 年）是最亲近的弟子之一 亚里士多德。罗马作家奥鲁斯·杰利奥 (Aulus Gélio) 说，亚里士多德已经老了，必须在罗德岛的尤德穆斯和莱斯博斯岛的泰奥弗拉斯托斯之间选择他的继任者。他从两个岛上都订购了葡萄酒，品尝了两种葡萄酒，并宣称：“两种都很棒，但莱斯博斯岛的那种更甜”——而莱塞姆则选择了泰奥弗拉斯托斯。 Eudemo 写了第一个 几何史 这是已知的。这本书已经丢失，但普罗克洛斯引用了它，从这些引文中我们知道，例如，泰勒斯使用三角形相等来计算海上船只的距离。根据 Proclus 的说法，Eudemus 奉献了整篇论文， 关于角度，认为角度是一种品质。 来自拉斐尔的雅典学院的人物，传统上被认为是罗德岛的尤德穆斯；不确定的识别。拉斐尔·桑齐奥； Jic 和 FranksValli 复制品的剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域 根据 Eudemus 的说法，泰勒斯是如何计算一艘船的距离的：从 $H$ 高的塔顶，人们可以看到这艘船；三角形 $TKJ$ 和 $TBN$ 相似，然后 $D/H = d/h$。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa.

October 22, 2026 阅读
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角度：转弯和拐角

当你打开门、转动门把手或在拐角处右转时，你就是在做一个 转。这种旋转的大小就是我们所说的角度。 你转了多少度？ **一整圈：**你转动直到你再次看到同一个地方。 **半转：**你转身背对着你正在看的地方。 四分之一转弯：你转向一侧，就像拐角一样。此旋转形成直角。 数学家将整个旋转分为360等份，称为度 (°)。那么一半 转为 180°，四分之一转为 90°。 移动控件或使用按钮。蓝色指针从灰色指针旋转。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 锐角、直角和钝角 Definição · 三种角度 直角： 四分之一圈 (90°)。这是一张纸的一角。 **锐角：**小于直角。让我想起一片披萨的尖端。 **钝角：**大于直角且小于半圈。让我想起一把大开的风扇。 角度分类。使用纸张的一角来检查！ Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 为什么是360？ 多 4 000 年前，巴比伦天文学家观察太阳沿着天空绕行 年，他们计算出大约 360 天。他们还喜欢能分为许多的数字 等份，并且 360 除以 2、3、4、5、6、8、9、10、12… 这就是为什么回报至今仍具有 360 度。 时钟上的角度 钟表的指针形成角度。在 3 小时时，它们形成直角。在 6 小时， 形成半圈。在1时间，它们形成锐角。

October 8, 2026 阅读
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3 - 角度一章中的练习

练习和决议 下面的计算器逐步计算练习 29 到 33 的度、分和秒。先尝试解决它并用它来检查。 输入角度并选择操作。它显示了每个步骤：60”变为1’，60’变为1°。 Ative o JavaScript para ver esta figura interativa. 29 简化以下测量： a) $30^{\circ}70^{\prime}$ · b) $45^{\circ}150^{\prime}$ · c) $65^{\circ}39^{\prime}123^{\prime\prime}$ · d) $110^{\circ}58^{\prime}300^{\prime\prime}$ · e) $30^{\circ}56^{\prime}240^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $31^{\circ}10^{\prime}$ · b) $47^{\circ}30^{\prime}$ · c) $65^{\circ}41^{\prime}3^{\prime\prime}$ · d) $111^{\circ}3^{\prime}$ · e) $31^{\circ}$ 30 确定总和： a) $30^{\circ}40^{\prime} + 15^{\circ}35^{\prime}$ · b) $10^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime} + 15^{\circ}29^{\prime}20^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $46^{\circ}15^{\prime}$ · b) $26^{\circ}0^{\prime}5^{\prime\prime}$ 31 确定差异： a) $20^{\circ}50^{\prime}45^{\prime\prime} - 5^{\circ}45^{\prime}30^{\prime\prime}$ · b) $31^{\circ}40^{\prime} - 20^{\circ}45^{\prime}$ · c) $90^{\circ}15^{\prime}20^{\prime\prime} - 45^{\circ}30^{\prime}50^{\prime\prime}$ · d) $90^{\circ} - 50^{\circ}30^{\prime}45^{\prime\prime}$ Ver respostaa) $15^{\circ}5^{\prime}15^{\prime\prime}$ · b) $10^{\circ}55^{\prime}$ · c) $44^{\circ}44^{\prime}30^{\prime\prime}$ · d) $39^{\circ}29^{\prime}15^{\prime\prime}$

October 2, 2026 阅读
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直角、锐角和钝角 — 测量

为什么完整的转弯具有 360 度，而不是 100？答案在于美索不达米亚天文学。 谁发现的 名称直角、锐角和钝角来自欧几里得，他在几何原本中定义了它们（定义I.10到I.12）：直角是与其补邻角相等的角；锐的，比直的小；钝的，最大的。 度 的测量有另一个起源，即巴比伦天文学，如下面好奇的“为什么是 360 度？”中所述。 分钟和秒这两个词来自Claudius Ptolemy（公元2世纪）的拉丁语翻译。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 克劳狄斯·托勒密，后来的艺术代表。Justus van Gent 或 Pedro Berruguete · 维基共享资源 · 公共领域 故事 欧几里得从未以度为单位测量角度。对他来说，直角是自然单位：一个角“等于两个直角”或“小于一个直角”，他的第四条公设指出所有直角都相等。数值测量来自天文学家，他们需要定位天空中的恒星和行星。 节点 天文学大成，托勒密将每个度数细分为以 60 为基数的分数。在拉丁语翻译中，它们变成了 主要细节部分 和 次要微小零件 —“第一小部分”和“第二小部分”—，分钟和秒的来源。 角度 21° 12′ 22″ 以托勒密的希腊方式、拉丁语和葡萄牙语书写：分和秒来自六十进制部分。来自博客的原始教学插图。 在法国大革命中，人们尝试将直角与米一起分成 100 部分，即 grad。该单位在科学计算器的“GRAD”模式下仍然存在，但学位已经过期。 在日常生活中 **瓦工的正方形。**确保墙壁和地板以直角相交。 地理坐标。 纬度和经度是以度、分和秒为单位测量的角度。 演习。“To Give 180”是颠倒意思；滑板上的“360”就是一个完整的转弯。 指南针。 飞机或轮船的航向以从北开始的度数给出：90° 为东，180° 为南。 来源： 元素，假设 4 · 托勒密 (MacTutor) · 元素，定义 I.10。

October 2, 2026 阅读
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一致性和比较

复制一个角度并将其分成两半是经典的结构。然而，两千多年来，将其分成三等份一直是数学家面临的挑战。 谁发现的 这两个结构位于欧几里德（c. 300 BC）的几何原本中：命题I.9将一个角度分成两半（a 角平分线），并且I.23 将给定角度复制到另一条直线上。用尺子和圆规将角度三等分（将任何角度分成三等分）在1837被法国人Pierre Wantzel证明是不可能的，当时他才刚过20岁。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 三等分是三个古典希腊问题之一，另外两个是立方加倍和圆的平方。希腊人能够使用特殊的曲线或带有标记的尺子来解决这个问题——阿基米德给出了这样的解决方案——但绝不仅仅使用没有标记的尺子和指南针。 阿基米德，后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域 角平分线 将开口分成两个相等的角度：相等的长度有助于建立比较。来自博客的原始教学插图。 Wantzel 将问题转化为代数：使用尺子和圆规的每个构造都相当于求解 2 度方程，而三等分 60° 的角度需要一个无法约简到它们的 3 度方程。业余爱好者寄给杂志的“三分”至今仍然出现；他们都有一些错误。 在日常生活中 **木匠的suta。**它是一个“角度复制器”：它复制屋顶或楼梯的坡度以供切割——实践中的I.23命题。 斜接。 要闭合装饰线条和踢脚板上的 90° 角，每块都在 45° 处切割：在 角平分线 处从直角切割。 折叠。 无需任何工具，将纸张的一侧折叠到另一侧标记 角平分线 上。 **台球。**球离开球台的角度与到达时的角度相同。 来源： 元素，命题 I.9 · 元素，命题 I.23 · Wantzel (MacTutor)。 理论与结构 Postulado · 角度全等 角度的同余（符号$\equiv$）是一个原始概念，满足： 反射： $\widehat{ab} \equiv \widehat{ab}$。 **对称：**如果 $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$，则 $\widehat{cd} \equiv \widehat{ab}$。 **传递：**如果 $\widehat{ab} \equiv \widehat{cd}$ 和 $\widehat{cd} \equiv \widehat{ef}$，则 $\widehat{ab} \equiv \widehat{ef}$。 **角度传递：**给定平面的角度 $A\hat{O}B$ 和射线 $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$，在该平面中，直线 $O^{\prime}A^{\prime}$ 确定的每个半平面中都存在一条射线 $\overrightarrow{O^{\prime}B^{\prime}}$，它与 $\overrightarrow{O^{\prime}A^{\prime}}$ 形成与 $A\hat{O}B$ 一致的角度 $A^{\prime}\hat{O^{\prime}}B^{\prime}$。

October 2, 2026 阅读
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角度：定义

两条具有相同原点的射线形成一个角度。关于角度的第一个定理甚至有一个有名的发现者。 谁发现的 Proclus（公元 5 世纪）引用了罗得岛的 Eudemus 的几何史，根据其说法，米利都的泰勒斯（约公元前 624–546 BC）首先认识到与顶点相对的角相等；欧几里得后来才在命题 I.15 中“科学地”证明了这一点。角度作为“两条线的倾斜度”的定义在Euclid的几何原本中（定义I.8）。 雅典学院的人物归因于罗德岛的尤德穆斯 (Eudemus of Rhodes)；不确定的识别。拉斐尔·桑齐奥； Jic 和 FranksValli 复制品的剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域 米利都的泰勒斯，后来的艺术表现。卢卡·佐丹奴 · 维基共享资源 · 公共领域 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 毕竟，什么是角度？ Proclus 记录称，古人讨论了它是数量（可测量的东西）、质量（如形式）还是两条线之间的关系。现代定义避免了讨论：角度是由同源的两条射线形成的图形。 泰勒斯的著作来自于他之后许多世纪的作者，我们没有泰勒斯本人的文字。即便如此，它还是有价值的：它表明希腊人已经在其中看到了几何学的开端，在几何学中，事实需要论证。 在日常生活中 **剪刀和钳子。**打开刀片时，手柄以相同的角度打开：它们是与顶点相对的角度。 时钟指针。 在 3 h 处，它们形成直角；在 6 h 处，一个浅角度。 **开门。**带有减震器的门最大打开一定角度，以免撞到墙壁。 **视野。**手机摄像头告知他们可以看到的角度； “广角”涵盖的范围更多。 来源： 故事 (MacTutor) · 元素，命题 I.15 · 元素，定义 I.8。 理论与结构 Definição · 角度 角度是同源两条射线的交点，但不包含在同一条直线中（不共线）。 $$A\hat{O}B = \overrightarrow{OA} \cup \overrightarrow{OB}$$点$O$是角的顶点，射线$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$是边。当 $a$ 和 $b$ 是边时，我们也写 $a\hat{O}b$ 或简单地写 $\widehat{ab}$。

October 2, 2026 阅读
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简介：凸面和半平面

一条直线将平面分为两侧。当图形没有“凹痕”时，它就是凸图形。这两个想法是相辅相成的。 谁发现的 第一个仔细定义凸图形的是 锡拉丘兹的阿基米德 （约公元前287年至212年），在作品中 关于球体和圆柱体，它使用“凹向同侧”曲线来比较周长。平面与直线的分离形式化为 莫里茨·帕什 1882 年：他的公理说，从一侧进入三角形的直线必须从另一侧退出。 19世纪末， 赫尔曼·闵可夫斯基 使凸性成为自己的数学领域。 阿基米德，后来的艺术表现。多梅尼科·费蒂 · 维基共享资源 · 公共领域 莫里茨·帕什.古斯塔夫·巴托芬 · 维基共享资源 · 公共领域 赫尔曼·闵可夫斯基.身份不明的摄影师； 《Raum und Zeit》的复制 · 维基共享资源 · 公共领域 故事 阿基米德需要凸性来解决一个具体问题：证明内接于圆的多边形的周长小于其自身的周长，而外接多边形的周长则大于其自身的周长。这样他就将 π 的值包围在 $3\tfrac{10}{71}$ 和 $3\tfrac{1}{7}$ 之间。 帕什公理解决了另一个问题：欧几里得从未证明直线将平面分成两侧。他只是简单地画、看。从帕什开始，“在直线的同一侧”开始有一个精确的定义——半平面——它将用来定义角的内部。 欧几里得，文艺复兴时期的代表传统上与欧几里得或阿基米德相关。拉斐尔·桑齐奥 · 维基共享资源 · 公共领域 在日常生活中 镜片。 凸镜片，例如放大镜和远视眼镜中的镜片，可以集中光线；凹面的则传播它。 **指甲上有松紧带。**围绕几个指甲的松紧带形成包含它们的最小凸形图形 - 计算机图形学中使用的“凸包”。 **街道的两侧。**街道将社区分为两个半平面：一侧为偶数，另一侧为奇数。 **电子游戏。**使用凸形状检测碰撞要快得多，这就是为什么角色被看不见的凸“盒子”包围。 来源： 阿基米德 (MacTutor) · Pasch (MacTutor) · Minkowski (MacTutor)。 理论与结构 观看有关凸区域和半平面的视频课程，然后遵循理论。

October 2, 2026 阅读
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角度和周长

了解圆的角度是基础。欧几里得和整个希腊人，例如毕达哥拉斯和阿基米德，广泛讨论了这个概念。 弓 **定义：**设$A$和$B$为平面圆上的点。直线 $\vec{AB}$（圆弧）将平面分成两个半平面，每个半平面包含圆的一部分。 圆心角 **定义：**设$A$和$B$为圆心平面$C$上的点。圆心角$\angle ACB$由$A$和$B$确定或由弦$AB$确定。 内切角 **定义：**设$A$和$B$为圆心平面$C$上的点。当所有顶点都在圆上时确定内切角$\angle ACB$。 内切角相当于半圆弧 **定理1：**圆中的每个内接角的尺寸都是相应弧的一半。 半圆内切角相当于直角 **引理1：**在圆中，如果内切角投影半圆，则其度量为$90^\circ.$ 投影内切角 **推论1：**在圆中，如果两个内切角投影相同的弧，则它们具有相同的尺寸。 这些结果表明，角度属性中描述的与顶点相对的角度规则适用。 现在就这样。等待接下来的帖子。

September 30, 2022 阅读
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基本平面中的角度

角度是几何学发展的关键部分。它存在于我们的日常生活中，例如楼梯、建筑起重机、比萨斜塔等建筑等。在欧几里得的《几何原本》一书中，这个概念得到了很好的阐述，甚至在基督诞生之前的几十年里也是如此。 角度应用示例 接下来，我们介绍角度的一些应用。 建筑起重机 比萨斜塔 梯子 一个广泛使用的例子是时钟，通过时针和分针的移动，形成角度并定义时间。 角度简介 角度范围从 $0^\circ$ 到 $360^\circ$（度）。在三角形的具体情况下，三角形的内角总和为 360 度，因为三角形是四边形的一半，其中总和为 360 度。 下面，我们向您展示一些值得注意的角度。 正典 - 上帝法则 - 三角形 数学遵循上帝的法则，也就是说，它试图模仿创造者。在数学史上，学者被称为（exacuo）。当时已知的其他术语还有自然（phýsis）和进化（徽标）。这样，我们就得到了项的推导： Exactum 等同于 Invention Exactus 相当于 Perfect 欧几里得定义的Canon（上帝法则）的例子之一是： Canon α et (更多) β et (更多) γ aequalis (等于) 180° 神律α+β+γ=180&#176； 三角形 角度 半转 使用量角器 当我们谈论学校时，尤其是几何设计时，角度是基本的。为此，量角器的使用是必不可少的。下面我们展示一些使用量角器测量角度的示例。 角度 量角器 定义 意义 $90^\circ$ 90°：四分之一圈。 Ampliar figura para ler os detalhes 直角 $\dfrac{1}{4}$ 返回 $30^\circ$ 30°小于90°。 Ampliar figura para ler os detalhes 锐角 $0^\circ$ 和 $90^\circ$ 之间的角度 $120^\circ$ 120° 介于 90° 和 180° 之间。 Ampliar figura para ler os detalhes 钝角 $90^\circ$ 和 $180^\circ$ 之间的角度 $180^\circ$ 180°：半圈。 Ampliar figura para ler os detalhes 浅角 $\dfrac{1}{2}$（半）后退 全等角 角度之间的一致性对于角度之间的任何应用都是基础。因此，请遵守以下定义：

August 28, 2022 阅读
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平面内角的性质

在上一篇文章中，我们讨论了平面图形中角度的几个重要定义。现在，我们通过角度的属性在平面图形中的应用来加深概念。 角平分线 角度 **定义：**角的角平分线是一条射线，从角的顶点出发，将角分成两个全等的角（$\cong$）。 角平分线 产生两个全等的角度。 Ampliar figura para ler os detalhes 从图中我们注意到 $\angle \widehat{aob} \cong \angle\widehat{boc}$ 角度 $\widehat{aob}$ 与角度 $\widehat{boc}$ 相等。 射线 b 是该角度的 角平分线。 与顶点相对的角 **定义：**如果光线并发，则称两个角在顶点相反。 两个突出显示的角在顶点处相反。 Ampliar figura para ler os detalhes 从图中我们注意到 $\alpha = \beta$ 角度 $\alpha$ 和 $\beta$ 相等。 角度一样吗？

August 28, 2022 阅读