角度是同源两条射线之间的“开口”。为了测量它，我们将问题转移到弧上：角度的测量值与它在以其顶点为中心的圆中确定的弧相同。

故事

欧几里得 (c. 300 BC) 的几何原本将平面角度定义为“平面中相交且不在一条直线上的两条线相对于彼此的倾斜度”。定义看似简单，但希腊人讨论了几个世纪的什么是，毕竟是一个角度：一个数量，可以相加和比较？ 质量，就像表格一样？或者两行之间的关系？讲述这场争论的是5世纪的普罗克洛斯，他在对欧几里得的评论中。我们采用的解决方案——通过在以顶点为中心的圆中确定的弧来测量角度——将哲学问题放在一边，并将角度转换为数字。

钟面也有古老的根源：将白天和黑夜划分为 12 小时来自埃及人，每小时的 60 分钟来自巴比伦人的 60 基数。然而，在克里斯蒂安·惠更斯在1656中建造了摆钟之后，分针才变得普遍，这是第一个足够精确的摆钟。

来自拉斐尔的*雅典学院*的人物，传统上被认为是罗德岛的尤德穆斯；不确定的识别。
来自拉斐尔的雅典学院的人物，传统上被认为是罗德岛的尤德穆斯；不确定的识别。拉斐尔·桑齐奥； Jic 和 FranksValli 复制品的剪辑 · 维基共享资源 · 公共领域
根据 Eudemus 的说法，泰勒斯是如何计算一艘船的距离的：从 $H$ 高的塔顶，人们可以看到这艘船；三角形 $TKJ$ 和 $TBN$ 相似，然后 $D/H = d/h$。

**角度的表示法。**欧几里得完整地写下了“角度$ABC$”。 “角”和“直角”的符号直到 17 世纪才出现，两个多世纪以来，每个作者都使用自己的符号：

  1. 1618
    开普勒，在哥白尼天文学的缩影中，使用直角符号。
  2. 1634
    Pierre Hérigone，在数学讨论中，创造了“角度”和“直角”的符号——他的书中充满了新的符号。
  3. 1672–1698
    William Leybourn、John Kersey 和 Samuel Reyher 在他们的几何和代数书中提出了其他形式。
  4. 1794
    Legendre，Éléments de géométrie，19 世纪阅读量最大的几何书籍之一。
  5. 1827
    莫比乌斯，在重心计算中。
  6. 1847
    奥利弗·伯恩以彩色形式出版了欧几里得的几何原本，其中绘制了角度，而不是命名了角度。
  7. 1897
    Giuseppe Peano，在Formulario mathematico中，试图标准化所有数学符号。

来源： Eudemus (MacTutor) · Euclid (MacTutor) · Aulus Gélio，阁楼之夜，XIII。5 · Euclid，几何原本，第一本书，定义 8 · F. Cajori，数学符号史，卷。我（1928）。

在日常生活中

  • **动作。**在滑板和滑雪板中，动作以角度命名：180 是半圈，360 是一整圈，540 是一圈半。
  • 机场跑道。 门槛上画的数字是跑道航向除以 10：跑道 09 指向 $90^\circ$（东），从另一侧看，是 27，航向为 $270^\circ$（西）。
  • **电视。**建议屏幕占据视野范围$30^\circ$和$40^\circ$之间；因此，到沙发的理想距离取决于电视的尺寸。
以度为单位测量的轴承：移动轴承并查看组件指向的位置。机场跑道和地图使用相同的想法。

理论

两条射线的角度

考虑两条具有相同原点 $O$ 的射线 $Oa$ 和 $Ob$，不同且不相反。

  • 包含 $Oa$ 的直线将平面分为两个相对的半平面：$\alpha$（包含 $Ob$）和 $\alpha'$（不包含 $Ob$）。
  • 包含 $Ob$ 的线将平面分为两个相对的半平面：$\beta$（包含 $Oa$）和 $\beta'$（不包含 $Oa$）。

Definição凸角和凹角

  • 凸角$a\hat{O}b$是半平面$\alpha$和$\beta$的交点：$\;a\hat{O}b = \alpha \cap \beta$。
  • 凹角$a\hat{O}b$是半平面$\alpha'$和$\beta'$的相遇：$\;a\hat{O}b = \alpha' \cup \beta'$。
凸角（左边）是$\alpha$和$\beta$的公共部分；凹角（右侧）是 $\alpha'$ 和 $\beta'$ 的交点 — 凸面以外的所有部分以及边。

Definição具体案例

  • 如果光线 $Oa$ 和 $Ob$ 重合，则它们确定两个角度：零角和一转角。
  • 如果光线 $Oa$ 和 $Ob$ 相反，则它们确定两个浅角。

角度测量

给定一个角度 $a\hat{O}b$，取一个以 $O$ 为圆心，以 $r$ 为半径的圆，并让 $A$ 和 $B$ 为该角度两侧的交点。每个圆弧 $\overset{\frown}{AB}$ 对应一个圆心角 $a\hat{O}b$，反之亦然。

Definição角度的测量

我们一致认为，统一的弧对应于统一的圆心角。因此圆弧 $\overset{\frown}{AB}$ 和圆心角 $a\hat{O}b$ 具有相同的尺寸。

  1. $1^\circ$的角度是确定圆上等于$\dfrac{1}{360}$的弧的圆心角。
  2. 1 rad 角 是确定长度等于半径的弧的圆心角。
  3. $60^\circ$的角度是$60^\circ$的圆弧对应的圆心角。
  4. $\pi$ rad 角是$\pi$ rad 弧（浅角）对应的圆心角。

为了以弧度测量角度 $a\hat{O}b$，我们构造一个以 $O$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆，并检查弧 $\overset{\frown}{AB}$ 的弧度，即用弧的长度 $\ell$ 除以半径：

Propriedade角度（以弧度为单位）

$$\alpha = \frac{\ell}{r} \qquad (\alpha \text{ em radianos}).$$

等效地，圆心角为$\alpha$弧度的圆弧长度为$\ell = \alpha \cdot r$。

Exemplo8 cm 的圆弧角度

若圆心角$a\hat{O}b$在半径为$r = 5$cm的圆内确定出长度为$\ell = 8$cm的圆弧，则

$$\alpha = \frac{\ell}{r} = \frac{8}{5} = 1{,}6 \text{ rad}.$$

测量结果不取决于所选周长。一旦尺寸 $\alpha$ rad 的角度 $a\hat{O}b$ 固定，并且构造了具有圆心 $O$ 和半径 $r_1, r_2, r_3, \ldots$ 的圆，则相应的弧的长度为 $\ell_1, \ell_2, \ell_3, \ldots$，使得

$$\frac{\ell_1}{r_1} = \frac{\ell_2}{r_2} = \frac{\ell_3}{r_3} = \cdots = \alpha.$$
拖动黄点以打开或关闭角度。三个圆弧的长度不同，但圆弧与半径的比率相同：以弧度为单位的角度度量。
为什么比率不取决于半径？

具有相同圆心的两个圆是相似图形：一个是另一个的放大图，比例为$k = \dfrac{r_2}{r_1}$。在放大中，所有长度都乘以 $k$，包括由相同角度确定的弧：$\ell_2 = k\,\ell_1$。标识

$$\frac{\ell_2}{r_2} = \frac{k\,\ell_1}{k\,r_1} = \frac{\ell_1}{r_1}.$$

时钟上的角度

钟面是一个分为 12 和 $30^\circ$ 等份的圆。大指针在 60 分钟内移动过 $360^\circ$（每分钟 $6^\circ$）；小的需要 60 分钟行驶 $30^\circ$，即每分钟 $0{,}5^\circ$。这两个事实解决了指针之间的角度问题。

选择小时和分钟。黄金弧线是双手之间的最小角度。

本节中的练习是[章节列表]中的编号11到16（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap01-arcos-e-angulos/04-exercicios/).