1557 年，罗伯特·雷科德发明了 $=$，理由很简单：没有什么比两条一样长的平行线更相等了（第1章讲运算符号的那一篇讲过这段历史）。这个符号流行得如此成功，以至于今天它在做许多雷科德从未想到的工作。看看这几行： $$3+4=7,\qquad 2x+1=7,\qquad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2,$$$$f(x)=x^2,\qquad \tfrac12=\tfrac24.$$每一行里的符号都一样，说的却不一样。 在 $3+4=7$ 中，等号记录一个结果。这是计算器教给我们的读法。 在 $2x+1=7$ 中，等号提出一个问题：哪个数能让它成立？这是一个方程。 在 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 中，等号陈述一条规律，对所有的数都成立。这是一个恒等式。 在 $f(x)=x^2$ 中，等号给出一个名字：从此以后，$f(x)$ 就表示 $x^2$。这是一个定义。 在 $\frac12=\frac24$ 中，等号说两种不同的写法指向同一个数。 本章后面的几篇分别讨论这些工作。在那之前，值得先问一问：它们有什么共同之处？ 等号的三条定律 公元前 300 年左右，欧几里得在《几何原本》的开头列出几条“公理”（共同概念），他认为这些道理明显到不需要证明。第一条是： 等于同一个量的量，彼此相等。 — 欧几里得，《几何原本》第一卷，公理 1 今天这句话叫作传递性：如果 $A=B$ 且 $B=C$，那么 $A=C$。它和另外两条一起，构成任何相等关系的画像： 性质 符号写法 文字说法 自反性 $A=A$ 每个东西都等于它自己 对称性 若 $A=B$，则 $B=A$ 天平没有偏爱的一边 传递性 若 $A=B$ 且 $B=C$，则 $A=C$ 等于同一个量的量彼此相等 正是这三条定律让我们可以把计算串起来，写成 $A=B=C=D$，并断定第一项等于最后一项。整个中学代数都依赖它们，却几乎没有人把它们说出口。 等号的亲戚 每当等号的某一份工作变得足够重要，数学就给它一个专门的符号。结果是一家长得很像的符号，每个都有自己的读法： 符号 读法 例子 对称吗？ $=$ 等于 $3+4=7$ 是 $\equiv$ 恒等于；同余于 $\sin^2x+\cos^2x\equiv1$；$17\equiv2\pmod5$ 是 $:=$ 定义为 $f(x):=x^2$ 否：新名字总在左边 $\approx$ 约等于 $\pi\approx3.14$ 是 $\cong$ 全等于（图形） $\triangle ABC\cong\triangle DEF$ 是 $\sim$ 相似于 $\triangle ABC\sim\triangle DEF$ 是 $\Leftrightarrow$ 等价于（命题） $2x=6\Leftrightarrow x=3$ 是 请看最后一列。$:=$ 不对称：也可以写成 $x^2=:f(x)$，但符号会变形，让新名字始终挨着冒号。而看起来最无害的 $\approx$ 藏着一个陷阱，第一道练习会说明：它不满足传递性。