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无穷递降法：更小的解导致矛盾

想象一道楼梯，每一级都标着一个正整数。你可以往下走：10、7、4、2、1……但总有一刻楼梯会到底。不存在一个无穷的、越来越小的正整数序列。 这似乎显而易见。费马却把这个显然的事实变成了数论中最强大的工具之一：无穷递降法。 怎么用 要证明一个方程没有正整数解： 假设它有一个解。 由它构造出另一个解，同样是正整数，但更小。 重复：由这个新解又得到一个更小的解，如此下去，永无止境。 这是不可能的，因为正整数的楼梯会到底。所以第 1 步中的解并不存在。 费马为这个方法感到自豪。在 1659 年写给数学家皮埃尔·德·卡尔卡维的信中，他说他关于数的大多数结果都是用这个方法证明的。 例子：2 的平方根 希腊人早已知道 $\sqrt2$ 不是分数。无穷递降法给出一个简短而漂亮的证明。 假设 $\sqrt2=\dfrac ab$，其中 $a$、$b$ 为正整数。两边平方： $$a^2=2b^2.$$右边是偶数，所以 $a^2$ 是偶数。奇数的平方是奇数，所以 $a$ 必须是偶数：$a=2c$。代入： $$4c^2=2b^2\qquad\Longrightarrow\qquad b^2=2c^2.$$看看发生了什么：$(b,c)$ 满足与 $(a,b)$ 相同的方程，也就是 $\sqrt2=\dfrac bc$。而且这个新分数的数更小：由于 $a^2=2b^2<4b^2$，有 $a<2b$，所以 $c=\dfrac a2

October 7, 2026 阅读
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写给机器的记号：由计算机核验的证明

两千年来，数学证明一直是写给人读的文本。它可以跳过“显然”的步骤，可以借助图形，可以使用群体内部的约定。其余的由读者补全。近五十年来，出现了一位什么都不补全的读者：计算机。 四种颜色 给任意一张地图着色，使相邻的国家颜色不同，需要几种颜色就够了？答案是四种，这一猜想于 1852 年提出，抵抗了一个多世纪。1976 年，伊利诺伊大学的肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯证明了它：他们把问题化为将近两千种情形，由计算机逐一检验，用了一千多个小时的机时。 一张用四种颜色着色的地图，任何两个相邻的区域颜色都不相同。Inductiveload · 维基共享资源 · CC BY-SA 3.0 学界产生了分歧。一个没有人能够完整读完的证明，还算是证明吗？支持者提醒说，许多很长的证明也没有人完整读过；批评者说，程序可能有错误。2005 年，法国人乔治·贡蒂耶把整个证明，包括计算机的部分，写进了一个名为 Coq 的证明助手，它从公理出发检验每一个逻辑步骤。疑问换了地方：不再是“程序对吗？”，而是“检验器对吗？”——那是一个小得多、也容易审查得多的程序。 开普勒猜想 1611 年，开普勒断言，堆放橙子最密的方式就是水果摊上的金字塔。1998 年，美国人托马斯·黑尔斯宣布了一个证明，它把几百页的论证与大量计算机计算结合在一起。一组审稿人工作了四年，宣布他们对其正确性有“99% 的把握”。黑尔斯不满足于那 1%，启动了 Flyspeck 项目，用形式语言写出整个证明。2014 年，在几十位合作者的参与下，项目完成：机器检验了每一步。 Lean 如今数学家用得最多的证明助手是 Lean，由巴西人莱昂纳多·德·莫拉于 2013 年在微软研究院创造。围绕它形成了 mathlib，一个集体编写的库，收录了数十万条形式化的定理，作者有数百人。2020 年，德国菲尔兹奖得主彼得·舒尔茨向学界发起挑战，请大家把他的一个结果形式化，因为他自己也不确定是否核对过所有细节。“液态张量实验”（Liquid Tensor Experiment）于 2022 年完成：结果是对的，而且形式化过程还发现了证明中可以简化的地方。 Lean 的一行代码是这样的： theorem soma_comuta (a b : ℕ) : a + b = b + a := Nat.add_comm a b “对任意自然数 $a$ 和 $b$，$a + b = b + a$，证明就是库中的交换律定理。”什么都不省略：每个字母的类型，每一步的出处。这是把第7章的线性书写推向了极端，是把第4章中用文字写的证明译成了一种机器能够检验的语法。 改变群体的记号 形式化正在改变工作方式。像英国人凯文·巴扎德在 2024 年发起的费马大定理形式化这样的项目，聚集了几十位从未谋面的合作者，每人形式化一个引理，并确信各个部分能拼合在一起，因为接缝由机器来检验。记号再一次决定了谁能参与、怎样参与。

October 26, 2026 阅读
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无字证明

1993 年，美国数学协会出版了一本奇特的书，由罗杰·尼尔森编辑：《无字证明》。每一页有一张图，有时下面有一个公式。一句话也没有。意思是让读者看、理解、被说服，而不需要任何人解释。这本书非常成功，后来又出了两卷，《数学杂志》至今仍在刊登这样的证明。 变成矩形的阶梯 一个有 1、2、3、4 个小方块的阶梯，以及两个相同的阶梯拼成的 4×5 矩形。为本书制作的教学示意图。 $1+2+3+4$ 等于多少？用一排排小方块画一个阶梯。再复制一个，转过来拼在旁边：两个阶梯组成一个 $4\times5$ 的矩形，有 $20$ 个小方块。每个阶梯占一半： $$1+2+3+4=\frac{4\cdot5}{2}=10.$$而且这张图并不依赖于 $4$。一个 $n$ 级的阶梯，两份拼成 $n\times(n+1)$ 的矩形，于是 $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$第4章用代数归纳法证明过这个公式。图用另一种方式证明了同一件事：不是一步步地推，而是看出为什么会出现半个矩形。 “看！” 最有名的无字证明，是据说出自十二世纪印度数学家婆什迦罗的勾股定理证明。把四个直角边为 $a$ 和 $b$、斜边为 $c$ 的直角三角形放进边长为 $c$ 的正方形里，中间留下一个边长为 $b-a$ 的小正方形。据传说，婆什迦罗在下面只写了一个词：“看！”。面积给出 $$c^2=4\cdot\frac{ab}{2}+(b-a)^2=2ab+b^2-2ab+a^2=a^2+b^2.$$有趣的是，这个“无字证明”需要一行代数来核对。图展示了各个部件；计算保证它们拼得上。 图什么时候是证明，什么时候在骗人 第1章讲过希腊人对图形的不信任。这种不信任是有道理的。业余魔术师保罗·柯里在 1953 年推广的消失的方格谜题，用四块拼成一个三角形，交换各块的位置后，又拼成一个同样大小的三角形，却少了一个小方格。面积到哪里去了？ 秘密在于，这两个“三角形”都不是三角形。两块三角形的斜率不同，分别是 $\frac25=0.4$ 和 $\frac38=0.375$，所谓的“斜边”其实是一条折线：在一种拼法里稍稍向内凹，在另一种拼法里稍稍向外凸。两者之差正好是一个小方格，摊在一条细得眼睛看不见的窄带里。 只有当眼睛依赖的每一种关系——“这些线平行”“这些点共线”“这些块拼得上”——都能由论证来保证时，无字证明才是证明。当眼睛假设的比图所保证的更多时，图就变成了错觉。 不断对半分的正方形 取一个面积为 $1$ 的正方形。涂一半，再涂剩下的一半，再涂剩下的一半。涂上的面积是 $\frac12$、$\frac14$、$\frac18$，白色部分越缩越小，却永远不会消失。图不用任何计算就表明 $\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=1$：没有任何东西漏掉，也没有任何东西超出正方形。这正是第5章用级数的等号读过的那个级数。 练习：奇数之和第4章展示过一张图，其中每个奇数是一层 L 形。用这个想法，不做加法算出 $1+3+5+\cdots+19$。 从 $1$ 到 $19$ 的奇数是 $10$ 层，$10$ 层组成边长为 $10$ 的正方形。和是 $10^2=100$。

October 19, 2026 阅读
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参考文献与图片来源

延伸阅读 欧几里得。Os Elementos（《几何原本》）。Irineu Bicudo 葡译。São Paulo: Editora Unesp, 2009。公理与命题的结构。 普罗克洛。A Commentary on the First Book of Euclid’s Elements。Glenn R. Morrow 英译。Princeton: Princeton University Press, 1970。命题的六个部分。 Frege, Gottlob. Über Sinn und Bedeutung. Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 100, 1892, 第 25–50 页。巴西葡译见：Lógica e filosofia da linguagem. São Paulo: Cultrix/Edusp, 1978。 Frege, Gottlob. Die Grundlagen der Arithmetik. Breslau: Koebner, 1884。莱布尼茨的引文在 §65。 Wittgenstein, Ludwig. Tractatus Logico-Philosophicus. London: Kegan Paul, 1922。关于同一性，见命题 5.53 至 5.5303。 Gauss, Carl Friedrich. Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Gerhard Fleischer, 1801。同余的定义和符号 ≡ 见第 1、2 条。 Pascal, Blaise. Traité du triangle arithmétique. Paris: Guillaume Desprez, 1665（写于 1654 年）。归纳法见推论十二。 Dijkstra, Edsger W.; Scholten, Carel S. Predicate Calculus and Program Semantics. New York: Springer, 1990。带提示的证明格式。 de Bruijn, Nicolaas G. Asymptotic Methods in Analysis. Amsterdam: North-Holland, 1958。大 $O$ 的单向等式。 Halmos, Paul R. I Want to Be a Mathematician: An Automathography. New York: Springer, 1985。$\blacksquare$ 的由来。 Kieran, Carolyn. Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies in Mathematics, 12, 1981, 第 317–326 页。 Healy, Lulu; Hoyles, Celia. A study of proof conceptions in algebra. Journal for Research in Mathematics Education, 31(4), 2000, 第 396–428 页。 Fischbein, Efraim. Intuition and proof. For the Learning of Mathematics, 3(2), 1982, 第 9–18、24 页。 Cajori, Florian. A History of Mathematical Notations. 2 卷。Chicago: Open Court, 1928–1929。关于高斯和黎曼的 ≡ 以及拉恩的 $\therefore$。 Earliest Uses of Symbols of Relation，Jeff Miller。 图片来源 图片 来源 许可 戈特洛布·弗雷格像，Emil Tesch 摄（约 1905 年） Wikimedia Commons 公有领域 高斯《算术研究》（1801）扉页 Wikimedia Commons 公有领域 帕斯卡《算术三角形》（Triangulus Arithmeticus）第一页，克莱蒙奥弗涅大都会遗产图书馆藏 Wikimedia Commons CC BY-SA 4.0 奇数之和的示意图和交互图形（同余的时钟、解方程的步骤）是为本书制作的，在本站的四种语言中都能使用。下载图片的记录及每个文件的哈希值见 data/semiotica_imagens.json。

October 17, 2026 阅读
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如何阅读一个证明：指南与术语表

本章从一行计算一路追踪等号，直到一个完整的证明。下面的指南汇集了有助于阅读这两者的问题。 关于等号的五个问题 它是在提问、断言，还是命名？ 如果是提问，它是方程，任务是求出解。如果它对所有值都断言成立，它是恒等式，任务是证明它。如果是命名，它是定义，任务是接受它、记住它。 两边的涵义相同，还是只有指称相同？ 涵义相同，这个等式就是空的。涵义不同，它就教了点什么，值得问一问教了什么。 是真正的相等，还是等价？ $\frac12=\frac24$ 对数来说是相等，对分数来说是等价。$17\equiv2\pmod5$ 说的是两个不同的数落进了同一个抽屉。 在这里我能用一边替换另一边吗？ 在计算内部，总是可以。在谈论某人知道或写下了什么的句子里，不一定。 三条定律成立吗？ 如果关系不对称（$:=$，大 $O$ 的 $=$）或不传递（$\approx$），它就不是真正的等号，$A=B=C$ 这样的链就不再管用。 关于证明的五个问题 到底断言了什么？ 找出陈述和其中的字母：哪些是任意的，哪些是给定的。 “设”在哪里？ 那是一般变成特殊的地方。检查一下：除了陈述给出的条件，对这个特殊情形没有作任何额外假设。 各行之间是哪种箭头？ 一串 $=$ 和 $\Leftrightarrow$ 可以双向阅读。一串 $\Rightarrow$ 只能从头读到尾。 每个假设在哪里打开、在哪里关闭？ 每出现一个“假设”，就去找它在哪里结束。在里面引入的字母，在外面不存在。 省略了什么？ 每个“容易看出”、每个省略号、每个“同理”，都是读者应当能够补上的一步。 对一个简短证明的完整解读 命题。 对每个整数 $n$，$n^3-n$ 都能被 $6$ 整除。 证明。 设 $n$ 是整数。那么 $n^3-n=(n-1)\,n\,(n+1)$，是三个连续整数的乘积。三个连续整数中，有一个是 $3$ 的倍数，并且至少有一个是偶数。所以这个乘积是 $2$ 的倍数，也是 $3$ 的倍数，因而是 $6$ 的倍数。$\blacksquare$ 陈述谈的是每一个整数：$n$ 是一个推广的数。 **“设 $n$ 是整数”**是欧几里得的设定。除了是整数，对 $n$ 没有任何假设。 $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ 是一个恒等式，由链 $(n-1)n(n+1)=n(n^2-1)=n^3-n$ 证明。这里的等号把一种写法换成涵义更有用的另一种：因式分解的形式显示出三个连续数，原来的形式则没有。 **“三个连续整数中，有一个是 3 的倍数”**是一个未加证明就援引的事实。它背后是一种等价：模 $3$ 时，三个连续数分别落进 $0$、$1$、$2$ 三个抽屉，每个抽屉一个。 **“所以……因而”**标出两个 $\Rightarrow$ 步骤。第二步用到了 $2$ 和 $3$ 没有公约数，这也是一个被省略的事实。 $\blacksquare$ 结束证明，把读者带回一般的陈述。 术语表 相等。 两个指向同一对象的表达式之间的关系。满足自反性、对称性和传递性。 涵义与指称。 表达式的指称是它所指的对象；涵义是它呈现这个对象的方式。$2^{10}$ 和 $1024$ 指称相同，涵义不同。 方程。 含字母、被当作问题来读的等式：哪些值使它成立？它的解集就是答案。 恒等式。 对字母的所有取值都成立的等式。有时写成 $\equiv$。 定义。 给一个表达式命名的等式。有时写成 $:=$。 等价关系。 满足自反、对称、传递的关系。它把对象分成等价类。 同余。 当 $m$ 整除 $a-b$ 时，$a\equiv b\pmod m$。余数的等价关系，由高斯于 1801 年引入。 蕴含。 $P\Rightarrow Q$：只要 $P$ 为真，$Q$ 也为真。 逻辑等价。 $P\Leftrightarrow Q$：$P$ 和 $Q$ 恰好在相同的情形下为真。读作“当且仅当”。 增根。 在求解过程末尾出现、却不满足原方程的解，由一个不是 $\Leftrightarrow$ 的 $\Rightarrow$ 步骤引入。 演算式证明。 每一环都带有理由的等式链。 反证法。 假设与要证结论相反的命题，并推出矛盾的证明。 数学归纳法。 分奠基和递推两部分，证明某命题对所有自然数成立的方法。 反例。 使一个一般命题不成立的单个情形。一个就足以推翻它。 Q.E.D. 与 $\blacksquare$。 证明结束的标记：quod erat demonstrandum 和哈尔莫斯的墓碑。 练习：用关于等号的指南读 $\displaystyle\cos2x=\cos^2x-\sin^2x$。它对每个 $x$ 都作出断言：是恒等式。对每个 $x$，两边指称相同，但涵义不同：左边谈的是倍角，右边谈的是单角。如果当作方程来读，“哪些 $x$ 使它成立？”的答案是“全部”。如果有人写 $\cos2x=1$，那才是一个问题，答案是 $x=k\pi$，$k$ 为整数。

October 17, 2026 阅读
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例子不是证明：欧拉、帕斯卡与归纳法

对 $n=0,1,2,3,\ldots$ 计算 $n^2+n+41$： $$41,\ 43,\ 47,\ 53,\ 61,\ 71,\ 83,\ 97,\ 113,\ 131,\ \ldots$$全是素数。一直算到 $n=39$，结果 $1601$ 仍然是素数。连续四十个情形，没有一个例外。1772 年，莱昂哈德·欧拉让人们注意到这个了不起的公式。然而，它并不只产生素数：取 $n=40$， $$40^2+40+41=1600+40+41=1681=41^2.$$四十个例子什么也没证明。一个反例就推翻了一切。 例子的诱惑 欧拉的多项式并不是孤立的奇闻。1640 年，皮埃尔·德·费马观察到形如 $2^{2^n}+1$ 的数给出 $$3,\quad 5,\quad 17,\quad 257,\quad 65\,537,$$全是素数，于是猜想这种形式的数都是素数。1732 年，欧拉证明下一个数 $2^{32}+1=4\,294\,967\,297$ 等于 $641\cdot6\,700\,417$。直到今天，人们还没有找到这种形式的其他素数。 学生也感受到同样的诱惑。在 2000 年发表的一项研究中，英国研究者露露·希利和西莉亚·霍伊尔斯请大约 2500 名 14 到 15 岁的学生评价几种论证，论证的是“两个偶数之和总是偶数”。许多学生更喜欢验算例子的论证（$2+4=6$，$10+12=22$，……），因为他们看得懂；同时，他们又认为用 $2a+2b=2(a+b)$ 的代数论证才是老师会给最高分的。对他们来说，代数证明是做给老师看的形式，真正让人信服的是例子。 省略号藏着一条规则 这一页上最危险的符号，是最不起眼的那个：省略号 $\ldots$。当我们写 $$1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$$时，这三个点要求读者根据几项猜出规则，并把它永远延续下去。这是一种经济的记号，同时也是一个承诺：“规律会继续下去”。但欧拉的多项式表明，规律可能会停下来。 上面的公式在前几种情形很容易验证：$1=1^2$，$1+3=4=2^2$，$1+3+5=9=3^2$。一幅图暗示了原因：每个奇数都是一层 L 形，把一个正方形变成下一个正方形。 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²。每个奇数都是一层 L 形，把正方形的边长增加一个单位。为本书制作的教学示意图。 这幅图很有说服力，但它仍然只是一幅图，只有五层。怎样把“依此类推”变成确定无疑？

October 17, 2026 阅读
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证明里的词：设、假设、所以、∎

读一读这个简短的证明： 命题。 两个偶数之和是偶数。 证明。 设 $m$ 和 $n$ 是偶数。那么存在整数 $a$ 和 $b$，使得 $m=2a$，$n=2b$。所以 $m+n=2a+2b=2(a+b)$。因为 $a+b$ 是整数，所以 $m+n$ 是偶数。$\blacksquare$ 去掉计算，剩下的是一副由词语构成的骨架：设、那么存在、所以、因为，以及末尾一个黑色的小方块。它们都不是“做计算”意义上的数学，却全都不可缺少。正是它们告诉读者每一行在做什么：引入一个对象、推出一个结论、援引一个事实、收尾。 欧几里得的六个部分 希腊人写证明时已经有固定的结构。五世纪的哲学家普罗克洛在注释《几何原本》时，描述了欧几里得命题的六个部分： 部分（希腊语） 作用 在上面的证明中 prótasis，陈述 一般地说出要证明什么 “两个偶数之和是偶数” ékthesis，设定 选出一个情形并给它命名 “设 $m$ 和 $n$ 是偶数” diorismós，限定 说明关于这个情形要证明什么 （隐含）“$m+n$ 是偶数” kataskeué，作图 补充所需的东西 “存在 $a$ 和 $b$，使 $m=2a$，$n=2b$” apódeixis，证明 把推论串起来 “$m+n=2(a+b)$” sympérasma，结论 回到一般的陈述 “$m+n$ 是偶数” 最巧妙的是设定。陈述谈的是所有偶数；设定挑出两个，$m$ 和 $n$，把它们当作特定的数来处理。但由于除了“是偶数”之外，对它们没有任何假设，所以关于 $m$ 和 $n$ 证明的一切，对任何偶数都成立。“设”这个词是一般与特殊之间的桥梁。它就是第3章里那个用来推广的字母，现在在证明里上岗工作了。 这就是所要证明的 欧几里得在每个命题末尾都写一句套话：hóper édei deîxai，“这就是所要证明的”。如果命题是一个作图题，比如第1章介绍过的作等边三角形，套话就变成 hóper édei poiêsai，“这就是所要作的”。拉丁译者把两者译为 quod erat demonstrandum 和 quod erat faciendum，并缩写为 Q.E.D. 和 Q.E.F.

October 17, 2026 阅读
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等式链：怎样证明一个恒等式

怎样证明对所有的数 $a$ 和 $b$ 都有 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$？不是靠代值试验：再多的例子也覆盖不了所有的数。证明的方法是写一条链： $$\begin{aligned} (a+b)^2&=(a+b)(a+b)\\ &=a(a+b)+b(a+b)\\ &=a^2+ab+ba+b^2\\ &=a^2+2ab+b^2. \end{aligned}$$每个等号连接两个相邻的式子，每一环都由一条已知的规则保证：平方的定义、分配律、再一次分配律、乘法交换律。根据第1篇介绍的欧几里得的那条定律——传递性——第一环等于最后一环。证明就是这条链。 带标签的链 在通常的写法中，理由都留在写的人脑子里，读者得去猜每个等号为什么成立。二十世纪八十年代，荷兰计算机科学家艾兹格·迪杰斯特拉和他的同事威姆·费延提出了一种格式：每一环都在花括号里带上自己的标签： $$\begin{aligned} &(a+b)^2\\ =\;&\{\text{平方的定义}\}\\ &(a+b)(a+b)\\ =\;&\{\text{分配律}\}\\ &a(a+b)+b(a+b)\\ =\;&\{\text{分配律}\}\\ &a^2+ab+ba+b^2\\ =\;&\{\text{交换律：}ba=ab\}\\ &a^2+2ab+b^2 \end{aligned}$$这种格式占的地方更多，说的也更多。式子行和理由行交替出现，等号放在左边缘，一目了然，正如它实际所是的链环。迪杰斯特拉把这种风格叫作演算式证明：证明就是计算，而计算就是在规则可见的情况下用相等的替换相等的。 从哪一边开始 证明恒等式的一条实用规则：从更复杂的一边开始。化简比猜出如何变复杂要容易。要证明 $$\frac1k-\frac1{k+1}=\frac1{k(k+1)},$$就从左边开始，那里有两个分数，正等着被合并： $$\begin{aligned} \frac1k-\frac1{k+1}&=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}\\ &=\frac{(k+1)-k}{k(k+1)}=\frac1{k(k+1)}. \end{aligned}$$从右边开始，就得事先知道 $1=(k+1)-k$ 是个好主意。从左边出发的证明在途中发现了这一点。 从结尾出发的错误 有一种出错的方式看起来像证明。一个学生想说明 $-1=1$，写道： $$-1=1\quad\Longrightarrow\quad(-1)^2=1^2\quad\Longrightarrow\quad1=1.$$“我得到了一个正确的东西，所以第一行是对的。”不对。一串从错误命题出发的 $\Rightarrow$ 完全可以到达一个正确的命题；这就是上一篇所说的会多出解的步骤。从要证明的结论出发、最后得到 $1=1$ 或 $0=0$，只有当每一步都是 $\Leftrightarrow$ 时才证明了什么；而那样的话，最好还是按正确的顺序写这条链，从已知走向未知。 在链中，等号是动词 在一篇写得好的证明里，$=$ 有精确的语法角色：它是句子的谓语动词。“$(a+b)^2=(a+b)(a+b)$”读作“$a+b$ 的平方是 $a+b$ 与它自身的乘积”。链变长时，$A=B=C=D$，句子仍有主语和谓语：“$A$ 是 $B$，$B$ 是 $C$，$C$ 是 $D$”。第2章讨论过的 $5\cdot3=15+2=17$ 这类错误，是用错了动词的句子：学生想说“然后”，写下的却是“是”。 练习：带标签的链用迪杰斯特拉的格式证明 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。 $$\begin{aligned} &(a-b)(a+b)\\ =\;&\{\text{分配律}\}\\ &a(a+b)-b(a+b)\\ =\;&\{\text{分配律}\}\\ &a^2+ab-ba-b^2\\ =\;&\{\text{交换律：}ba=ab\text{，且 }ab-ab=0\}\\ &a^2-b^2 \end{aligned}$$ 练习：错在哪里？（4 = 5）$$\begin{aligned} -20&=-20\\ 16-36&=25-45\\ 16-36+\tfrac{81}4&=25-45+\tfrac{81}4\\ \left(4-\tfrac92\right)^2&=\left(5-\tfrac92\right)^2\\ 4-\tfrac92&=5-\tfrac92\\ 4&=5 \end{aligned}$$前四行都对：第四行两边都等于 $\frac14$。错误在于开平方。由 $x^2=y^2$ 可得 $x=y$ 或 $x=-y$，而这里 $4-\frac92=-\frac12$，$5-\frac92=\frac12$：成立的是第二种情形，不是第一种。这正是平方那一步，倒过来读。

October 17, 2026 阅读
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⇒ 与 ⇔：变形方程时得到什么、失去什么

解方程 $$\sqrt{x+2}=x.$$通常的做法是两边平方，去掉根号： $$\begin{aligned} \sqrt{x+2}=x\quad&\Longrightarrow\quad x+2=x^2\\ &\Longrightarrow\quad (x-2)(x+1)=0\\ &\Longrightarrow\quad x=2\ \text{或}\ x=-1. \end{aligned}$$计算全都正确，答案却不对。取 $x=2$：$\sqrt{4}=2$，方程成立。取 $x=-1$：$\sqrt{1}=1$，不等于 $-1$。原方程只有一个解，方法却找出了两个。这个闯入者是从哪里来的？ 一行一个方程 解方程的人并不是在对数做计算，而是在写一串方程，每一个都由前一个得到。把一行和下一行连起来的不是等号，而是关于命题的一个断言：“如果这一个为真，那一个也为真”。逻辑为此准备了两个符号。 $P\Rightarrow Q$，“$P$ 蕴含 $Q$”：只要 $P$ 为真，$Q$ 也为真。但 $Q$ 可以为真而 $P$ 不为真。 $P\Leftrightarrow Q$，“$P$ 等价于 $Q$”：两者恰好对相同的值为真。箭头双向都成立。 在解方程时，这个区别是决定性的。如果每一步都是 $\Leftrightarrow$，最后一行的解与第一行完全相同。如果某一步只是 $\Rightarrow$，最后一行可能多出解。如果某一步只是 $\Leftarrow$，则可能少了解。 双向都成立的步骤 有些步骤总是可逆的： 步骤 为什么能退回去 两边加上同一个数 再减回去就行 两边乘以同一个不为零的数 再除回去就行 把一个式子换成与它恒等的式子 恒等式双向成立 作用一个单射函数，例如 $x\mapsto x^3$ 或 $x\mapsto e^x$ 每个结果只来自一个值 另一些则不是： 步骤 可能发生什么 两边平方 多出解：由 $a=b$ 可得 $a^2=b^2$，但 $a=-b$ 时 $a^2=b^2$ 也成立 乘以一个可能为零的式子 多出解：那个式子的零点 除以一个可能为零的式子 丢掉解：那个式子的零点 在开头的方程里，平方这一步就是一个乔装的 $\Rightarrow$。方程 $x+2=x^2$ 问的是“$\sqrt{x+2}$ 等于 $x$ 还是等于 $-x$？”，而 $-1$ 回答的是后半句：$\sqrt{1}=1=-(-1)$。这个闯入者有名字：增根。唯一的防御是回到原方程去检验。

October 17, 2026 阅读
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等价：分数、时钟和高斯的 ≡

$\frac12$ 和 $\frac24$ 这两种写法是不同的：一个用数字 $1$ 和 $2$，另一个用 $2$ 和 $4$。一张比萨切成两块、你吃了一块，和一张比萨切成四块、你吃了两块，并不是同一回事：多切了一刀。然而我们毫不犹豫地写下 $$\frac12=\frac24=\frac36=\frac{50}{100}.$$这个等号断言的，不是写法相同，也不是比萨相同。它断言的是：就关心的东西而言——吃掉的量——它们无法区分。 就关心的东西而言相等 这正是等价关系的工作：把从某个角度看算作同一个的不同东西归为一组。对分数来说，判据是 $$\frac ab\sim\frac cd\quad\text{当且仅当}\quad a\cdot d=b\cdot c.$$对 $\frac12$ 和 $\frac24$：$1\cdot4=2\cdot2$。对 $\frac12$ 和 $\frac35$：$1\cdot5\neq2\cdot3$，两个分数不等价。 这样一种关系，只有当它也具备第1篇介绍的那三条定律——自反、对称、传递——时，才配得上一个长得像等号的符号。具备了这三条，它就会做一件了不起的事：把世界分成类，像一个个抽屉，每个对象恰好落进其中一个。与 $\frac12$ 等价的分数都在一个抽屉里；与 $\frac13$ 等价的在另一个抽屉里。 这里有一个由十九世纪数学明确提出的想法：有理数就是那个抽屉，而不是分数。$\frac12$、$\frac24$、$\frac36$ 是同一个对象——整个类——的不同名字。这是弗雷格的涵义与指称之分，从另一边看过去：不是从一个对象出发去找它的名字，而是从名字出发，把彼此等价的名字放在一起，构造出对象。 时钟 最日常的等价例子就在手腕上。$15$ 点时，时针指着 $3$。再过 $13$ 小时，时钟会走到 $3+13=16$，而 $16$ 显示为 $4$。对时针来说，$3$、$15$、$27$、$-9$ 全都一样：它们相差 $12$ 的倍数。 《算术研究》（1801）的扉页。24 岁的卡尔·弗里德里希·高斯在这本书里引入了同余和符号 ≡。Carl Friedrich Gauss · Wikimedia Commons · 公有领域 1801 年，卡尔·弗里德里希·高斯在《算术研究》的开头，给了这个想法一个名字、一个定义和一个符号。当两个数之差能被 $m$ 整除时，称它们模 $m$ 同余。他写道： 今后我们用这个符号 ≡ 表示数的同余，必要时在括号中附上模：−16 ≡ 9 (mod. 5)，−7 ≡ 15 (mod. 11)。 — 高斯，《算术研究》（1801），第 2 条

October 17, 2026 阅读
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方程、恒等式、定义：同一个符号的三份工作

同一个字母 $f$，三句话： $$f(x)=x^2,\qquad f(x)=x\cdot x,\qquad f(x)=4.$$第一句给出名字：从这里开始，$f$ 就是求平方的函数。第二句陈述规律：对每个 $x$，$f$ 的值都是 $x$ 乘 $x$。第三句提出问题：$x$ 取什么值时函数等于 $4$？答案是 $x=2$ 或 $x=-2$。 三句里的符号一模一样，读者要做的事却不一样： 类型 回答的问题 怎样处理它 例子 方程 哪些值使它成立？ 解它 $x^2=4$ 恒等式 对所有值都成立吗？ 证它 $(x-2)(x+2)=x^2-4$ 定义 这个名字是什么意思？ 接受它 $n!=1\cdot2\cdots n$ 定义无所谓真假：它是一次命名。“证明” $n!=1\cdot2\cdots n$ 没有意义，就像证明某人叫玛丽亚没有意义一样。相反，恒等式必须证明，方程必须求解。把三份工作搞混的人，是在错误的对象上做了正确的事。 试图提醒读者的符号 几个世纪以来，好几位数学家试图给每份工作一个专门的符号。 用 $\equiv$ 表示恒等式。 据史学家弗洛里安·卡约里说，伯恩哈德·黎曼在 1857 年就用它表示“对所有值都相等”。物理和工程书里仍然能看到它：$\sin^2x+\cos^2x\equiv1$。 用 $:=$ 表示定义。 冒号放在新名字的一边：$f(x):=x^2$ 读作“$f(x)$ 按定义等于 $x^2$”。这个符号随着程序设计语言流行起来（在那里它表示赋值），二十世纪末传进了数学书。 $\overset{\text{def}}{=}$ 或 $\stackrel{\triangle}{=}$。 把“定义”一词放在等号上方的变体。更明确，但用得更少。 没有一个彻底胜出。大多数书仍然处处写 $=$，依靠语境：“设”“定义”“对所有”“解”这些词，做了符号没做的工作。这是一种典型的情形：句法没说的，记号留给莫里斯意义上的语用学去说（见第2章）。 把“新生之梦”当作方程来读 代数里最有名的错误之一，是写出 $$(a+b)^2=a^2+b^2.$$在英语里它甚至有个外号：freshman’s dream，“新生之梦”。作为恒等式，这句话是错的：取 $a=b=1$，左边是 $4$，右边是 $2$。但看看把它当作方程、当作关于 $a$ 和 $b$ 的一个问题来读时会发生什么：

October 17, 2026 阅读
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弗雷格与晨星：a = b 说了什么

比较两句话： $$1024=1024\qquad\text{和}\qquad 2^{10}=1024.$$两句都对，而且两句都说一个数等于它自己：$2^{10}$ 就是 $1024$。可是，第一句不会让任何人学到什么，第二句却是一个小小的发现，要做十次乘法才能得到。如果等号只是说“这两样东西是同一个”，那么这两句话说的就完全一样。那么，第二句多出来的是什么？ 昏星与晨星 戈特洛布·弗雷格（1848–1925），耶拿大学的数学教授，他把等号变成了一个哲学问题。Emil Tesch，约 1905 年 · Wikimedia Commons · 公有领域 这个问题困扰过德国数学家戈特洛布·弗雷格。1892 年，他在一篇短文《论涵义与指称》中作出了回答。他的例子来自天文学。古希腊人把黄昏时出现在西方的那颗亮星叫作赫斯珀洛斯（昏星），把黎明前出现在东方的那颗叫作福斯福洛斯（晨星）。发现两者是同一个天体——金星——是一项成就。“昏星是昏星”什么也没教；“昏星是晨星”却教了东西。 弗雷格的办法是把一个名字携带的两样东西分开： 指称（Bedeutung）：名字所指向的对象，这里就是金星； 涵义（Sinn）：名字呈现这个对象的方式，“黄昏时发光的天体”或“黎明时发光的天体”。 当 $a$ 和 $b$ 的指称相同时，等式 $a=b$ 为真。而当它们的涵义不同、经由不同的路径到达同一个对象时，这个等式才有信息量。 数里的涵义与指称 数学里到处是同一个数的不同名字： $$4,\qquad 2+2,\qquad 2^2,\qquad \sqrt{16},\qquad \tfrac{8}{2},$$还有“唯一的偶素数与它自己相加”。它们的指称全都相同。但每一个都以自己的方式呈现这个数，每种方式都讲一个故事：$2+2$ 说怎样合并，$2^2$ 说怎样相乘，$\sqrt{16}$ 说它是哪个正方形的边长。这就是第2章所说的能指与对象的区别：符号不是事物本身，同一个事物有许多符号。 这对写计算的人有一个重要的推论。计算，就是把一种写法换成另一种指称相同、涵义更有用的写法。在 $$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\qquad(x\neq3)$$中，三个式子指向同一个值，但第三个最好用。按照本书的说法，当一种记号的涵义本身就指出通往其他写法的道路时，它就是能动的：$2^{10}$ 显示出 $2^{10}=2^5\cdot2^5=32\cdot32$，而 $1024$ 什么也没显示。 莱布尼茨定律 如果两种写法指向同一个对象，那么在任何句子里用一个替换另一个，都应该不改变句子的真假。戈特弗里德·莱布尼茨把这个想法写成一句拉丁文，弗雷格赞同地引用了它： 能够在保全真理（salva veritate）的情况下相互替换的东西，就是相同的。 — 莱布尼茨，弗雷格《算术基础》（1884）§65 引用 这正是代数里时时刻刻在用、却没人给它命名的规则。如果 $x=3$，那么 $x^2+x=3^2+3=12$。如果 $y=2x$，那么 $x+y=x+2x=3x$。用相等的东西替换相等的东西，是一切计算的发动机。 但弗雷格注意到，这条规则在一种特殊的句子里会失效。考虑： 这个学生知道 $2^{10}=2^{10}$。 对任何学生来说这都是真的。现在把第二个 $2^{10}$ 换成同一个数 $1024$： 这个学生知道 $2^{10}=1024$。 这可能是假的。当句子谈论的是某人知道、相信或写下了什么时，重要的是涵义，而不仅仅是指称。逻辑学家把这样的地方叫作晦暗语境。在计算内部，等号允许随意替换；在谈论“人们对这个计算知道什么”的句子里，就不行了。 维特根斯坦与多余的等号 1879 年，弗雷格曾用一个特殊的符号 $\equiv$ 表示同一，读作“内容相同”：这是两个名字之间的关系。1892 年他改变了主意，开始把它当作对象之间的关系。奥地利人路德维希·维特根斯坦曾到耶拿拜访弗雷格，并在弗雷格的建议下去跟罗素学习。他在《逻辑哲学论》（1921）里走得更远：说两个东西是同一的，是胡说；说一个东西与它自己同一，则什么也没说。他提议，在一种完美的记号中，相同的对象应当有相同的符号，于是 $=$ 就不再需要了。数学没有采纳这个建议。等号之所以存活下来，恰恰是因为同一个对象需要不同的名字。

October 17, 2026 阅读