古典概率是从原因推到结果：已知硬币是均匀的，正面的概率是多少？很多时候问题正好相反。我们看到了结果，想知道原因：看到某些结果之后，关于这枚硬币我们能说些什么？第一个用数学处理这种原因的概率的人是英国牧师托马斯·贝叶斯，他的论文在他去世后于 1763 年发表。拉普拉斯在 1774 年独立得出了同样的想法，当时并不知道贝叶斯；而发展并应用这些想法的，正是拉普拉斯。 未知的罐子 设想一个罐子里有白球和黑球，比例 $p$ 未知。我们对 $p$ 一无所知：0 到 1 之间的任何值看来都同样合理。我们取出 $n$ 个球（每次放回），全部是白球。下一个也是白球的概率是多少？ 如果比例是 $p$，连续取出 $n$ 个白球的概率是 $p^n$。能更好解释观测结果的 $p$ 值获得更大的权重。用 $p^n$ 给每个 $p$ 加权，下一个是白球的概率就是 $p$ 按这些权重的平均： $$P(\text{下一个是白球}) = \frac{\int_0^1 p \cdot p^n\,dp}{\int_0^1 p^n\,dp} = \frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}.$$这就是拉普拉斯的继承法则。没有任何观测时（$n = 0$），结果是 $\frac{1}{2}$。取出一个白球后是 $\frac{2}{3}$，十个之后是 $\frac{11}{12}$。更一般地，如果 $n$ 次中取出了 $s$ 个白球，下一个是白球的概率是 $\frac{s+1}{n+2}$。 下图显示了随着白球累积，权重曲线 $(n+1)p^n$ 的变化。它向 $p = 1$ 附近集中，却永远达不到确定： 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 日出 在 1814 年的《哲学随笔》中，拉普拉斯把这个法则用于一个后来很有名的例子。假设有记载的历史有 5000 年，即 $1\,826\,213$ 天，而太阳每一天都升起了。按照法则，明天太阳升起的概率是