古典概率是从原因推到结果：已知硬币是均匀的，正面的概率是多少？很多时候问题正好相反。我们看到了结果，想知道原因：看到某些结果之后，关于这枚硬币我们能说些什么？第一个用数学处理这种原因的概率的人是英国牧师托马斯·贝叶斯，他的论文在他去世后于 1763 年发表。拉普拉斯在 1774 年独立得出了同样的想法，当时并不知道贝叶斯；而发展并应用这些想法的，正是拉普拉斯。

未知的罐子

设想一个罐子里有白球和黑球，比例 $p$ 未知。我们对 $p$ 一无所知：0 到 1 之间的任何值看来都同样合理。我们取出 $n$ 个球（每次放回），全部是白球。下一个也是白球的概率是多少？

如果比例是 $p$，连续取出 $n$ 个白球的概率是 $p^n$。能更好解释观测结果的 $p$ 值获得更大的权重。用 $p^n$ 给每个 $p$ 加权，下一个是白球的概率就是 $p$ 按这些权重的平均：

$$P(\text{下一个是白球}) = \frac{\int_0^1 p \cdot p^n\,dp}{\int_0^1 p^n\,dp} = \frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}.$$

这就是拉普拉斯的继承法则。没有任何观测时（$n = 0$），结果是 $\frac{1}{2}$。取出一个白球后是 $\frac{2}{3}$，十个之后是 $\frac{11}{12}$。更一般地，如果 $n$ 次中取出了 $s$ 个白球，下一个是白球的概率是 $\frac{s+1}{n+2}$。

下图显示了随着白球累积，权重曲线 $(n+1)p^n$ 的变化。它向 $p = 1$ 附近集中，却永远达不到确定：

日出

在 1814 年的《哲学随笔》中，拉普拉斯把这个法则用于一个后来很有名的例子。假设有记载的历史有 5000 年，即 $1\,826\,213$ 天，而太阳每一天都升起了。按照法则，明天太阳升起的概率是

$$\frac{1\,826\,214}{1\,826\,215},$$

拉普拉斯说，可以用 $1\,826\,214$ 对 1 打赌明天太阳会升起。

但他在同一页上加了一条许多人忘记的保留：这个数字只适用于仅仅知道日出序列的人。他写道，懂得支配昼夜和四季的规律的人知道，现在没有任何东西能阻止太阳的运动，对这样的人来说，概率“大得无可比拟”。继承法则是在一无所知时剩下的东西。

练习：权重之和为 1

证明 $\int_0^1 p^n\,dp = \frac{1}{n+1}$，并由此推出图中曲线 $(n+1)p^n$ 的面积为 1、均值为 $\frac{n+1}{n+2}$。

$p^n$ 的一个原函数是 $\frac{p^{n+1}}{n+1}$，在 $p = 1$ 处等于 $\frac{1}{n+1}$，在 $p = 0$ 处等于 0。乘以 $n+1$，面积就是 1。均值为 $\int_0^1 p\,(n+1)p^n\,dp = (n+1)\cdot\frac{1}{n+2} = \frac{n+1}{n+2}$：恰好就是继承法则。

练习：十投九中，百投九十中

一名球员 10 次罚球命中 9 次，另一名 100 次命中 90 次。按照继承法则，每人下一次命中的概率是多少？

第一名：$\frac{9+1}{10+2} = \frac{10}{12} \approx 0.83$。第二名：$\frac{90+1}{100+2} = \frac{91}{102} \approx 0.89$。观测到的比例相同，都是 90%，但法则更相信数据更多的人：观测很少时，它会把估计往 $\frac{1}{2}$ 拉。

来源： Pierre-Simon Laplace，“Mémoire sur la probabilité des causes par les événements”，Mémoires de mathématique et de physique présentés à l’Académie 6（1774） · Pierre-Simon Laplace，Essai philosophique sur les probabilités（1814） · Thomas Bayes，“An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances”，Philosophical Transactions 53（1763） · Stephen M. Stigler，“Laplace’s 1774 Memoir on Inverse Probability”，Statistical Science 1（1986） · Sharon Bertsch McGrayne，The Theory That Would Not Die（2011）。

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