问一个班 $(a+b)^2$ 等于什么，会有一部分人回答 $a^2 + b^2$。问 $\sqrt{9 + 16}$ 等于什么，有人会说 $3 + 4 = 7$。这些错误如此常见，而且在不同学校之间如此相似，不可能是偶然。它们遵循着某条规则。 推广过头的规则 1982 年，美国研究者玛丽莲·马茨研究了高中生的代数错误，提出其中许多来自由正确规则构造出来的错误规则（malrules）。其中最"多产"的是分配律： $$a(b + c) = ab + ac.$$它是正确的，出现得早，而且时时都在用。学生学到“外面的东西要分配进每一项”，而在没有人说过不行的情况下，就把这个动作推广到一切看起来像“对一个和施加运算”的东西上： $$(a+b)^2 \overset{?}{=} a^2 + b^2, \quad \sqrt{a+b} \overset{?}{=} \sqrt{a} + \sqrt{b}, \quad \frac{1}{a+b} \overset{?}{=} \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, \quad \sin(a+b) \overset{?}{=} \sin a + \sin b.$$它们全是错的。它们全都和分配律有同样的形状。从记号的角度看，学生把书写读得很好：看出一个视觉模式，并且一贯地应用它。缺少的是知道形状并不够：分配律对乘法成立，是因为乘法本身是什么，而不是因为括号长成什么样。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 反例这面放大镜 拆穿错误规则的工具是反例：只要一个它不成立的情形。取 $a = 3$、$b = 4$，$(a+b)^2 = 49$，而 $a^2 + b^2 = 25$。好了：这条规则就此作废。正确的规则，比如 $(ab)^2 = a^2 b^2$，经得起所有检验；上面的图可以让你试一试。