问一个班 $(a+b)^2$ 等于什么，会有一部分人回答 $a^2 + b^2$。问 $\sqrt{9 + 16}$ 等于什么，有人会说 $3 + 4 = 7$。这些错误如此常见，而且在不同学校之间如此相似，不可能是偶然。它们遵循着某条规则。

推广过头的规则

1982 年，美国研究者玛丽莲·马茨研究了高中生的代数错误，提出其中许多来自由正确规则构造出来的错误规则（malrules）。其中最"多产"的是分配律：

$$a(b + c) = ab + ac.$$

它是正确的，出现得早，而且时时都在用。学生学到“外面的东西要分配进每一项”，而在没有人说过不行的情况下，就把这个动作推广到一切看起来像“对一个和施加运算”的东西上：

$$(a+b)^2 \overset{?}{=} a^2 + b^2, \quad \sqrt{a+b} \overset{?}{=} \sqrt{a} + \sqrt{b}, \quad \frac{1}{a+b} \overset{?}{=} \frac{1}{a} + \frac{1}{b}, \quad \sin(a+b) \overset{?}{=} \sin a + \sin b.$$

它们全是错的。它们全都和分配律有同样的形状。从记号的角度看，学生把书写读得很好：看出一个视觉模式，并且一贯地应用它。缺少的是知道形状并不够：分配律对乘法成立，是因为乘法本身是什么，而不是因为括号长成什么样。

反例这面放大镜

拆穿错误规则的工具是反例：只要一个它不成立的情形。取 $a = 3$、$b = 4$，$(a+b)^2 = 49$，而 $a^2 + b^2 = 25$。好了：这条规则就此作废。正确的规则，比如 $(ab)^2 = a^2 b^2$，经得起所有检验；上面的图可以让你试一试。

用小数字检验是一种阅读习惯，而不只是检查习惯。写下一个新等式、在继续之前先代入 $a = 1$、$b = 2$ 的人，能抓住自己大部分的错误。但检验有一个限度，第4章已经说明：例子能推翻一条规则，却不能证明它。

碰巧对了的约分

有一个著名的错误，有时候还会算对：

$$\frac{16}{64} = \frac{1\not{6}}{\not{6}4} = \frac{1}{4}.$$

把上面的 $6$ 和下面的 $6$ “划掉”毫无道理：$16$ 里的 $6$ 值六个一，$64$ 里的 $6$ 值六十。可结果是对的！在两位数中，这样的分数只有四个（不算 $\frac{11}{11}$ 这类平凡的）：$\frac{16}{64}$、$\frac{19}{95}$、$\frac{26}{65}$ 和 $\frac{49}{98}$。它们少到足以成为趣闻，又危险到足以时不时证实一条错误规则。

练习：梦想何时成真

对哪些实数 $a$ 和 $b$，$(a+b)^2 = a^2 + b^2$ 成立？

展开得 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。等式要求 $2ab = 0$，即 $a = 0$ 或 $b = 0$。错误规则恰好在其中一项为零时成立，所以它有时能在挑得不好的例子面前蒙混过关。

练习：26/65 的约分

验证 $\frac{26}{65} = \frac{2}{5}$，并解释为什么“划掉 6”不是一条规则。

$\frac{26}{65}$：约去 $13$ 得 $\frac{2}{5}$。对。但 $\frac{36}{63}$ 用同样的办法划掉 $6$，会得到 $\frac{3}{3} = 1$，而 $\frac{36}{63} = \frac{4}{7}$。$\frac{26}{65}$ 的巧合来自方程 $\frac{10a + b}{10b + c} = \frac{a}{c}$，它在数字中只有寥寥几个解；而不是来自重复数字的什么性质。

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