对希腊人来说，“化方”一个图形，就是找一个与它面积相同的正方形或其他直线图形。化圆为方是最典型的不可能问题。阿基米德却成功地把一个曲线图形化成了方：抛物线弓形，即抛物线与一条弦之间的区域。 由一条直线和一个直角圆锥截线围成的任何弓形，都等于与它同底同高的三角形的三分之四。 — 阿基米德，《抛物线求积》，致多西修斯的信 “直角圆锥截线”是阿基米德对抛物线的称呼。这本书是在科农去世后献给多西修斯的，据说阿基米德最先把这个结果给科农看过。 三角形里的三角形 画出弦，再在弧上找到切线与弦平行的那一点。这三个点构成一个三角形，面积为 $T$，占据了弓形的大部分。剩下两个小区域，在三角形的两边与曲线之间。在每个小区域里做同样的事：再作一个三角形，第三个顶点在抛物线上。又剩下四个更小的区域，如此继续下去。 阿基米德的发现是：每一对新三角形加起来，面积是生成它们的那个三角形的四分之一。所以第一步得到 $T$，第二步 $\frac{T}{4}$，第三步 $\frac{T}{16}$，总面积是 $$T + \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + \frac{T}{64} + \cdots$$ 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 无穷多项相加 阿基米德没有说“无穷和”，他小心地回避无穷。他证明的是关于有限和的一个事实：对任意项数， $$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{4^n} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4^n} = \frac{4}{3}.$$也就是说，离 $\frac{4}{3}$ 还差的总是最后一项的三分之一，而它可以想要多小就有多小。然后，他用双重反证法证明，弓形的面积既不能大于也不能小于 $\frac{4}{3}T$。这就是从欧多克索斯那里继承来的穷竭法，也是极限概念的直接祖先。 用微积分验证 用今天的工具，这个计算一步就能完成。对抛物线 $y = 1 - x^2$，弦在 $x$ 轴上，从 $-1$ 到 $1$： $$\int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{4}{3}.$$内接三角形的底为 2，高为 1，即面积 $T = 1$。比值恰好是 $\frac{4}{3}$，正如阿基米德在牛顿和莱布尼茨之前十九个世纪所证明的。
在同样献给多西修斯的《论螺线》中，阿基米德研究了一种由运动定义的新曲线。 如果平面上一条直线绕它的一个固定端点匀速旋转，并回到出发的位置，同时有一点从固定端点出发沿这条直线匀速运动，那么这个点就在平面上描出一条螺线。 — 阿基米德，《论螺线》，定义 方程 在极坐标中，点到中心的距离 $r$ 与直线转过的角 $\theta$ 成同样比例增长： $$r = a\,\theta.$$每转一整圈，半径增加同样的量 $2\pi a$，所以相邻各圈间距相等，就像黑胶唱片的纹路，或者盘在地上的水管。 圆的三分之一 阿基米德计算了半径在第一圈中扫过的面积。方法仍是穷竭法：把一圈分成许多窄的扇形，一些在曲线内，一些在曲线外，再把它们加起来。用现代记号，角为 $d\theta$、半径为 $r$ 的扇形面积为 $\frac{1}{2}r^2\,d\theta$，于是 $$A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}(a\theta)^2\,d\theta = \frac{a^2}{2}\cdot\frac{(2\pi)^3}{3} = \frac{4}{3}\pi^3 a^2.$$以第一圈末端的半径 $R = 2\pi a$ 为半径的圆，面积为 $\pi R^2 = 4\pi^3 a^2$。螺线的面积恰好是它的三分之一： $$\frac{A}{\pi R^2} = \frac{\frac{4}{3}\pi^3 a^2}{4\pi^3 a^2} = \frac{1}{3}.$$为了得到这个结果，阿基米德需要一个关于平方和 $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$ 的公式，它相当于说这个和介于 $\frac{n^3}{3}$ 与 $\frac{(n+1)^3}{3}$ 之间。在微积分中，正是这个和给出了 $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$。 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。