对希腊人来说，“化方”一个图形，就是找一个与它面积相同的正方形或其他直线图形。化圆为方是最典型的不可能问题。阿基米德却成功地把一个曲线图形化成了方：抛物线弓形，即抛物线与一条弦之间的区域。

由一条直线和一个直角圆锥截线围成的任何弓形，都等于与它同底同高的三角形的三分之四。

— 阿基米德，《抛物线求积》，致多西修斯的信

“直角圆锥截线”是阿基米德对抛物线的称呼。这本书是在科农去世后献给多西修斯的，据说阿基米德最先把这个结果给科农看过。

三角形里的三角形

画出弦，再在弧上找到切线与弦平行的那一点。这三个点构成一个三角形，面积为 $T$，占据了弓形的大部分。剩下两个小区域，在三角形的两边与曲线之间。在每个小区域里做同样的事：再作一个三角形，第三个顶点在抛物线上。又剩下四个更小的区域，如此继续下去。

阿基米德的发现是：每一对新三角形加起来，面积是生成它们的那个三角形的四分之一。所以第一步得到 $T$，第二步 $\frac{T}{4}$，第三步 $\frac{T}{16}$，总面积是

$$T + \frac{T}{4} + \frac{T}{16} + \frac{T}{64} + \cdots$$

无穷多项相加

阿基米德没有说“无穷和”，他小心地回避无穷。他证明的是关于有限和的一个事实：对任意项数，

$$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{4^n} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4^n} = \frac{4}{3}.$$

也就是说，离 $\frac{4}{3}$ 还差的总是最后一项的三分之一，而它可以想要多小就有多小。然后，他用双重反证法证明，弓形的面积既不能大于也不能小于 $\frac{4}{3}T$。这就是从欧多克索斯那里继承来的穷竭法，也是极限概念的直接祖先。

用微积分验证

用今天的工具，这个计算一步就能完成。对抛物线 $y = 1 - x^2$，弦在 $x$ 轴上，从 $-1$ 到 $1$：

$$\int_{-1}^{1} (1 - x^2)\,dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{4}{3}.$$

内接三角形的底为 2，高为 1，即面积 $T = 1$。比值恰好是 $\frac{4}{3}$，正如阿基米德在牛顿和莱布尼茨之前十九个世纪所证明的。

练习：阿基米德的和

对 $n = 2$ 验证阿基米德的恒等式：$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{16} = \frac{4}{3}$。

通分到 48：$\frac{48}{48} + \frac{12}{48} + \frac{3}{48} + \frac{1}{48} = \frac{64}{48} = \frac{4}{3}$。对任意 $n$ 用归纳法证明：加上 $\frac{1}{4^{n+1}}$ 这一项，同时把 $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4^n}$ 换成 $\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4^{n+1}}$，和不变，因为 $\frac{1}{4^{n+1}} + \frac{1}{3\cdot 4^{n+1}} = \frac{4}{3\cdot 4^{n+1}} = \frac{1}{3\cdot 4^n}$。

练习：最初的两个小三角形

在抛物线 $y = 1 - x^2$ 上，第一个三角形的顶点为 $(-1, 0)$、$(1, 0)$ 和 $(0, 1)$。右边的第二个三角形顶点为 $(0, 1)$、$(1, 0)$ 和抛物线上 $x = \frac{1}{2}$ 的点。求它的面积，并验证第二步的两个三角形加起来是 $\frac{1}{4}$。

第三个顶点是 $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$。用坐标面积公式 $\frac{1}{2}\left|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\right|$，代入 $(0,1)$、$(1,0)$、$\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)$：$\frac{1}{2}\left|0 + 1\cdot\left(\frac{3}{4} - 1\right) + \frac{1}{2}(1 - 0)\right| = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{8}$。由对称性，左边那个也是 $\frac{1}{8}$，两者合计是第一个三角形的 $\frac{1}{4}$。

来源： 阿基米德，《抛物线求积》，命题 14–24 · Thomas L. Heath，The Works of Archimedes（1897） · E. J. Dijksterhuis，Archimedes（1956），第十章 · Carl B. Boyer，The History of the Calculus and Its Conceptual Development（1949）。

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