在 1859 年那篇关于素数的论文中间，黎曼几乎是顺带写了一句话。谈到一个与 zeta 函数相关的函数时（它的实根对应于 zeta 函数在临界线上的零点），他说： 所有的根很可能都是实的。当然，人们希望对此有一个严格的证明；不过，在几次匆匆的徒劳尝试之后，我暂时把寻找证明的事放在了一边，因为对于我研究的下一个目标来说，它似乎并不必要。 — 伯恩哈德·黎曼，《论小于给定数值的素数个数》（1859） 用现代语言来说，这句话就是黎曼猜想： zeta 函数的所有非平凡零点的实部都等于 $\frac{1}{2}$。 临界线 zeta 函数的平凡零点在负偶数处。其余的零点都位于 $0 < \sigma < 1$ 的带状区域内，并且由函数方程，它们关于直线 $\sigma = \frac{1}{2}$（即临界线）对称地出现。黎曼猜想说，它们全都恰好落在这条直线上。 在临界线上，$\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right)$ 乘上一个模为 1 的因子后，就变成一个实函数 $Z(t)$，它在每个零点处变号。下图画出了 $t = 10$ 到 $t = 60$ 之间的 $Z(t)$： 请启用 JavaScript 以使用这个交互图形。完整的推理见正文。 最初的几个零点位于 $t \approx 14.135$、$21.022$、$25.011$、$30.425$、$32.935$……它们没有简单的规律，但越来越密：高度 $T$ 以下大约有 $\frac{T}{2\pi}\ln\frac{T}{2\pi e}$ 个零点。 黎曼的秘密计算 黎曼没有发表任何零点的计算。因此，几十年里人们以为“很可能”只是一句猜测。1932 年，卡尔·路德维希·西格尔查阅黎曼留在哥廷根的笔记，发现其中有一个计算临界线上 $\zeta$ 值的精巧渐近公式，黎曼曾用它找到了最初的几个零点。这个公式如今称为黎曼–西格尔公式，上面的图用的就是它，它至今仍是现代计算的基础。 已知的结果 1914 年，哈代证明临界线上有无穷多个零点。 1942 年，阿特勒·塞尔伯格证明其中正比例的零点在临界线上；1989 年，布赖恩·康里证明超过 40% 的零点在临界线上。 计算机已经验证了超过十万亿个零点：全都在临界线上。 这些都不是证明。素数理论中涉及的数如此巨大，一个反例可能远在任何计算所及的范围之外。