在 1859 年那篇关于素数的论文中间，黎曼几乎是顺带写了一句话。谈到一个与 zeta 函数相关的函数时（它的实根对应于 zeta 函数在临界线上的零点），他说：

所有的根很可能都是实的。当然，人们希望对此有一个严格的证明；不过，在几次匆匆的徒劳尝试之后，我暂时把寻找证明的事放在了一边，因为对于我研究的下一个目标来说，它似乎并不必要。

— 伯恩哈德·黎曼，《论小于给定数值的素数个数》（1859）

用现代语言来说，这句话就是黎曼猜想：

zeta 函数的所有非平凡零点的实部都等于 $\frac{1}{2}$。

临界线

zeta 函数的平凡零点在负偶数处。其余的零点都位于 $0 < \sigma < 1$ 的带状区域内，并且由函数方程，它们关于直线 $\sigma = \frac{1}{2}$（即临界线）对称地出现。黎曼猜想说，它们全都恰好落在这条直线上。

在临界线上，$\zeta\left(\frac{1}{2} + it\right)$ 乘上一个模为 1 的因子后，就变成一个实函数 $Z(t)$，它在每个零点处变号。下图画出了 $t = 10$ 到 $t = 60$ 之间的 $Z(t)$：

最初的几个零点位于 $t \approx 14.135$、$21.022$、$25.011$、$30.425$、$32.935$……它们没有简单的规律，但越来越密：高度 $T$ 以下大约有 $\frac{T}{2\pi}\ln\frac{T}{2\pi e}$ 个零点。

黎曼的秘密计算

黎曼没有发表任何零点的计算。因此，几十年里人们以为“很可能”只是一句猜测。1932 年，卡尔·路德维希·西格尔查阅黎曼留在哥廷根的笔记，发现其中有一个计算临界线上 $\zeta$ 值的精巧渐近公式，黎曼曾用它找到了最初的几个零点。这个公式如今称为黎曼–西格尔公式，上面的图用的就是它，它至今仍是现代计算的基础。

已知的结果

  • 1914 年，哈代证明临界线上有无穷多个零点。
  • 1942 年，阿特勒·塞尔伯格证明其中正比例的零点在临界线上；1989 年，布赖恩·康里证明超过 40% 的零点在临界线上。
  • 计算机已经验证了超过十万亿个零点：全都在临界线上。

这些都不是证明。素数理论中涉及的数如此巨大，一个反例可能远在任何计算所及的范围之外。

为什么重要

如果猜想成立，素数计数的误差就是最小的可能：$\pi(x)$ 与 $\operatorname{li}(x)$ 之差至多是 $\sqrt{x}\,\ln x$ 的量级。素数的分布会在其看似随机的特性所允许的范围内尽可能规则。已经有数以百计的定理是以“如果黎曼猜想成立，那么……”的形式证明的，它们会一下子全部得到证明。

练习：50 以下有多少个零点？

用公式 $N(T) \approx \frac{T}{2\pi}\ln\frac{T}{2\pi e}$ 估计 $0 < t < 50$ 内的零点个数，并与图比较。

$\frac{50}{2\pi} \approx 7.96$，$\frac{50}{2\pi e} \approx 2.93$，其对数约为 $1.07$。所以 $N(50) \approx 7.96 \times 1.07 \approx 8.5$。完整的公式还有一项 $+\frac{7}{8}$，结果约为 $9.4$。图中 $t = 50$ 以下有 10 个零点：14.1、21.0、25.0、30.4、32.9、37.6、40.9、43.3、48.0 和 49.8。即使对很小的值，这个估计也不错。

练习：零点的对称性

函数方程意味着：若 $\rho$ 是一个非平凡零点，则 $1 - \rho$ 也是。此外，由于 $\zeta$ 在实数处取实值，共轭 $\bar{\rho}$ 也是零点。如果 $\rho = \sigma + it$ 是一个不在临界线上的零点，会“免费”得到多少个零点？

共有四个零点：$\sigma + it$、$\sigma - it$、$(1 - \sigma) - it$ 和 $(1 - \sigma) + it$，位于一个以临界线为中心的矩形的四个顶点上。如果 $\sigma = \frac{1}{2}$，矩形就缩成两个点 $\frac{1}{2} \pm it$。黎曼猜想的反例总会至少带着另外三个一起出现。

来源： Bernhard Riemann，“Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”（1859） · Carl Ludwig Siegel，“Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie”，Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik 2（1932） · Enrico Bombieri，“Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis”，克雷数学研究所（2000） · Harold M. Edwards，Riemann’s Zeta Function（1974） · Xavier Gourdon，“The 10¹³ first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height”（2004）。

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