地球と同じ密度をもち、直径が太陽の 250 倍ある光る星は、その引力のために、光線のひとつとして私たちのもとに届かせないだろう。それゆえ、宇宙でもっとも大きな光る天体は、まさにそのために見えないということがありうる。 — ピエール＝シモン・ラプラス『宇宙体系解説』（1796） この文は『宇宙体系解説』の初版にある。ラプラスがこれを書いたのは、ニュートンと同じく光が粒子でできていると信じられていた時代だった。光が微粒子の群れなら、重力は石を引くのと同じようにそれを引くはずである。とすれば、星が十分に小さく詰まっていれば、放たれた光は上に投げた石のように落ちてくるだろう。 脱出速度 質量 $M$、半径 $R$ の天体の表面から速さ $v$ で上に投げた石が永久に逃げ切るのは、運動のエネルギーが重力のエネルギーに勝つときに限る。 $$\frac{1}{2}mv^2 \ge \frac{GMm}{R} \quad\Longleftrightarrow\quad v \ge v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.$$石の質量は消える。脱出速度 $v_e$ は天体だけで決まるのである。地球では約 11.2 km/s、太陽では 618 km/s である。 密度と大きさ 密度 $\rho$ の天体の質量は $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ だから、代入すると $$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\rho} = R\,\sqrt{\frac{8\pi G\rho}{3}}$$となる。密度を固定すれば、脱出速度は半径に比例して大きくなる。これがまさにラプラスの推論だった。彼は $v_e = 618$ km/s、平均密度 1.41 g/cm³ の太陽から出発し、太陽の 250 倍の大きさで地球の密度 5.51 g/cm³ をもつ天体を考えた。 $$v_e \approx 618 \times 250 \times \sqrt{\frac{5.51}{1.41}} \approx 618 \times 250 \times 1.98 \approx 305\,000 \text{ km/s}.$$光の速さ $c \approx 300\,000$ km/s を少し超える。このような天体の光は逃げ出せない。