地球と同じ密度をもち、直径が太陽の 250 倍ある光る星は、その引力のために、光線のひとつとして私たちのもとに届かせないだろう。それゆえ、宇宙でもっとも大きな光る天体は、まさにそのために見えないということがありうる。

— ピエール＝シモン・ラプラス『宇宙体系解説』（1796）

この文は『宇宙体系解説』の初版にある。ラプラスがこれを書いたのは、ニュートンと同じく光が粒子でできていると信じられていた時代だった。光が微粒子の群れなら、重力は石を引くのと同じようにそれを引くはずである。とすれば、星が十分に小さく詰まっていれば、放たれた光は上に投げた石のように落ちてくるだろう。

脱出速度

質量 $M$、半径 $R$ の天体の表面から速さ $v$ で上に投げた石が永久に逃げ切るのは、運動のエネルギーが重力のエネルギーに勝つときに限る。

$$\frac{1}{2}mv^2 \ge \frac{GMm}{R} \quad\Longleftrightarrow\quad v \ge v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.$$

石の質量は消える。脱出速度 $v_e$ は天体だけで決まるのである。地球では約 11.2 km/s、太陽では 618 km/s である。

密度と大きさ

密度 $\rho$ の天体の質量は $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ だから、代入すると

$$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\rho} = R\,\sqrt{\frac{8\pi G\rho}{3}}$$

となる。密度を固定すれば、脱出速度は半径に比例して大きくなる。これがまさにラプラスの推論だった。彼は $v_e = 618$ km/s、平均密度 1.41 g/cm³ の太陽から出発し、太陽の 250 倍の大きさで地球の密度 5.51 g/cm³ をもつ天体を考えた。

$$v_e \approx 618 \times 250 \times \sqrt{\frac{5.51}{1.41}} \approx 618 \times 250 \times 1.98 \approx 305\,000 \text{ km/s}.$$

光の速さ $c \approx 300\,000$ km/s を少し超える。このような天体の光は逃げ出せない。

臨界半径

質量を固定して、天体がどこまで縮めばよいかを問うこともできる。光が閉じこめられるのは $v_e = c$ のときである。

$$\sqrt{\frac{2GM}{R}} = c \quad\Longleftrightarrow\quad R = \frac{2GM}{c^2}.$$

太陽では $G = 6.67 \times 10^{-11}$、$M = 1.99 \times 10^{30}$ kg、$c = 3.0 \times 10^8$ m/s として

$$R = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30}}{(3.0 \times 10^8)^2} \approx 2\,950 \text{ m}.$$

太陽全体を半径 3 km の球に押しこめることになる。

練習：ブラックホールになった地球

地球の質量は $5.97 \times 10^{24}$ kg である。その臨界半径 $R = \frac{2GM}{c^2}$ はいくらか。

$R = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{9.0 \times 10^{16}} \approx 8.8 \times 10^{-3}$ m。地球全体が半径 9 ミリ、ビー玉ほどの球に収まってしまう。

練習：比例

式 $v_e = R\sqrt{\frac{8\pi G\rho}{3}}$ を使って答えよ。太陽と同じ密度の天体が光を閉じこめるには、半径が太陽の何倍必要か。

密度が同じなら $v_e$ は $R$ に比例する。618 km/s を 300 000 km/s まで大きくすればよいから、$\frac{300\,000}{618} \approx 485$。太陽の密度で半径が太陽の約 485 倍の天体は暗い。ラプラスが 250 を得たのは、約四倍大きい地球の密度を使ったからで、$\frac{485}{\sqrt{3.9}} \approx 246$ となる。

出典： Pierre-Simon Laplace、Exposition du système du monde（1796）、第 V 巻第 VI 章 · Pierre-Simon Laplace、「Beweis des Satzes, dass die anziehende Kraft bey einem Weltkörper so groß seyn könne, dass das Licht davon nicht ausströmen kann」、Allgemeine geographische Ephemeriden 4（1799） · John Michell、「On the Means of Discovering the Distance, Magnitude, &c. of the Fixed Stars」、Philosophical Transactions 74（1784） · Kip Thorne、Black Holes and Time Warps（1994）。

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