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第 IX 章の演習 — 直角三角形

常に図を描きます。直角、データ、未知の部分に印を付けます。次に、未知とデータが一緒に表示される直角三角形を選択します。 メトリックの関係 321 図に示す要素$a$、$h$、$m$、$n$（カテゴリ$b = 4$、$c = 3$）を計算します。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 解像度を参照してください$c = 3$ と $b = 4$ である場合: $$a^2 = b^2 + c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow a = 5$$$$h = \frac{bc}{a} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}$$$$m = \frac{c^2}{a} = \frac{9}{5}$$$$n = \frac{b^2}{a} = \frac{16}{5}.$$

October 24, 2026 読んだ
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メトリクス要素と関係

三角形は内角の一つが直角であれば長方形であることが分かります。この章では、最小限のデータに基づいて直角三角形の線分と角度の測定値を計算できる幾何学的三角理論を開発します。 歴史 直角三角形の計量関係は、数学において最も古いものの 1 つです。有名なプリンプトン 322 など、紀元前 1800 頃のバビロニアの石板には、$a^2 = b^2 + c^2$ を満たす数字のスーツがリストされており、YBC 7289 の石板は、正方形の辺の対角線 1 である $\sqrt{2}$ の優れた近似値を示しています。しかし、 この定理の最初に知られている証明はギリシャ語です。それはユークリッドの原論第1巻の命題47として現れており（紀元前300頃）、 伝統はそれをピタゴラスの学派のものとしています。 ピタゴラスとは誰だったのか ピタゴラス (紀元前 570 ～ 495 頃) はサモス島で生まれ、その伝統がエジプトとバビロンにつながる旅を経て、イタリア南部のクロトーナに、学校であり、宗派であり、政党でもあった共同体を設立しました。ピタゴラス派は魂の輪廻を信じ、菜食主義者で、そら豆を食べることを避け、発見を秘密にしていました。そのため、師が何をしたのか、弟子が何をしたのかを知ることは不可能です。この学校のモットーは「すべては数字である」でした。彼らは、心地よい音符が弦の長さの単純な比率 $2:1$、$3:2$、および $4:3$ に対応していることを発見しました。伝説によると、ピタゴラスはこの定理を実証する際、100頭の牛を神に犠牲として捧げたそうですが、これは菜食主義とは相容れません。皮肉なことに、この定理自体が正方形の対角線が整数の比ではないという発見につながり、「すべては数値である」という考えが台無しになりました。 サモス島のピタゴラス (紀元前 570 ～ 495 頃)、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 原論の命題I.47の図。 $A$ から斜辺に垂直に降りる破線は、赤い正方形を 2 つの長方形に分割します。ユークリッドは、それぞれが小さい正方形の 1 つの面積を持つことを証明し、したがって $a^2 = b^2 + c^2$ になります。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

October 24, 2026 読んだ
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章の演習 14 — 直角三角形

メトリックの関係 506 以下の場合の$x$の値を求めます。 解答を見るa) 5 ・ b) 12 ・ c) $\sqrt{7}$ ・ d) $3\sqrt{3}$ 507 次の場合、$x$ を $a$ の関数として決定します。 解答を見るa) $a\sqrt{3}$ b) $\dfrac{a}{2}$ 508 次の場合に $x$ を決定します。 解答を見るa) 12 ・ b) 24 ・ c) 20 ・ d) 8 509 次の場合に $x$ を決定します。 解答を見るa) $2\sqrt{29}$ b) 9 510 図に示されている要素との 10 メトリック関係を記述します。 解答を見る特に: $b^2 + a^2 = n^2$、$c^2 + a^2 = m^2$、$\dfrac{1}{m^2} + \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{a^2}$。

October 9, 2026 読んだ
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ピタゴラスの定理の応用

正方形の対角線、正三角形 の高さ、および 30°、45°、60° の三角比はすべて同じ定理から得られます。 発見者 正方形の対角線はすでに次のように計算されています。 バビロニア人: タブレット YBC 7289 (紀元前 1800 ～ 1600 年頃) $\sqrt{2}$ 小数点以下 6 桁が正しい。直角三角形の辺間の比率は、天文学的な表として始まりました。 ニカイアのヒッパルコス (紀元前 2 世紀) 文字列テーブルをセットアップした、インディアン アリヤバータ (499) ハーフロープを使い始めた — 私たちの 正弦 —そしてイスラムの天文学者は次のように述べています アブ・アル・ワファ (10 世紀) 組織化されたシャドウ テーブル、私たちの 接線。辺のあるすべてのピタゴラス三角形を生成する公式 $x^2 - y^2$, $2xy$ そして $x^2 + y^2$、本の標語に登場します 要素 の ユークリッド. ニカイアのヒッパルコス、後の芸術的表現。ウィリアム・ヘンリー・スミス · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン アリヤバータ、後の芸術表現。Cpjha13 · ウィキメディア コモンズ · CC BY-SA 4.0 アブ・アル・ワファ、後の芸術表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 エジプト人はすでに三角比を使用してピラミッドを建設しました。リンドのパピルス (紀元前 1650 年頃) は、高さ 1 キュビトごとに顔が水平方向に何手のひら分進むかというセク、つまり顔の傾き、コタンジェントを計算しています。

October 9, 2026 読んだ
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メトリックの関係

斜辺の二乗は脚の二乗の和です。しかし、これは直角三角形の中で高さによって明らかになるいくつかの関係のうちの 1 つにすぎません。 発見者 直角三角形の辺間の関係は、直角三角形よりもはるかに古いものです。 サモス島のピタゴラス （紀元前6世紀）。取締役会 バビロン 紀元前 1800 年頃からは、3、4、5 などの用語を使用し、正方形の対角線を計算します。あなた スルバ・スートラ からの インド （紀元前 800 ～ 500 年頃）祭壇を築くための規則が述べられています。そして中国語のテキスト 周美蘇京 視覚的な証拠を提供します。ギリシャの伝統ではこの定理はピタゴラスと関連付けられていましたが、ピタゴラスがそれを実証したという文書による証拠はありません。私たちに伝わる最も古いデモは、 要素 の ユークリッド (紀元前 300 年頃): 命題 I.47 定理を面積によって証明し、 I.48 を証明する 相互。ピッチとの関係 — 各脚とピッチとして 比例平均 — 提案の中にあります VI.8 そしてその結果。 サモス島のピタゴラス、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン ユークリッド、ルネサンスの表現は伝統的にユークリッドまたはアルキメデスと関連付けられていました。ラファエル・サンツィオ · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 歴史 この章の証明は、第 VI 巻のユークリッドの証明です。高さは三角形を元の三角形と同様の 2 つの三角形に分割し、比率は計量関係を示します。それらを 2 つ足すとピタゴラスの定理が得られます。数学における記述は、これほど多くの方法で証明されているものはほとんどありません。アメリカの教授エリシャ ルーミスは、1940 版の本のピタゴラス命題の中で、370 のさまざまな実証をまとめました。その中には、将来のアメリカ合衆国大統領ジェームズ ガーフィールドによるものもあります。 1876、空中ブランコで作りました。

October 9, 2026 読んだ