Euler's Eyes
2026-10-24
メトリクス要素と関係
三角形は内角の一つが直角であれば長方形であることが分かります。この章では、最小限のデータに基づいて直角三角形の線分と角度の測定値を計算できる幾何学的三角理論を開発します。
歴史
直角三角形の計量関係は、数学において最も古いものの 1 つです。有名なプリンプトン 322 など、紀元前 1800 頃のバビロニアの石板には、$a^2 = b^2 + c^2$ を満たす数字のスーツがリストされており、YBC 7289 の石板は、正方形の辺の対角線 1 である $\sqrt{2}$ の優れた近似値を示しています。しかし、 この定理の最初に知られている証明はギリシャ語です。それはユークリッドの原論第1巻の命題47として現れており（紀元前300頃）、 伝統はそれをピタゴラスの学派のものとしています。
出典: バビロニア数学のピタゴラスの定理 (MacTutor) · ピタゴラス (MacTutor) · ユークリッド、原論、ブック I、命題 47。
日常生活での応用
- 煉瓦職人の正方形。 2 つの壁が直角を形成しているかどうかを確認するには、一方の壁に 3 m の印を付け、もう一方に 4 m の印を付け、対角線を測定します。5 m を与える必要があります。
- ショートカット。 30 m × 40 m の土地を斜めに横切ると、辺に沿って 70 m ではなく 50 m が走ります。
- アンテナは残ります。 高さ $h$ の塔を、基礎から $d$ の距離にある地面上の点に接続するケーブルの寸法は $\sqrt{h^2 + d^2}$ です。
理論
主な要素
三角形 $ABC$ の要素には、通常の表記法を使用します。
| 要素 | 表記法 |
|---|---|
| 側面 | $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ |
| 内角 | $B\hat{A}C$, $A\hat{B}C$, $A\hat{C}B$ |
| 側面寸法 | $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$ |
| 角度測定 | $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$ |
各辺には、反対側の頂点の (小文字の) 名前が付いています。直角三角形 $ABC$ を扱うときは常に、角度 $\hat{A}$ が $90^\circ$ を測定すると考えることになります。直角の反対側の辺$\overline{BC}$ が斜辺です。直角に隣接する辺$\overline{AB}$と$\overline{AC}$ が脚です。言葉を簡単にするために、三角形には斜辺 $a$ と脚 $b$ と $c$ があり、辺とその寸法を混同しているとします。
幾何学的特性
$A$で直角三角形$ABC$をとり、$D$が$\overline{BC}$で$\overline{BC}$に垂直に$\overline{AD}$を実行します。得られるものは次のとおりです。
- $\overline{AD}$、 斜辺に対する高さ (測定値$h$)。
- $\overline{BD}$、脚$\overline{AB}$ の斜辺への投影（測定値$m$）。
- $\overline{CD}$、脚$\overline{AC}$ の斜辺への投影です（測定値$n$）。
角度 $\hat{B}$ と $D\hat{A}C$ は一致し (両方とも $\hat{C}$ の補数です)、同様に $\hat{C} \equiv B\hat{A}D$ です。したがって、3 つの三角形 $ABC$、$DBA$、$DAC$ は 2 つの合同な角を持っているため相似です。この類似性から、計量関係が生まれます。
定理直角三角形の計量関係
- $c^2 = a \cdot m$ および $b^2 = a \cdot n$: 各辺は、斜辺とその斜辺への投影の間の幾何平均です。
- $b \cdot c = a \cdot h$: 脚の積は斜辺とそれに対する高さの積に等しい。
- $h^2 = m \cdot n$: 斜辺に対する高さは、斜辺で決定されるセグメント間の幾何平均です。
- ピタゴラスの定理: $a^2 = b^2 + c^2$。
デモを見る
1) $\triangle ABC \sim \triangle DBA$ は $\dfrac{a}{c} = \dfrac{c}{m}$、つまり $c^2 = am$ を与えます。そして、$\triangle ABC \sim \triangle DAC$ は $\dfrac{a}{b} = \dfrac{b}{n}$、つまり $b^2 = an$ を与えます。
2) $\triangle ABC \sim \triangle DBA$ は $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{h}$、つまり $bc = ah$ も与えます。
3) $\triangle DBA \sim \triangle DAC$ は $\dfrac{h}{n} = \dfrac{m}{h}$、つまり $h^2 = mn$ を与えます。
4) (1) の 2 つのリレーションをメンバーに追加します。
$$b^2 + c^2 = an + am = a(n + m) = a \cdot a = a^2.$$斜辺に対する中央値
定理斜辺に対する中央値
すべての直角三角形において、斜辺に対する中央値は斜辺の半分を測定します。したがって、 すべての直角三角形は直径が斜辺である円に内接することができます。
デモを見る
$M$、$N$、$O$ を $\overline{AB}$、$\overline{AC}$、$\overline{BC}$ の中点とします。平均基本定理により、$\overline{OM} \parallel \overline{AC}$ と $\overline{ON} \parallel \overline{AB}$。 $\hat{A}$が直線であるため、四角形$AMON$ は長方形となります。長方形の対角線は等しいので、
$$OA = MN = \frac{BC}{2}.$$次に$OA = OB = OC = \frac{a}{2}$、中心$O$、半径$\frac{a}{2}$の円が3つの頂点を通過します。
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