光線系と円錐屈折
十九世紀のはじめ、光学は個別の事例の寄せ集めだった。平面鏡、曲面鏡、レンズ、プリズム、それぞれに公式がある。まだ学生だったハミルトンは、それらすべての背後にただ一つの考えがあるのではないかと考えた。その結果が『光線系の理論』である。1827 年に王立アイルランド・アカデミーで読まれ、その後の数年で拡張された。
すべての光線を支配する一つの関数 出発点はフェルマーの原理である。光はある点から別の点へ、かかる時間が最小になる道筋、より正確には時間が停留値をとる道筋を通る。ハミルトンはこの時間を端点の関数と考えた。二点 $A$ と $B$ について、$V(A, B)$ を両者のあいだの光の道筋の「光路長」、つまり各媒質を進む距離にその媒質の屈折率を掛けたものとする。彼は $V$ を特性関数と呼んだ。
驚くべきことに、このただ一つの関数がすべてを含んでいる。$V$ を $B$ の座標で微分すると、$B$ に届く光線の方向が得られ、$A$ の座標で微分すると、$A$ を出る光線の方向が得られる。$V$ を知ることは、系全体を知ることなのだ。
たとえば屈折率 $n$ の一様な媒質では、光はまっすぐ進み、
$$V(A, B) = n\,\lvert AB \rvert = n\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$となる。$x_B$ と $y_B$ で微分すると、
$$\frac{\partial V}{\partial x_B} = n\,\frac{x_B - x_A}{\lvert AB \rvert}, \qquad \frac{\partial V}{\partial y_B} = n\,\frac{y_B - y_A}{\lvert AB \rvert}$$であり、これは光線の方向の単位ベクトルに $n$ を掛けたものである。特性関数の勾配は光の方向を指す。
時間からスネルの法則へ 光線が空気中の $A$ を出て、水中の $B$ に届き、距離 $x$ の点で水面を横切るとする。かかる時間は
$$V(x) = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2\sqrt{b^2 + (d - x)^2}$$に比例する。ここで $a$ と $b$ は $A$ と $B$ の水面からの距離、$d$ は両者の水平距離である。実際の道筋は $V'(x) = 0$ となるものだ。
