サイクロイド：歯痛の曲線
自転車のタイヤに点を一つ描き、まっすぐに押して進んでみましょう。点は上がっていき、アーチを描いて、また下りてきて地面に触れます。車輪が一回転するごとにこれをくり返します。この点が描く曲線をサイクロイドといいます。
17 世紀には、これが流行の曲線でした。フランス人は ルレット と呼びました。あまりに多くの数学者がこの曲線についての発見をめぐって争ったので、あだ名までつきました。トロイア戦争を引き起こしたヘレネーにちなんで、幾何学者たちのヘレネーです。
車輪の方程式 半径 $r$ の車輪が直線の上をすべらずに転がるとします。車輪が角 $t$（ラジアンで測る）だけ回ると、中心は距離 $rt$ だけ進みます。これは地面に触れた縁の長さです。いちばん下から出発した点は、そのとき
$$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$の位置にあります。$t=0$ から $t=2\pi$ までで、車輪はちょうど一回転します。アーチの幅は車輪の周の長さに等しい $2\pi r$、いちばん高いところは直径の $2r$ です。
半径 1 の車輪が描くサイクロイドの一つのアーチ。アーチの下の面積は 3π で、車輪の面積の三倍です。ブログのオリジナル図版。 ガリレオ、曲線の重さを量る 1599 年ごろ、ガリレオはこの曲線に名前をつけ、一つのアーチの下の面積を知りたいと考えました。計算できなかったので、同じ材料の板からサイクロイドと、それを生み出す円とを切り抜いて、重さを量りました。サイクロイドは円のほぼ三倍の重さでした。ガリレオは、比はちょうど 3 ではないのではないかと疑い、そこでやめてしまいました。
比はちょうど 3 でした。ジル・ド・ロベルヴァルが 1634 年にそれを証明し、今ではその計算は数行で済みます。
微積分で面積を求める 曲線の下の面積は、高さ $y$、幅 $dx$ の細い帯の和です。$dx=r(1-\cos t)\,dt$ なので、
$$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$二乗を展開すると、三つの部分が残ります。
$$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$最後のものは $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$ から出てきます。合計すると
$$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$サイクロイドの一つのアーチの下の面積は、それを描いた車輪の面積の三倍です。ガリレオの切り抜きは正しかったのです。
1658 年の夜 1658 年には、パスカルが数学から離れて四年がたっていました。姉ジルベルトによると、ある夜、彼はひどい歯痛で眠れませんでした。痛みを忘れようとして、サイクロイドについて考え始めると、痛みが消えました。パスカルはそれを研究を続けてよいという許しと受けとり、八日のうちに、誰も解いたことのない問題を解きました。曲線の各部分の面積、その重心、そして曲線を軸のまわりに回転させてできる立体の体積です。
それから彼は、アモス・デトンヴィルという偽名で、ヨーロッパ中に公開の挑戦状を出しました。一位には金貨 40 ピストル、二位には 20 ピストルを出すとし、締め切りは 1658 年 10 月 1 日でした。
