十八世紀、微積分は強力で、少し謎めいた機械だった。オイラーは発散級数を足し合わせて、そこから正しい結果を引き出した。ラグランジュはすべてをべき級数の上に築こうとした。本は「無限に小さい」量について語り、それは都合のよいときにはゼロで、都合の悪いときにはゼロではなかった。うまくいってはいたが、なぜうまくいくのかを正確に説明できる者はいなかった。 『解析教程』 1821 年、コーシーは『王立エコール・ポリテクニーク解析教程』を出版した。将来の技師たちに彼が行っていた講義である。序文で彼は、解析学に「幾何学で求められる厳密さのすべて」を与えるつもりだと宣言した。すべてはひとつの定義から始まる。 同じ変数につぎつぎと与えられる値が、ある定まった値に限りなく近づき、ついにはそれとの差を望むだけ小さくできるとき、この最後の値を他のすべての値の極限という。 — オーギュスタン＝ルイ・コーシー『解析教程』（1821） 1821 年の『解析教程』の扉。第一部、代数解析。コーシーは土木技師、エコール・ポリテクニーク教授、科学アカデミー会員として署名している。Augustin-Louis Cauchy · ウィキメディア・コモンズ · CC0 ここから、無限小はもはや謎めいた量ではなくなる。極限がゼロである変数にすぎない。たとえば、$n$ が大きくなるとき $\frac{1}{n}$ は無限小である。どんな小さな数を与えても、$\frac{1}{n}$ はいずれそれより小さくなり、二度と戻ってこないからだ。 連続関数 二つめの定義は連続性である。オイラーにとって、連続関数とはただひとつの式で与えられる関数のことだった。コーシーはこれを、関数のふるまいに目を向ける別の考えに置きかえた。 与えられた二つの限界のあいだにある x の各値に対して、差 f(x + α) − f(x) の数値が α の数値とともに限りなく減少するならば、関数 f(x) はその限界のあいだで連続である。 — オーギュスタン＝ルイ・コーシー『解析教程』（1821） 今日の言葉でいえば、変数の小さな増加は関数の小さな変化しか生まない。四十年後、ワイエルシュトラスはこれをすべての学生が知っている文字で書いた。任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\delta > 0$ が存在し、$|\alpha| < \delta$ ならつねに $|f(x+\alpha) - f(x)| < \varepsilon$ となる。この文字そのものは、すでにコーシーの 1823 年の証明に現れている。 中間値の定理 この定義を手にして、コーシーは誰もが明らかだと思っていた事実を証明した。$f$ が $[a, b]$ で連続で、$f(a)$ と $f(b)$ が異なる符号をもつなら、$a$ と $b$ のあいだに $f$ がゼロになる点がある。チェコのベルナルト・ボルツァーノは 1817 年に証明を発表していたが、ほとんど誰にも読まれなかった。
このサイトの以前の記事は、この話題を一つの冗談から始めていました。二つの等しい数 $a=b$ をとり、害のなさそうな計算をしてみます。 $$\begin{aligned} a&=b\\ a^2&=ab\\ a^2-b^2&=ab-b^2\\ (a+b)(a-b)&=b(a-b)\\ a+b&=b\\ 2b&=b\\ 2&=1. \end{aligned}$$まちがいはどこでしょうか。四行目から五行目に移るとき、両辺を $a-b$ でわりました。でも $a=b$ なので $a-b=0$ で、ゼロでわってしまったのです。書き方が罪を隠しています。$a-b$ はふつうの数のように見え、最初の行を覚えている人だけが、それがゼロだと気づくのです。変装したゼロでのわり算は、数学者が不定形と呼ぶもの、有名な $\frac00$ のいちばん簡単な形です。 微積分が残した問題 ニュートンとライプニッツの微積分は、ゼロであると同時にゼロでない量に支えられていました。$x^2$ を微分するのに、ライプニッツは $\frac{(x+dx)^2-x^2}{dx}=2x+dx$ を計算し、それから $dx$ をゼロであるかのように「無視」しました。けれども $dx$ がゼロなら、二行前でそれでわることはできなかったはずです。うまくいくのに、なぜなのかだれにも説明できませんでした。 1734 年、アイルランドの主教ジョージ・バークリーは『解析家』という激しい攻撃文を出版しました。宗教的な信仰をあざ笑いながら、それよりはるかに奇妙なものを信じている「不信心な数学者たち」に向けたものです。 では、この流率とは何か。消えゆく増分の速さである。では、その消えゆく増分とは何か。それは有限の量でも、無限に小さい量でも、無でもない。それを死んだ量の亡霊と呼んではいけないだろうか。 — ジョージ・バークリー『解析家』（1734） バークリーは論理については正しく、微積分についてはまちがっていました。計算はうまくいっていました。欠けていたのは、それが何をしているのかを言う言語だったのです。 コーシー：到達せずに近づく その言語はフランスからやってきました。1821 年、オーギュスタン＝ルイ・コーシーはエコール・ポリテクニークの『解析教程』を出版し、中心となる考えを言葉で定義しました。 同じ変数に次々と与えられる値が、ある固定された値に限りなく近づき、ついにはそれとの差を望むだけ小さくできるとき、その固定された値を、ほかのすべての値の極限と呼ぶ。 — オーギュスタン＝ルイ・コーシー『解析教程』（1821） 秘密は「望むだけ小さく」にあります。$dx$ は決してゼロにはならず、いくらでも近くにとどまるのです。数十年後、ドイツのカール・ヴァイエルシュトラスはこの文を文字に置きかえました。どんなに小さくても、あらゆる誤差の幅 $\varepsilon>0$ に対して、近さを保証する距離 $\delta>0$ が存在する。これが有名な「イプシロン・デルタ」の定義で、今でも大学一年生を恐れさせています。 $$\begin{aligned}\lim_{x\to a}f(x)=L\iff{}&\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\\ &0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon.\end{aligned}$$記号 $\forall$（すべての）と $\exists$（存在する）に注目してください。論理学の記事でくわしく見ることになりますが、推論の書き方が微積分のために使われているのです。無限に小さいものは、ものであることをやめ、約束になりました。どんな $\varepsilon$ でもいい、言ってくれれば $\delta$ を見つけてみせる、という約束です。 lim、矢印、そしてそれらが隠すもの 記法にも時間がかかりました。1786 年、スイスのシモン・リュイリエが「極限」の略記としてピリオドつきの lim. を書きました。lim の下の小さな矢印 $x\to a$ が広まったのは 20 世紀のはじめで、おもにイギリスの G・H・ハーディの本『純粋数学教程』（1908）のおかげでした。最終的な書き方は、簡潔で生きています。