126 $\operatorname{sen} 15^\circ$、$\cos 15^\circ$、$\operatorname{tg} 15^\circ$を計算します。 解像度を参照してください$\operatorname{sen} 15^\circ = \operatorname{sen}\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\ell_{12}}{2}$。 $\ell_{12}$ を計算してみます。内接正六角形の頂点を $Q$、六角形の片側の円弧の中点を $P$ とすると、$PQ = \ell_{12}$ となります。半径 $OP$ は、六角形の辺を中点 $R$ で垂直に切ります。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。 三角形 $PQR$ の場合、長方形 $R$ の場合: $$PQ = \ell_{12} \qquad QR = \frac{\ell_6}{2} = \frac{1}{2} \qquad RP = OP - OR = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$($OR$ は 1 の隣の 正三角形 の高さであるため)。それから $$\ell_{12}^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + 1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4} = 2 - \sqrt{3}$$$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{12} = \frac{\ell_{12}}{2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{1 - \frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}.$$注: 第 VI 章では、これらの値が $\operatorname{sen} 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$、$\cos 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$、$\operatorname{tg} 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$ とも表記されることがわかります。
$n \in \mathbb{N}$と$n \ge 3$を持つ実数$x = \dfrac{\pi}{n}$の円関数が、$n$ の辺が周期に内接する正多角形の辺である$\ell_n$ から計算できることを検証します。 歴史 アルマゲストの本 I で、プトレマイオスは、まさに次のようにコード表を作成しました。彼は内接正多角形 (三角形、正方形、五角形、六角形、十角形) の辺から開始し、ユークリッド幾何学が計算方法を知っていて、円弧の和、差、半分の公式を通じて他の円弧を取得しました。これについては後で説明します。第Ⅵ章で。半径 $R$ の円の円弧 $2\alpha$ の弦は $2R\operatorname{sen}\alpha$ です。この章の定理はこの考え方の現代語訳です。 プトレマイオスとは誰だったのか クラウディウス プトレマイオス (100 ～ 170 頃) については、作品以外にはほとんど何も知られていません。彼はローマ時代のエジプトのアレクサンドリアに住んでおり、彼が記録した観察は 127 から 141 に及びます。天文学に関する彼の偉大な論文は数学的構成と呼ばれていました。彼を賞賛したアラブの天文学者たちは彼を「最も偉大な」アルマジスティと呼び、 そこからアルマゲストが生まれました。その中でプトレマイオスは、中心に地球があり、惑星が円を重ねる宇宙を説明しています。このモデルには欠陥がありましたが、空の位置を予測するのに非常に正確だったので、コペルニクスとケプラーが登場するまでほぼ 1400 年間使用されました。プトレマイオスはまた、 数千の場所の座標を記した地理と、 光の屈折を研究した光学を書きました。 クラウディウス プトレマイオス (c. 100 – 170)、後の芸術的表現、天球儀を持つ。Justus van Gent または Pedro Berruguete · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン 円弧 $2\alpha$ の弦 $AB$ は半径 $OM$ で二等分されます。各半分の寸法は $R\operatorname{sen}\alpha$、次に $\text{crd}\,2\alpha = 2R\operatorname{sen}\alpha$ です。プトレマイオスのボードはロープを提供しました。インディアン、半分ロープ。 このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。