Euler's Eyes
2026-10-23
π/n の正弦と注目すべき円弧
$n \in \mathbb{N}$と$n \ge 3$を持つ実数$x = \dfrac{\pi}{n}$の円関数が、$n$ の辺が周期に内接する正多角形の辺である$\ell_n$ から計算できることを検証します。
歴史
アルマゲストの本 I で、プトレマイオスは、まさに次のようにコード表を作成しました。彼は内接正多角形 (三角形、正方形、五角形、六角形、十角形) の辺から開始し、ユークリッド幾何学が計算方法を知っていて、円弧の和、差、半分の公式を通じて他の円弧を取得しました。これについては後で説明します。第Ⅵ章で。半径 $R$ の円の円弧 $2\alpha$ の弦は $2R\operatorname{sen}\alpha$ です。この章の定理はこの考え方の現代語訳です。
出典: プトレマイオス (MacTutor) · ユークリッド、原論、第 4 巻。
日常生活での応用
- 正方形。 スクール キット内の 2 つの正方形は、この章の三角形です。1 つは $45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$ で、もう 1 つは $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ です。
- ナットとボルト。 六角頭は正六角形です。レンチのサイズを定義する 2 つの平行な面の間の距離は $\ell\sqrt{3}$ から 1 辺 $\ell$ です。
- 屋根 $30^\circ$と$45^\circ$の勾配が共通です。 4 m の $30^\circ$ 半幅の屋根では、棟はサポートの上に $4\operatorname{tg} 30^\circ \approx 2{,}31$ m あります。
理論
定理
定理π/n の正弦
$n \ge 3$ を含むすべての $n \in \mathbb{N}$ について、
$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{n} = \frac{\ell_n}{2}.$$デモを見る
$P$ と $P'$ を、$A\hat OP = A\hat OP' = \dfrac{\pi}{n}$ を含むサイクルのポイントとし、コサイン軸の両側に 1 つずつ配置します。 $P'\hat OP = \dfrac{2\pi}{n}$ と同様に、弦 $\overline{P'P}$ は $n$ に内接する正多角形の 1 辺です: $P'P = \ell_n$。
二等辺三角形 $P'OP$ ($OP = OP' = 1$) では、余弦軸は $O$ での角度の角の二等分線 なので高さ と中央値も同様です。$\overline{P'P} \perp u$ と $P_2$ は中点です。 $\overline{P'P}$。それから
$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{n} = \overline{P_2P} = \frac{\ell_n}{2}.$$アプリケーション: n = 3、4、および 6
最も一般的なケースは、$n = 3$、$4$、$6$ の場合です。サイクルでは、$R = 1$。
性質π/3の値
ピタゴラスの定理を、正三角形 の辺 $\ell_3$、六角形の辺 $\ell_6$、および直径で形成される強調表示された三角形に適用します (三角形は半円に内接するため長方形です)。
$$\ell_3^2 + \ell_6^2 = (2R)^2 \;\Longrightarrow\; \ell_3^2 + R^2 = 4R^2 \;\Longrightarrow\; \ell_3^2 = 3R^2 \;\Longrightarrow\; \boxed{\ell_3 = R\sqrt{3}}$$したがって、$R = 1$ の場合:
$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{3} = \frac{\ell_3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{3} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}.$$性質π/4の値
内接正方形では、連続する 2 つの辺と直径によって直角二等辺三角形が形成されます。
$$\ell_4^2 + \ell_4^2 = (2R)^2 \;\Longrightarrow\; 2\ell_4^2 = 4R^2 \;\Longrightarrow\; \ell_4^2 = 2R^2 \;\Longrightarrow\; \boxed{\ell_4 = R\sqrt{2}}$$それから
$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{4} = \frac{\ell_4}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{4} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1.$$性質π/6の値
内接正六角形の一辺を$PQ = \ell_6$とすると、三角形$OPQ$ は等辺（角度は$60^\circ$から）、その次が$\boxed{\ell_6 = R}$です。我々は持っています：
$$\operatorname{sen}\frac{\pi}{6} = \frac{\ell_6}{2} = \frac{1}{2} \qquad \cos\frac{\pi}{6} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$$注目すべきアーチの表
まとめ正確な値
| $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$ | $\frac{\pi}{4} = 45^\circ$ | $\frac{\pi}{3} = 60^\circ$ | |
|---|---|---|---|
| 正弦 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| 余弦 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| 正接 | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
覚え方: $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ の正弦は $\frac{\sqrt{1}}{2}$、$\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。コサインは逆の順序で同じです。
第 IV 章の縮小により、これら 3 つの値は、上記のサイクルでマークされたすべての円弧の値を与えます: たとえば、$\operatorname{sen}\frac{5\pi}{6} = \operatorname{sen}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ と $\cos\frac{5\pi}{4} = -\cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
この章の演習は 章リスト.