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空気の重さ：ピュイ・ド・ドームの実験

二千年ものあいだ、学者たちはアリストテレスの言葉をくり返してきました。自然は真空を嫌う。ストローで空気を吸うと液体が上がってくるのは、自然がそこを空っぽのままにしておかないからだ、というのです。これですべてが説明できるように思えました。 ところが、フィレンツェの井戸掘り職人たちは困っていました。どんなに頑張っても、吸い上げポンプでは水を約 10 メートルより高く上げられなかったのです。自然の真空嫌いが、なぜ 10 メートルで止まるのでしょうか。 トリチェリの管 1643 年、ガリレオの弟子だったイタリアのエヴァンジェリスタ・トリチェリは、一方の端を閉じた長さ 1 メートルのガラス管に水銀を満たしました。もう一方の端を指でふさぎ、管を逆さにして水銀を入れた盆に立て、指を離しました。水銀は下がって約 76 cm の高さで止まり、管の上部に何もない空間が残りました。 トリチェリの説明は大胆なものでした。水銀柱を支えているのは真空嫌いではなく、盆の表面を押している空気の重さだというのです。私たちは空気の海の底に住んでいる、と彼は書きました。水銀は水の約 13.6 倍の密度があり、$76\ \text{cm}\times13.6\approx10.3$ m です。フィレンツェのポンプの限界と同じ値です。 パスカル、実験を高いところへ パスカルは 1646 年にこの実験のことを聞き、ルーアンで水やワインを満たした巨大なガラス管を使って再現しました。しかし彼は決定的な検証をしたいと考えました。彼の推論はこうです。もし水銀を支えているのが空気の重さなら、上にある空気が少ない山の頂上では、水銀柱は低くなるはずだ。もし原因が真空嫌いなら、高さは何の違いももたらさないはずだ。 パスカルはパリに住んでいて、体も弱かったので、1647 年 11 月、クレルモンに住む義兄フロラン・ペリエに手紙を書きました。クレルモンは、高さ 1500 メートル近い死火山ピュイ・ド・ドームのふもとにある町です。 1648 年 9 月 19 日 ペリエは証人になってもらうために、クレルモンの神父や名士たちと一緒に山に登りました。管を二本と水銀を持っていきました。この実験には現代的な発想がありました。登る前に、町でいちばん低いところにあるミニム会修道院の庭で二本の管を組み立て、同じ高さになることを確かめたのです。一本はそこに残し、シャスタン神父という修道士に一日じゅう見張ってもらいました。もう一本を持って山に登りました。 ピュイ・ド・ドームの山頂にある 1648 年の実験の記念碑。パスカル生誕三百年の 1923 年に撮影。Agence Rol、1923 年 · フランス国立図書館 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 当時の単位での測定結果は次のとおりです。 場所 水銀の高さ クレルモンのミニム会修道院の庭 26 プース 3½ リーニュ ピュイ・ド・ドームの山頂（約 500 トワーズ上） 23 プース 2 リーニュ フランスの 1 プースは約 $27.07$ mm、1 リーニュは 1 プースの $\frac1{12}$ です。換算すると

October 8, 2026 読んだ
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ニュートンの遺産

ニュートンは史上最大の天才であり、もっとも幸運な人でもあった。宇宙は一つしかなく、それを発見できるのは一度きりなのだから。 — ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、同時代人の記録による 微積分戦争 ニュートンは 1665–1666 年に流率法を作りましたが、発表しませんでした。ライプニッツは 1675 年に独立に微積分にたどり着き、1684 年に発表しました。最初の数年間、争いはありませんでした。1676 年には二人はヘンリー・オルデンバーグを通じて友好的な手紙を交わし、ニュートンは自分の考えをアナグラムに隠しました。 1700 年ごろ、空気が変わりました。ニュートンの支持者たちが、ライプニッツはロンドンで見た手稿から考えを写したのだとほのめかし始めたのです。ライプニッツは王立協会に抗議し、公正な調査を求めました。王立協会は委員会を設置し、1712 年にニュートンに有利な報告書を発表しました。 当時ほとんど知られていなかったことがあります。王立協会の会長はニュートン本人で、報告書を書いたのも彼だったのです。その後、彼は報告書を称賛する書評を匿名で発表しました。 今日の歴史家は、二人がそれぞれ独立に微積分を発明したという点で一致しています。ニュートンが先に到達し、ライプニッツが先に発表し、勝ち残った記号を作りました。この争いの代償は大きなものでした。国の誇りのために、イギリスの数学者たちは 1 世紀以上ニュートンの点の記号にこだわり、その間に大陸はライプニッツの $dx$ を使って、ベルヌーイ家やオイラーの手で大きく前進しました。1812 年になってようやく、ケンブリッジの学生たちが解析協会を作り、ライプニッツの記号をイギリスに取り戻しました。 この物語のもう一方の側は、ライプニッツのシリーズで読むことができます。 ニュートン力学の限界 200 年以上、ニュートンの法則はどこでも成り立つように見えました。20 世紀のはじめ、二つの理論がその限界を明らかにしました。 相対性理論。 光の速さに近い速度では、ニュートンが考えたように時間と空間が絶対的なものではなくなります。相対性理論では、動いている時計で測った時間間隔 $t'$ は、静止している人にとってはより長い時間間隔に対応します。 $$t=\frac{t'}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.$$速度 $v$ が光速 $c$ に比べて小さいとき、根号はほぼ 1 になり、ニュートンの世界に戻ります：$\displaystyle\lim_{v\to0}t=t'$。$v\to c$ のときは、差はいくらでも大きくなります。 量子力学。 原子や粒子では、はっきりした軌道というものが意味をもたなくなります。 だからといって、日常生活でニュートンがまちがっているわけではありません。橋、自動車、飛行機、ロケットにとって、彼の力学は今でも使われるほど正確です。相対性理論はニュートンを消し去ったのではなく、ニュートンがどこまで通用するかを示したのです。 讃辞 「才知において人類を超えた人」 ケンブリッジのトリニティ・カレッジの礼拝堂には、プリズムを手にしたニュートンの大理石像があります。1755 年にルイ＝フランソワ・ルビリアックが制作したものです。台座にはローマの詩人ルクレティウスの言葉が刻まれています。Qui genus humanum ingenio superavit、「才知において人類を超えた人」。ここで学んだ詩人ワーズワースは、この像を「思想の見知らぬ海を、永遠にただ一人旅する精神の、大理石の標」と表現しました。 ニュートンはウェストミンスター寺院に、王や女王たちに囲まれて葬られました。墓碑には、プリズム、反射望遠鏡、鋳造したばかりの硬貨を手にした天使たちと、1680 年の彗星の軌道が描かれた天球儀が刻まれています。 まとめ ニュートンは当時のイギリスの暦では 1642 年、私たちの暦では 1643 年に生まれた。 22 歳のとき、ペストで隔離されていた間に、二項級数、流率法、色の理論を生み出した。 二項式 $(1+x)^\alpha$ は、$|x|<1$ ならどんな指数でも成り立つ。 流率 $\dot x$ は変化率を測り、面積はその逆の操作である。 ニュートン法は接線をたどって根に近づく：$x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$。 『プリンキピア』（1687）には三つの運動法則と万有引力の法則がある。 月の検証は、地球の重力が距離の 2 乗に反比例して弱まることを示した。 プリズムは白い光にもともとある色を分けるのであって、色を作るのではない。 ニュートンとライプニッツはそれぞれ独立に微積分を発明した。 資料： 手稿への案内、ニュートン・プロジェクト · MacTutor の伝記。

October 6, 2026 読んだ
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音の速さ

音は圧縮の波である。空気が押されて縮み、次の空気を押し、また膨らむ。この波の速さは空気の二つの性質で決まる。どれだけ圧縮されにくいかと、どれだけ重いかである。 ニュートンの式 1687 年の『プリンキピア』で、ニュートンははじめて音の速さを計算した。空気は圧縮されるときボイルの法則に従う、つまり圧力が密度に比例すると仮定して、彼は $$v = \sqrt{\frac{P}{\rho}}$$を得た。海面の高さ、20 °C では、圧力は $P = 101\,325$ Pa、空気の密度は $\rho = 1.204$ kg/m³ である。式からは $$v = \sqrt{\frac{101\,325}{1.204}} \approx 290 \text{ m/s}$$となる。ところが測定ではおよそ 340 m/s、15% ほど大きかった。ニュートンは空気の粒子の大きさや水蒸気といった無理のある仮説でこの差を説明しようとした。それから百年以上、この食い違いは説明されないままだった。 熱くなる空気 誤りを見つけたのはラプラスである。気体は圧縮されると熱くなる。手押しの空気入れで自転車のタイヤに空気を入れたことのある人なら知っているだろう。ボイルの法則が成り立つのは温度が一定のときである。しかし音波の圧縮はとても速いので、熱が逃げる暇がない。圧縮された空気はわずかに熱くなり、そのためニュートンが仮定したより強く押す。今日では、この圧縮は等温ではなく断熱だという。 数学的に言えば、流体中の波の速さは $v = \sqrt{\frac{dP}{d\rho}}$、すなわち密度が上がったとき圧力がどれだけ上がるかで決まる。等温圧縮では $P = k\rho$ で $$\frac{dP}{d\rho} = \frac{P}{\rho}.$$断熱圧縮では $P = k\rho^\gamma$ で、$\gamma$ は気体の定圧比熱と定積比熱の比である。このとき $$\frac{dP}{d\rho} = k\gamma\rho^{\gamma-1} = \gamma\,\frac{P}{\rho}.$$したがって、ラプラスが 1816 年に発表した正しい式は $$v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$$である。空気では $\gamma \approx 1.40$ だから、補正はニュートンの結果に $\sqrt{1.40} \approx 1.183$ を掛けることになる。 $$v \approx 290 \times 1.183 \approx 343 \text{ m/s}.$$まさに測定値である。ラプラスは議論を逆向きにも使った。$\gamma$ を直接精密に測れるようになる前に、測定された音速から $\gamma$ を見積もったのである。

October 30, 2026 読んだ
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パスカルの遺産

心には、理性の知らない理由がある。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』 パスカルが完成させた本はわずかです。数学について書いたもののほとんどは、一枚刷りや手紙の形で、あるいは死後に発表されました。それでも、これほど多くの場所に顔を出す著者はめったにいません。学校で習う三角形、天気予報、車のブレーキ、保険の計算、そしてプログラミング言語の名前にまで。 賭け 『パンセ』の中で最も有名な一節は、幾何学についてのものではありませんが、パスカルがフェルマーと生み出したばかりの数学を使っています。それがパスカルの賭けです。これは神の存在を証明しようとするものではありません。パスカルは、理性ではこの問いに決着がつかないと述べ、期待値のように得と損を見込みで重みづけて、どちらに賭けるほうが得かを問います。信仰の側の利得が無限大なら、正の確率でさえあれば十分です。この議論とその三つの形、ディドロとヴォルテールの反論はパスカルの賭けにまとめました。これは、不確かさのもとで選ぶための数学である意思決定理論の最初の文章とみなされています。 短くする時間がなかった 第 16 の『プロヴァンシアル』の終わりで、パスカルは読者にこう詫びています。「この手紙が長くなったのは、短くする時間がなかったからにほかなりません。」 この一文は、急いでよい文章を書かなければならない人たちに、今も引用されています。 フェルマーへの最後の手紙 1660 年、フェルマーは、トゥールーズとクレルモンのあいだの道のりを半分ずつ旅して会おうと提案しました。病気だったパスカルはそれを断り、その手紙には晩年の彼が数学をどう見ていたかが表れています。 率直に申しますと、幾何学は精神の最高の鍛錬だと思います。しかし同時に、それがあまりに役に立たないものだとも知っていますので、ただの幾何学者と腕のよい職人とのあいだに、ほとんど違いを認めません。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1660 年 8 月 10 日） 二人はついに会うことはありませんでした。 残されたもの 確率論。 1654 年の書簡はホイヘンスを刺激し、彼は 1657 年にこの分野で最初の本を出版しました。その後にヤコブ・ベルヌーイ、ド・モアブル、ラプラスが続きます。保険、宝くじ、統計学、データサイエンスは、あの手紙の子孫です。 組合せ論と帰納法。 『算術三角形論』は組合せを整理し、数学的帰納法をはじめてはっきりと述べました。 射影幾何学。 神秘の六角形は射影幾何学の基礎となる定理の一つとなり、19 世紀にポンスレやブリアンションによって再び取り上げられました。 微積分。 ライプニッツは、パスカルの四分円についての著作を読んでいるときに特性三角形の考えを得たと語っています。これは微積分への一歩でした。 物理学。 真空の実験とピュイ・ド・ドームの実験は真空嫌いの説に終止符を打ち、気圧計と高度計を生みました。パスカルの原理は、あらゆる油圧装置に使われています。 計算機。 パスカリーヌは、製造され販売された最初の計算機でした。 残った名前 1971 年、国際単位系の圧力の単位はパスカル（Pa）と名づけられました。天気予報で「1013 ヘクトパスカル」と言うとき、それは $101\,300$ Pa、つまりパスカルが義兄に測らせた海面の気圧のことです。 1970 年、スイスの計算機科学者ニクラウス・ヴィルトは、プログラミングをわかりやすく教えるための言語を作り、パスカリーヌの発明者をたたえて Pascal と名づけました。何世代もの学生がこの言語でプログラミングを学びました。 考える葦 このコースの冒頭の言葉には続きがあります。「彼をおしつぶすために、宇宙全体が武装する必要はない。一吹きの蒸気、一滴の水でも彼を殺すには十分である。だが、たとえ宇宙が彼をおしつぶしても、人間は彼を殺すものより尊い。人間は自分が死ぬことを知っているからである。」 これを書いたのは、18 歳のときから自分が長くは生きられないと知っていた人でした。 まとめ パスカルは 1623 年から 1662 年まで生きた。16 歳で六角形の定理を発表し、19 歳でパスカリーヌを作り始めた。 算術三角形では、各数はその上の二つの数の和で、$n$ 行目の和は $2^n$、そしてその数は組合せの数 $\binom nk$ である。 この三角形はパスカル以前にインド、ペルシア、中国、ヨーロッパで知られていた。彼はそれを深く研究した。 1654 年、パスカルはフェルマーとともに確率論と期待値の考えを生み出した。 サイクロイドの一つのアーチの下の面積は $3\pi r^2$ で、車輪の面積の三倍である。 静止した液体では、圧力の増加はすべての点に等しく伝わる。水圧機は力を何倍にもするが、仕事は増やさない。 ピュイ・ド・ドームの山頂では、水銀が 8.5 cm 下がった。空気には重さがある。 練習：5 レアルのくじが、25 分の 1 の確率で 100 レアルになります。期待値で考えると、買う価値はありますか？期待される利得は $100\cdot\frac{1}{25}=4$ レアルです。くじは 5 レアルなので、一枚あたりの期待値は $4-5=-1$ レアルです。平均すると、一枚ごとに 1 レアル損をします。

October 8, 2026 読んだ
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パスカルの画像クレジット

歴史的な画像 すべて Wikimedia Commons から取得しました。Commons が提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ブレーズ・パスカルの肖像、作者不詳、1690 年ごろ、ヴェルサイユ：出典ページ · パブリックドメイン。 楊輝の三角形、朱世傑の 1303 年の書物より：出典ページ · パブリックドメイン。 『算術三角形』（Triangulus arithmeticus）の最初のページ、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵本：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 パリ工芸博物館のパスカリーヌ、David Monniaux 撮影、2005 年：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 ピュイ・ド・ドームの実験の記念碑、Agence Rol、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 サン・テティエンヌ・デュ・モン教会の墓所の銘板、Agence Meurisse、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 『パンセ』の自筆原稿、フランス国立図書館の展覧会、ActuaLitté 撮影、2016 年：出典ページ · CC BY-SA 2.0。 『パンセ』の最初のページ、1670 年版の海賊版、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ブログの図版 表紙、鉢の噴水、繰り上がりの図、サイクロイドのアーチはオリジナルの図版です。三角形、賭け金の分配、水圧機の操作パネルは、このコースのために作ったものです。これらは学習のための補助で、写本の複製でも、パスカリーヌの内部機構の再現でもありません。 記録 ファイル data/pascal_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後に載せています。 パスカルの全トピック · ← パスカルの遺産

October 8, 2026 読んだ
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部族の約束：アインシュタイン、ブルバキ、通の読み手

ある記法は、すべての数学者に同じように属しているわけではない。分野ごとに、ときには学派ごとに近道があり、外から来た人はそこでつまずく。これは欠陥ではない。生きた言語ならどれでもそうであるように、なまりや専門用語に分かれていくのである。だが、それは読み手や学ぶ人に影響を与える。 アインシュタインは和の記号を消す 1916 年、一般相対性理論を発表した論文で、アルベルト・アインシュタインは次のような式を何百も書かなければならなかった。 $$\sum_{\mu=1}^{4} a_\mu b^\mu = a_1 b^1 + a_2 b^2 + a_3 b^3 + a_4 b^4.$$彼は、自分の式では、添字が下と上に一度ずつ、二度くり返されるとかならず和が現れることに気づいた。そこで読み手と取り決めをした。添字が二度現れたら和をとることにし、$\Sigma$ は書かなくてよい、と。上の式は $a_\mu b^\mu$ とだけ書かれる。 1921 年、ウィーンで講演するアルベルト・アインシュタイン。フェルディナント・シュムッツァー画。Ferdinand Schmutzer · ウィキメディア・コモンズ · パブリックドメイン アインシュタインは友人に冗談を言ったと伝えられている。「数学で大発見をした。二度現れる添字について和をとるときは、いつも和の記号を省くことにしたのだ。」冗談には真剣な中身がある。アインシュタインの規約は、いまでは相対性理論と微分幾何学の共通語である。物理学者は $R_{\mu\nu} g^{\mu\nu}$ を読むとき、そこに十六項の二重和が隠れているとは考えもしない。ほかの分野の学生には、二つの文字が見えるだけで、和はまったく見えない。 ブルバキの記号 1935 年から数学の基礎を書き直したフランスの集団数学者ニコラ・ブルバキのグループは、いまでは普遍的に見える跡を記法に残した。空集合の記号 $\varnothing$ は、ノルウェー語のアルファベットの文字 Ø を知っていたアンドレ・ヴェイユが、1939 年の『数学原論』第一巻のために選んだものである。そしてブルバキの本の余白には、交通標識の危険なカーブ ☡ があり、その部分には特別な注意がいることを読み手に知らせている。 ひとつの文字、いくつもの部族 $i$ か $j$ か。 数学者にとって $\sqrt{-1}$ は $i$ である。電気技術者にとっては $j$ である。$i$ はもう電流に使われていたからだ。両者は同じものを $3 + 4i$ と $3 + 4j$ と書く。 $\log$。 多くの数学者にとって $\log x$ は底 $e$ の自然対数である。技術者や電卓にとっては底 10、計算機科学者にとっては、ほとんどいつも底 2 である。三つの意味が、同じ年に出版された本の中に共存している。 $\langle \psi |$。 量子物理学者は、ポール・ディラックのかっこ（1939）で状態を書く。ブラ $\langle \phi |$ とケット $| \psi \rangle$ で、合わせてブラケット $\langle \phi | \psi \rangle$ になる。この記法は英語のかっこ（bracket）をもじったしゃれであり、同時に、ある種の計算をほとんどひとりでに書かせてしまう。 合言葉と境界 共同体の記法は、すでに中にいる人のインクを節約し、外にいる人に通行料を払わせる。それは合言葉である。和の記号なしに $a_\mu b^\mu$ と書く人は、自分が部族の一員であることを示す。よい啓蒙書やよい先生は逆の道をたどる。部族が言わずにすませていることを、少なくとも一度はすべて書き出すのである。

October 26, 2026 読んだ