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組合せ：書き出さずに数える

ブラジルの宝くじ「メガセナ」では、60 個の数から 6 個を選びます。異なる選び方は何通りあるでしょうか。全部書き出していたら一生かかります。五千万通り以上あるのです。でも書き出さずに数えることはできますし、パスカルがその方法を示しました。 順番を気にせずに選ぶ 小さな例から始めましょう。5 人のグループから委員を 2 人選ぶ方法は何通りでしょうか。 順番が問題になるなら、1 人目は $5$ 通り、2 人目は $4$ 通りで、$5\cdot4=20$ 通りです。でも委員会では「アナとブルーノ」も「ブルーノとアナ」も同じなので、どの組も二回ずつ数えられています。委員会は $20/2=10$ 通りです。 一般に、$n$ 個のものから順番を気にせず $k$ 個を選ぶ方法の数は $$\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!},$$です。ここで $n!=n\cdot(n-1)\cdots2\cdot1$ です。「$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組合せの数」と読みます。委員会の場合は $\binom52=\frac{120}{2\cdot6}=10$ です。 なぜ三角形の数になるのか パスカルは、$\binom nk$ がちょうど算術三角形の数 $C(n,k)$ であることに気づきました。理由は同じ足し算の規則です。 グループの中から一人、たとえばアナを選んでおきます。$n$ 人から選んだ $k$ 人の委員会は、アナを含むか、含まないかのどちらかです。含むなら、残りの $n-1$ 人から $k-1$ 人を選べばよく、含まないなら、$k$ 人全員が残りの $n-1$ 人から選ばれます。したがって $$\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},$$これはまさに三角形の規則です。どちらも端は同じ $1$ で始まり、同じ規則に従うので、同じ表になります。 メガセナ これで大きな計算も簡単です。 $$\binom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=50\,063\,860.$$一口の当選確率は五千万分の一あまりです。毎週一口ずつ買っても、当たるまでに平均で百万年近く待つことになります。 和の累乗 同じ考え方で、三角形のもう一つの登場の仕方も説明できます。 $$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$$を展開すると、結果の各項は、三つのかっこのそれぞれから $a$ か $b$ を一つずつ選んでできます。$a^2b$ を得るには、三つのうちちょうど一つのかっこで $b$ を選べばよく、その選び方は $\binom31=3$ 通りです。だから $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$となり、一般には $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a^{n-k}b^k.$$です。$a=b=1$ とすると左辺は $2^n$ になり、またしても $n$ 行目の和です。この公式は指数が整数のときに成り立ちます。十年後、ニュートンは指数が分数のときどうなるかを発見しました。一般化された二項式を見てください。

October 8, 2026 読んだ
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ハミルトンの力学

1788 年、ラグランジュはニュートンの力学を、どんな座標でも成り立つ方程式の体系に変えた。ハミルトンはこの本を賞賛し、「一種の科学的な詩」と呼んだ。1834 年と 1835 年、二つの論文『動力学の一般的方法について』で、彼はこの考えをさらに推し進め、光線から学んだことを力学に持ち込んだ。 位置と運動量 ラグランジュは系を位置 $q$ と速度 $\dot q$ で記述した。ハミルトンは速度を運動量 $p$（単純な粒子なら質量掛ける速度、$p = m\dot q$）に置きかえ、すべての中心にただ一つの関数、ハミルトニアン $H(q, p)$ を置いた。たいていの場合それは全エネルギー、つまり運動エネルギーと位置エネルギーの和である。 $$H = T + V.$$運動全体は、ほぼ完全な対称性をもつ二つの方程式から出てくる。 $$\frac{dq}{dt} = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \frac{dp}{dt} = -\frac{\partial H}{\partial q}.$$ばね ばね定数 $k$ のばねにつながれた質量 $m$ について、 $$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{k q^2}{2}.$$ハミルトンの方程式は次を与える。 $$\frac{dq}{dt} = \frac{p}{m}, \qquad \frac{dp}{dt} = -kq.$$一つ目は、運動量が質量掛ける速度だと言っている。二つ目はフックの法則、ばねの力である。二つを合わせると $m\ddot q = -kq$、おなじみの振動になる。そして $\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\frac{dq}{dt} + \frac{\partial H}{\partial p}\frac{dp}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q} = 0$ なので、エネルギーは自動的に保存される。

October 27, 2026 読んだ
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ヒルベルト空間の中の量子力学

1925 年と 1926 年に、量子力学の二つの版がほぼ同時に生まれた。ハイゼンベルクの版は無限行列を使い、シュレーディンガーの版は波動方程式を使った。どちらも実験では同じ結果を与えたが、別々のことを語っているように見えた。しかも物理学者たちは、ディラックのデルタ「関数」のような、数学者には受け入れがたい技巧を使っていた。 ゲッティンゲンでヒルベルトとともに働いていたフォン・ノイマンは、二つが同じ理論を異なる座標で書いたものであることを示し、すべてを一つの言語で書き直した。1932 年の本『量子力学の数学的基礎』は、この理論を完全に厳密に知りたい者にとって今も参考書である。 状態はベクトルである フォン・ノイマンの言葉では、物理系の状態はヒルベルト空間の中の長さ 1 のベクトルである。ヒルベルト空間とは、平面や三次元空間のように内積をもつ空間だが、無限に多くの次元をもちうる。最も簡単な例として、測定すると「上」か「下」の二つの結果しか出ない系を考えると、その状態は平面上にある。 $$\psi = a\,\mathbf{e}_\uparrow + b\,\mathbf{e}_\downarrow, \qquad a^2 + b^2 = 1.$$ベクトルを実験室と結びつける規則は、マックス・ボルンが提案し、フォン・ノイマンが整えたもので、各結果の確率は対応する成分の二乗である。$a = \frac35$、$b = \frac45$ とすると、 $$P(\uparrow) = \left(\tfrac35\right)^2 = \tfrac{9}{25} = 36\%, \qquad P(\downarrow) = \left(\tfrac45\right)^2 = \tfrac{16}{25} = 64\%.$$ベクトルの長さが 1 だという条件 $a^2 + b^2 = 1$ は、確率の和が 100% になることを述べるピタゴラスの定理である。 測定とは射影である 測定の後、系は $\psi$ にとどまらない。得られた結果に対応する状態、$\mathbf{e}_\uparrow$ か $\mathbf{e}_\downarrow$ に移る。フォン・ノイマンはこれを、ベクトルのある軸への射影として書き、エネルギーや位置のような測定される量を作用素と呼んだ。測定で得られうる値は、これらの作用素の固有値である。実験室の物理が無限次元の線形代数だけで記述されたのはこれが初めてであり、フォン・ノイマンはそのために、今日大学院の数学で教えられる作用素論の多くをつくったのである。 穴のあった証明 1932 年の本の中で、フォン・ノイマンは、量子力学は「隠れた変数」、つまり結果を予測可能にする隠された情報によって補完することはできない、という証明を示した。著者の権威によって、この証明は何十年も受け入れられた。1935 年、ドイツの哲学者で数学者のグレーテ・ヘルマンは、仮定の一つが強すぎることを指摘したが、彼女の論文はほとんど読まれなかった。1966 年になってようやく、物理学者ジョン・ベルが同じ批判を繰り返し、広く知られるようになった。ベルはのちに、ある種の隠れた変数の理論は確かに不可能であることを示したが、それは別の道筋で、別の仮定を用いてのことであり、その後の数十年に実験室で検証された。 練習：状態を規格化するある状態は $\mathbf{e}_\uparrow + \mathbf{e}_\downarrow$ に比例している。長さ 1 のかたちに書き、確率を計算せよ。 $(1, 1)$ の長さは $\sqrt{2}$ なので、状態は $\psi = \frac{1}{\sqrt2}\mathbf{e}_\uparrow + \frac{1}{\sqrt2}\mathbf{e}_\downarrow$ である。各結果の確率は $\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2 = \frac12$。公平な量子のコインである。

October 26, 2026 読んだ
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分子の速さ：マクスウェル分布

最近、力学の練習として、完全弾性球の運動と衝突についてのいくつかの問題に取り組んでいます。 — ジェームズ・クラーク・マクスウェル、ジョージ・ストークス宛の手紙（1859 年 5 月 30 日） 1 リットルの空気には約 $2.5\times10^{22}$ 個の分子があり、どれも動きまわり、一秒に何十億回も衝突しています。一つひとつを追いかけるのは不可能です。1859 年、マクスウェルは物理学を変える考えを思いつきました。それぞれの 分子が何をしているかではなく、それぞれの速さをもつ分子が どれだけの割合 いるかを問うのです。物理法則に確率が使われたのは、これが初めてでした。彼は 1859 年にアバディーンでの学会でこの結果を発表し、1860 年に出版しました。 対称性の議論 マクスウェルの推論は短く巧妙です。分子の速度の $x$ 成分の確率密度を $p(v_x)$ とし、$y$ と $z$ についても同じとします。彼は二つのことを仮定しました。 三つの成分は独立である。 $v_x$ がわかっても $v_y$ については何もわからない。したがって同時密度は積 $p(v_x)\,p(v_y)\,p(v_z)$ になる。 特別な方向はない。 同時密度は速度の大きさ $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$ だけで決まり、向きにはよらない。 二つをあわせると、次のような関数が必要になります。 $$p(v_x)\,p(v_y)\,p(v_z)=\Phi(v_x^2+v_y^2+v_z^2).$$積が 和 の関数になる。これは指数関数の性質、$e^ae^be^c=e^{a+b+c}$ です。妥当な解はただひとつ、 $$p(v_x)=A\,e^{-\beta v_x^2}$$で、これは 釣鐘形の曲線、ガウスの正規曲線です。定数 $\beta$ は温度と分子の質量で決まり、今日では $\beta=\frac{m}{2k_BT}$ と書きます。$k_B$ はボルツマン定数、$T$ は絶対温度です。 速さの分布 釣鐘形の曲線は、正にも負にもなる各成分について成り立ちます。では 速さ、つまり速度の大きさ $v$ はどうでしょう。大きさが $v$ と $v+dv$ のあいだにある速度は、半径 $v$、厚さ $dv$、体積 $4\pi v^2\,dv$ の球殻をつくります。かけあわせると、 $$\boxed{f(v)=4\pi\left(\frac m{2\pi k_BT}\right)^{3/2}v^2\,e^{-mv^2/(2k_BT)}.}$$これが マクスウェル分布 です。因子 $v^2$ のために曲線は 0 から始まります。止まっている分子はほとんどありません。指数関数のために曲線はすぐに下がります。とても速い分子もほとんどありません。そのあいだに山があります。

October 14, 2026 読んだ
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特殊相対性理論：光でできた時計

もし私が光の速さ c、真空中の光速で光線を追いかけるなら、その光線は、空間的には振動しているが静止した電磁場として見えるはずだ。しかし、そんなものはないように思われる。 — アルベルト・アインシュタイン『自伝ノート』（1949） 16 歳のとき、アーラウの学校で、アインシュタインは自分に問いかけました。光線と同じ速さでその横を走ったら、何が見えるだろう。ニュートンの物理学によれば、光は止まって見えるはずです。高速道路でとなりを走る車のように。ところが マクスウェル の方程式は、止まった光を許しません。そこでは光はいつも $c\approx300\,000$ km/s で進むのです。どちらかがまちがっている。どちらなのかを見きわめるのに、アインシュタインは十年かかりました。 二つの原理 1905 年 6 月、アインシュタインは論文「運動物体の電気力学について」を『物理学年報』に送りました。彼は二つの仮定から出発しました。 一定の速さで動くすべての観測者にとって、物理法則は同じである。 がたつかずに走る列車のなかでは、なかで行うどんな実験でも、列車が止まっているのか動いているのかはわからない。 真空中の光の速さは、こうしたすべての観測者にとって同じ $c$ である。 光源や観測者がどう動いていても変わらない。 二つ目は無害に見えますが、じつはとんでもないことです。秒速 100 000 km で光線を追いかけても、光線はやはり秒速 300 000 km で遠ざかっていくと測れるのです。それが可能になるには、何かがゆずらなければなりません。アインシュタインは、ゆずるのは 時間 だと示しました。 光時計 距離 $L$ だけ離れた二枚の平行な鏡のあいだを、光のパルスが往復する時計を考えます。一往復が一刻みです。時計のそばにいる人にとって、一刻みは $$\Delta\tau=\frac{2L}{c}$$です。今度は、この時計を速さ $v$ であなたの前を通りすぎる列車に乗せます。ホームにいるあなたから見ると、光はまっすぐ上下するのではありません。光が一方の鏡からもう一方へ進むあいだに列車は前に進むので、光の道すじは斜めになり、長くなります。 ホームから見た光時計。光が下の鏡から上の鏡へ進むあいだに、時計は v Δt/2 進む。光は L より長い斜めの道 c Δt/2 を進む。Euler’s Eyes 作図 あなたが測った一刻みを $\Delta t$ とすると、半刻みのあいだに光は $c\frac{\Delta t}2$ 進み、列車は $v\frac{\Delta t}2$ 進みます。高さは $L$ のままです。ピタゴラスの定理 より、

October 11, 2026 読んだ
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シュヴァリエ・ド・メレのサイコロと公平な分配

シュヴァリエ・ド・メレと名乗っていたアントワーヌ・ゴンボーは、フランス宮廷の文筆家で、熱心な賭博師でもありました。1654 年ごろ、彼はパスカルに賭けについての問いを二つ持ち込みました。パスカルはその問いがとても良いと思い、ピエール・ド・フェルマーに手紙を書きました。確率論はその手紙のやりとりから生まれたのです。 この友人について、パスカルはフェルマーにこう書いています。 彼はとても頭がよいのですが、幾何学者ではありません。それは、ご存じのとおり、大きな欠点です。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1654 年 7 月 29 日） 第一の問題：6 の目と 6 のぞろ目 ド・メレは得をする賭け方を知っていました。サイコロを一つ 4 回振り、少なくとも一回 6 が出るほうに賭けるのです。彼は負けるより勝つほうが多かったのです。 そこで彼はこう考えました。サイコロ二つで 6 のぞろ目が出るのは、サイコロ一つで 6 が出るより 6 倍まれだ。それなら 6 倍多く振れば埋め合わせられる。$4\cdot6=24$ 回です。「サイコロ二つを 24 回振って、少なくとも一回 6 のぞろ目が出る」という賭けは、最初の賭けと同じくらい有利なはずだ、と。 そうはなりませんでした。ド・メレはお金を失い、その理由がわかりませんでした。 正しい計算は、反対の出来事から考えます。サイコロ一つで 6 が出ない確率は $\frac56$ です。独立に 4 回振って一度も 6 が出ない確率は $\left(\frac56\right)^4$ です。したがって $$P(\text{4 回で少なくとも一回 6})=1-\left(\frac56\right)^4=1-\frac{625}{1296}\approx0.518.$$サイコロ二つの出方は $36$ 通りで、6 のぞろ目はそのうち一つだけです。一回振って 6 のぞろ目が出ない確率は $\frac{35}{36}$ です。 $$P(\text{24 回で少なくとも一回 6 のぞろ目})=1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx0.491.$$最初の賭けは 51.8% の割合で勝ち、二つ目は 49.1% しか勝てません。ド・メレの比例の規則はもっともらしく見えましたが、確率はそのようには足し算できないのです。25 回振れば、確率はようやく半分を超えます。$1-\left(\frac{35}{36}\right)^{25}\approx0.506$ です。 賭けているだけで気づけるか？ ほとんど無理です。49.1% と 50% の差はとても小さく、確実に気づくには何千回も賭ける必要があります。そのため歴史家たちは、ド・メレが疑ったのは財布ではなく計算のほうだったと考えています。正しいと信じていた二つの規則が違う答えを出したので、どちらが間違っているのかを知りたかったのです。

October 8, 2026 読んだ
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マクスウェルの方程式：ファラデーの力線からベクトルへ

はじめは、これほどの数学の力がこの主題に向けられるのを見て、ほとんどおびえたほどでした。それから、主題がそれにとてもよく耐えているのを見て驚きました。 — マイケル・ファラデー、マクスウェル宛の手紙（1857 年 3 月 25 日） 1820 年までは、電気と磁気は別々の主題でした。電気は火花を飛ばし、髪の毛を逆立てる。磁気は方位磁針を北に向ける。その年、コペンハーゲン大学の講義で、デンマークのハンス・クリスティアン・エルステッドは電池を導線につなぎ、近くの磁針が動くのを見ました。電流が磁気を生んだのです。 ファラデーの力線 マイケル・ファラデー（1791–1867）。力線を思い描いた鍛冶屋の息子。作者不明、1850 年代 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ロンドンでは、13 歳で学校をやめて製本屋の見習いになった鍛冶屋の息子マイケル・ファラデーが、この発見をさらに進めました。1821 年、彼は最初の電動機をつくりました。磁石のまわりを回る導線です。1831 年には、エルステッドの逆を発見しました。導線の近くで 動く 磁石は電流を生む。これが 電磁誘導 で、発電所の発電機にも自転車のダイナモにも使われている原理です。 ファラデーは算数より先の数学を知りませんでした。考えるとき、彼は磁石や電荷のまわりの空間が、磁石のまわりに鉄粉が描く線のような 力線 で満たされていると想像しました。大切なのは磁石ではなく力線でした。数学者たちはこの考えを素朴だと思いました。彼らにとって、力はニュートンの重力のように離れたところに直接はたらくものだったのです。 マクスウェルはファラデーの力線を本気で受けとめました。1855 年、24 歳で「ファラデーの力線について」を発表し、図を方程式に翻訳しました。1861 年と 1862 年の「物理的な力線について」では、空間の力学模型を考えました。回転する流体の管が、歯車のようにはたらく小さな玉で仕切られている模型です。奇妙な模型でしたが、足場としては役に立ちました。それを使って、マクスウェルは 変位電流 と 波の速さ を見つけたのです。1865 年の「電磁場の動力学的理論」で彼は足場をとりはずしました。残ったのは方程式だけで、二十の未知数についての 二十本 の方程式が、成分ごとに書かれていました。 四元数か、ベクトルか 二十本の方程式は読みにくいものでした。もっとよい記法が必要で、候補がありました。アイルランドのウィリアム・ローワン・ハミルトンの 四元数、四つの部分をもつ数 $q=w+ai+bj+ck$ です。マクスウェルの学校時代の友人ピーター・ガスリー・テイトは四元数の大の擁護者で、1870 年から 1871 年にかけての手紙で、『論』に四元数を使うようマクスウェルを説得しようとしました。 マクスウェルが受けいれたのは半分だけでした。磁場のように向きをもつ量をうまく表せる三成分の部分 $ai+bj+ck$ は気に入りましたが、四つ目の部分 $w$ には物理的な意味が見いだせなかったのです。『電気磁気論』（1873）では、スカラー部分とベクトル部分を分け、四元数はひかえめに使いました。1871 年の論文では、場についての演算に、今も使われている名前をつけました。ある点のまわりで場がどれだけ回っているかを測る curl（回転）と、ある点に場がどれだけ集まるかを測り、今日の発散の逆にあたる convergence（収束）です。 『電気磁気論』第一巻の扉（オックスフォード、1873）。Wikimedia Commons · パブリックドメイン 次の一歩は、『論』を独学で読んだ二人によって踏みだされました。16 歳で学校をやめた電信技手のイギリス人オリヴァー・ヘヴィサイドと、イェール大学のアメリカ人ジョサイア・ウィラード・ギブズは、四元数を捨て、それぞれ独立に、内積と外積をもつ現代の ベクトル解析 をつくりました。1884 年から 1885 年にかけて、ヘヴィサイドはマクスウェルの二十本の方程式を 四本 に書きなおしました。今日どの教科書にも出てくるのは、この形です。

October 14, 2026 読んだ
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E = mc²：質量に隠れたエネルギー

電気力学の論文から、もうひとつの帰結が思いうかびました。相対性原理とマクスウェルの方程式から、質量は物体に含まれるエネルギーの直接の尺度でなければなりません。この考えはおもしろくて魅力的です。でも、神さまがこれを笑って、私をからかっているのかどうかはわかりません。 — アルベルト・アインシュタイン、コンラート・ハビヒト宛の手紙（1905 年夏） 1905 年 9 月、相対性理論の論文の三か月後、アインシュタインは『物理学年報』にわずか三ページの補足を送りました。題名は問いの形でした。「物体の慣性はそのエネルギー含量によるか？」。答えはイエスで、言葉とちがう文字で書かれたその結論が、物理学で最も有名な式です。 $$\boxed{E=mc^2.}$$簡単にした議論 アインシュタインは、止まっている物体が、同じ瞬間に、反対向きに二つの等しい光のパルスを出すところを考えました。それぞれのエネルギーは $\frac E2$ です。パルスは打ち消しあうので、物体は止まったままです。ここまではふしぎなことはありません。物体はエネルギー $E$ を失いました。 同じ場面を、小さな速さ $v$ で通りすぎる人が見るとします。この観測者にとって、物体は前もあとも同じ速さ $v$ で動いています。けれども相対性理論によれば、前に出た光は少しエネルギーが大きく、うしろに出た光は少し小さく見え、$v$ が小さいとき合計は $$E\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right)$$になります。この観測者にとっても、全エネルギーは保存されなければなりません。物体は $E$ のほかに $E\frac{v^2}{2c^2}$ を余分に失っており、それは運動のエネルギー $\frac12mv^2$ から出たとしか考えられません。速さは変わっていないので、変わったのは 質量 です。 $$\frac12(\Delta m)\,v^2=E\,\frac{v^2}{2c^2}\quad\Longrightarrow\quad \Delta m=\frac{E}{c^2}.$$どんな形であれエネルギー $E$ を失った物体は、質量 $\frac E{c^2}$ を失います。アインシュタインは結論しました。「物体の質量はそのエネルギー含量の尺度である」。質量とは、たくわえられたエネルギーなのです。 それはどれくらいか 数 $c^2$ は巨大です。$(3\times10^8)^2=9\times10^{16}$ m²/s²。だから小さな質量が莫大なエネルギーにあたります。たった 1 グラムで、 $$E=0.001\ \text{kg}\cdot9\times10^{16}\ \text{m}^2/\text{s}^2\approx9\times10^{13}\ \text{J}.$$TNT 火薬約 2 万 1 千トン分のエネルギーで、広島の原爆より大きく、人口約 1 万人の町が一年に使う電気のすべてにあたります。 逆に、日常のエネルギーにあたる質量はばかばかしいほど小さなものです。1 リットルの水を 20 °C から 100 °C に温めると、水は約 335 000 J を得て、質量は $$\Delta m=\frac{335\,000}{9\times10^{16}}\approx3.7\times10^{-12}\ \text{kg},$$およそ 10 億分の 4 グラム増えます。どんな秤も気づきません。だから何世紀ものあいだ、質量はぴったり保存されるように見えたのです。

October 12, 2026 読んだ
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パスカリーヌ：歯車でする足し算

1640 年、エティエンヌ・パスカルはノルマンディーの徴税官に任命されました。夜遅くまで数字の列を何本も足していく仕事で、17 歳だった息子のブレーズも手伝いました。さらに厄介なことに、当時のフランスの通貨は十進法ではありませんでした。 $$1\ \text{リーヴル}=20\ \text{ソル},\qquad 1\ \text{ソル}=12\ \text{ドゥニエ}.$$$3$ リーヴル $15$ ソル $8$ ドゥニエと、$2$ リーヴル $7$ ソル $9$ ドゥニエを足すには、三種類の繰り上がりが必要です。 ドゥニエ：$8+9=17$、つまり $1$ ソル $5$ ドゥニエ。 ソル：$15+7+1=23$、つまり $1$ リーヴル $3$ ソル。 リーヴル：$3+2+1=6$。 答えは $6$ リーヴル $3$ ソル $5$ ドゥニエです。これを一晩に千回もやれば、必ず間違えます。1642 年、ブレーズは間違えない機械を作り始めました。 数を数える歯車 パスカリーヌの仕組みは単純です。数の各桁に、$0$ から $9$ までの数字がついた歯車が一つずつあります。$7$ を足すには、$7$ の穴に針を差し込み、止め金に当たるまで歯車を回します。数は小さな窓に表示されます。 パリの工芸博物館にある、六つの歯車をもつ十進法のパスカリーヌ。お金の計算用のものには、ソルとドゥニエのための 20 目盛りと 12 目盛りの歯車もありました。David Monniaux、2005 年 · Wikimedia Commons · CC BY-SA 3.0 難しいのは繰り上がりです。一の位の歯車が $9$ から $0$ に変わるとき、十の位の歯車はひとりでに一目盛り進まなければなりません。しかも、それが次々に伝わることがあります。 $$999+1=1000.$$ここでは、一の位の歯車を一回回すだけで、四つの歯車を同時に動かさなければなりません。力がすべて回す人の指から来るのでは、歯車が動かなくなってしまいます。

October 8, 2026 読んだ
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変位電流：欠けていた項

マクスウェルの四本の方程式のうち三本は、なんらかの形で彼以前から知られていました。ガウスの法則、磁場の法則、ファラデーの法則です。四本目のアンペールの法則も知られていましたが、それは 不完全 でした。マクスウェルがそれに加えたのは、ただひとつの項 $\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}$ です。たいしたことのないように見えます。けれども電気と磁気を光に変えたのは、この項だったのです。 アンペールの法則 1826 年、フランスのアンドレ＝マリ・アンペールは、電流とそのまわりの磁場を結ぶ規則を見つけました。今日のことばで言うと、導線のまわりの閉じた道を一周して、道に沿った磁場の成分を足しあわせると、その結果は、その道をふちとする どんな 面を通る電流 $I$ にも比例する、というものです。 $$\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0 I.$$「どんな」という言葉が大切です。虫とり網のわくを考えてください。網は短くても長くてもかまいませんが、わくを通る導線は網も通ります。網を通る電流は網の形によりません。 規則を破るコンデンサー さて、回路に コンデンサー を入れます。空気か真空をはさんだ二枚の平行な金属板です。コンデンサーが充電されるあいだ、電流 $I$ が導線を通って一方の板に流れこみ、もう一方の板からは別の電流が出ていきます。けれども板のあいだには電流は流れません。導線はなく、すきまがあるだけです。 コンデンサーの手前で、導線のまわりに円い道をとります。網が 平ら で導線を切るなら、それを通る電流は $I$ です。網が 長く、導線にふれずに板のあいだを通る袋のようなら、それを通る電流は ゼロ です。同じ道、同じ磁場の積分なのに、答えが二つある。この場合、アンペールの法則は正しくありえません。 板のあいだで変わるもの 板のあいだを電荷は通りませんが、変わるものがあります。電場 です。板に電荷 $Q$ がたまるにつれ、面積 $A$ の板のあいだの電場は大きくなります。 $$E=\frac{Q}{\varepsilon_0A}.$$板の面積を通る電場の流束は $\Phi_E=EA=\frac Q{\varepsilon_0}$ で、その変わる速さは $$\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}=\frac{dQ}{dt}=I$$です。導線を流れてくる電流とちょうど同じです！マクスウェルは、変化する電場は電流のようにはたらくと考えました。彼はそれを 変位電流 $I_d=\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$ と呼び、アンペールの法則に加えました。 $$\boxed{\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell=\mu_0\left(I+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right).}$$これで二つの網の答えが一致します。平らな網を通るのは導線の電流 $I$ だけです。長い網を通る電流はありませんが、板のあいだで変化する電場があって、それが同じ量を寄与するのです。 なぜ「変位」なのか この名前は 1861 年の力学模型から来ています。マクスウェルは、真空にもエーテルという媒質があって、場が変わるとそのなかの電気をおびた粒子が、のばされたばねのように少し 変位 すると考えていました。その小さな変位が、ほんとうの電流だというのです。エーテルは存在しないことを、マイケルソンとモーリー、そして アインシュタイン が示すことになりますが、この項は模型より長く生きのびました。力学的な説明がまちがっていても、自然は方程式にしたがっているのです。 電荷は保存される この項がなければならない理由はほかにもあります。微分形では、修正前のアンペールの法則は $\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J$ です。ところが回転の発散はいつも 0 なので、これは $\nabla\cdot\mathbf J=0$ を強います。電流はどこにもたまることができず、どんなコンデンサーも充電できなくなってしまうのです。マクスウェルの項を入れると、

October 14, 2026 読んだ
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一般相対性理論：エレベーターからソブラルの日食へ

ベルンの特許局で椅子に座っていると、突然ある考えが浮かんだ。人が自由に落ちているなら、その人は自分の重さを感じないだろう。私ははっとした。この単純な考えは私に深い印象を与え、重力の理論へと私を駆りたてた。 — アルベルト・アインシュタイン、1907 年の着想について 1905 年の相対性理論には欠点がありました。重力が入っていないのです。ニュートンの法則では、太陽は 1 億 5 千万キロメートルをへだてて瞬時に地球を引きます。一方、相対性理論では、光より速く伝わるものはありません。アインシュタインはこれを直すのに八年かけました。出発点は、彼が「生涯で最も幸せな考え」と呼んだものでした。 落ちるエレベーター ケーブルが切れたエレベーターのなかにいると想像してください。あなたもエレベーターのなかのすべても、同じ加速度でいっしょに落ちます。リンゴから手をはなすと、リンゴは目の前に浮かんでいます。エレベーターのなかでは、まるで重力がないかのようです。宇宙ステーションの宇宙飛行士はいつもこれを体験しています。彼らが浮かんでいるのは地球から遠いからではなく、地球のまわりを落ちつづけているからです。 逆も成り立ちます。何もない宇宙空間で $9.8$ m/s² で加速しているロケットのなかでは、地球にいるときとまったく同じように、足が床に押しつけられるのを感じます。小さな部屋のなかで行うどんな実験でも、重力と加速を区別することはできません。これが 等価原理 です。 さて、加速しているロケットのなかで、懐中電灯を水平に照らします。光が部屋を横切るあいだにロケットは上に進むので、光は出発点より少し下で反対側の壁に届きます。ロケットのなかでは、光は曲がって進むのです。重力が加速と区別できないなら、重力も光を曲げる はずです。 重力は幾何学である アインシュタインはこの考えを極限までおし進めました。重力は力ではなく、空間と時間の形 だというのです。太陽のような大きな質量はまわりの時空をゆがめ、光も含めて自由に落ちる物体は、そのゆがんだ空間のなかでできるかぎりまっすぐな線、測地線 をたどるだけです。地球が太陽のまわりを回るのは引っぱられているからではなく、太陽にゆがめられた空間のなかを「まっすぐ」進んでいるからなのです。 これを書きあらわすために、アインシュタインには、ガウス が始めリーマンが一般化した曲がった空間の幾何学が必要でしたが、彼はそれを知りませんでした。友人マルセル・グロスマンに助けを求め、何年も試行錯誤を重ねました。1915 年 11 月 25 日、彼はプロイセン科学アカデミーに 場の方程式 を提出します。 $$G_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}.$$左辺の $G_{\mu\nu}$ は時空の 曲率 を、右辺の $T_{\mu\nu}$ はそこにある 物質とエネルギー を表します。物理学者ジョン・ホイーラーはこうまとめました。「物質は空間にどう曲がるかを教え、空間は物質にどう動くかを教える」。十本の方程式がからみあっていて、解くのはむずかしいのですが、弱い重力場ではニュートンの重力の法則に戻ります。 最初の検証：水星 水星の軌道は、完全に固定された楕円ではありません。楕円そのものが太陽のまわりをゆっくり回っているのです。この回転のほとんどはほかの惑星の引力で説明できますが、ニュートンの物理学では説明できない 一世紀に 43 秒角 のずれが残っていました。水星と太陽のあいだに目に見えない惑星ヴァルカンがあると唱える人もいました。 1915 年 11 月、アインシュタインは自分の方程式でこの効果を計算し、ちょうど一世紀に 43 秒角を得ました。彼はある友人に、何日も「うれしさで我を忘れた」と書き、胸の鼓動が速まるのを感じたと述べています。 二つ目の検証：曲がる光 太陽のすれすれを通る光について、理論は次の曲がりを予言していました。 $$\alpha=\frac{4GM_\odot}{R_\odot c^2}.$$$GM_\odot\approx1.327\times10^{20}$ m³/s²、太陽の半径 $R_\odot\approx6.96\times10^8$ m とすると、 $$\alpha\approx\frac{4\cdot1.327\times10^{20}}{6.96\times10^8\cdot9\times10^{16}}\approx8.5\times10^{-6}\ \text{rad}\approx1.75''.$$3 km 先から見た硬貨くらいの大きさです。これを測るには、太陽のすぐ横に見える星を撮影し、何か月かのち、太陽が空の別の場所に移った夜に、その星の位置とくらべなければなりません。けれども、太陽の横の星が見えるのは 皆既日食 のときだけです。 1919 年 5 月 29 日の日食にそなえて、セアラー州ソブラルに据えられたイギリス観測隊の望遠鏡。Charles Davidson · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ソブラル、1919 年 5 月 29 日 1919 年 5 月 29 日の日食は理想的でした。太陽が明るい星の集まり、ヒアデス星団の前にくるのです。皆既帯はブラジル北部とアフリカの沿岸を通っていました。イギリス王立天文学会は二つの観測隊を送りました。アーサー・エディントンはギニア湾のプリンシペ島へ、アンドルー・クロンメリンとチャールズ・デイヴィッドソンはセアラー州の ソブラル へ。リオデジャネイロの国立天文台の天文学者たちも、太陽のコロナを調べるためにソブラルにいました。

October 12, 2026 読んだ
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神秘の六角形：円錐曲線上の六つの点

1640 年 2 月、片面だけに印刷された、ポスターのような一枚の紙がパリで出回りました。題は『円錐曲線試論』。証明はなく、定義と三つの補題、そして結果の一覧だけが載っていました。著者は 16 歳で、名前はブレーズ・パスカルといいました。 メルセンヌ神父がこの紙をデカルトに見せると、デカルトは疑いました。この若者は、パスカルが敬愛していた建築家で幾何学者のジラール・デザルグから、すべてを借りてきたのだろうと考えたのです。デザルグの影響は確かにあり、パスカル自身もそれを認めていました。しかし、この紙の中心にある結果は新しいものでした。 円錐曲線 円錐を平面で切ってみましょう。傾きによって、切り口のふちは楕円、放物線、双曲線のいずれかになります。円は楕円の特別な場合です。これらの曲線、円錐曲線は、紀元前 3 世紀のアポロニオスの時代から研究されてきました。 デザルグは、この分野を変える発想をもっていました。円錐曲線を円の影として見るのです。懐中電灯で円を照らすと、壁に映る影は楕円にも放物線にも双曲線にもなります。ですから、円の性質のうち、距離や角度を測らずに点と直線だけで語れるものは、影の中でも生き残り、すべての円錐曲線について成り立ちます。これが射影幾何学の考え方です。 六角形の定理 円錐曲線上に六つの点 $A,B,C,D,E,F$ をこの順にとり、結んで六角形を作ります。向かい合う辺は $AB$ と $DE$、$BC$ と $EF$、$CD$ と $FA$ です。それぞれの組を交わるまで延ばします。 $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$パスカルの定理によれば、三点 $P$、$Q$、$R$ はいつも一直線上にあります。 六つの点は曲線上でどんな順番に並んでいてもよく、六角形は自分自身と交差していてもかまいません。向かい合う二辺が平行なら、それらは「無限遠点」で交わり、直線はそれらと平行になります。パスカルはこの図形を神秘の六角形と呼びました。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 四百の系 メルセンヌによれば、パスカルはこのたった一つの定理から約四百の系を導き、その中にはアポロニオスの円錐曲線論のほとんどすべてが含まれていました。彼は 1654 年ごろ、完全な論文を書き上げました。1676 年、ライプニッツはパリでその原稿を読み、すばらしいと考えて一家に出版を勧めました。しかし誰も出版せず、論文は失われてしまいました。 放物線で確かめる 計算で定理を確かめてみましょう。放物線 $y=x^2$ 上に、$x$ 座標が $0,1,2,3,4,7$ の六つの点をとります。 $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$まず近道を一つ。放物線上の $x$ 座標が $u$ と $v$ の二点を通る直線は $$y=(u+v)x-uv.$$です。実際、$x=u$ では $u^2+uv-uv=u^2$、$x=v$ では $v^2$ になります。では三つの交点を計算しましょう。

October 8, 2026 読んだ