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黄金の定理：大数の法則

どんなに愚かな人でも、ある自然の本能によって、ひとりで、なんの教えも受けずに、観察を重ねれば重ねるほど的をはずす危険は小さくなると確信している。 — ヤコブ・ベルヌーイ『推測術』（1713）第四部 サイコロなら、それぞれの目の確率は前もってわかっています。$\frac16$ です。けれども、40 歳の男性があと二十年生きる確率は？明日雨が降る確率は？薬が効く確率は？こうした場合には、数えられる同じ面がありません。ヤコブは別の道を提案しました。何度も観察し、頻度を確率の推定に使うのです。40 歳の男性のうち半分が 60 歳まで生きたなら、その確率は半分に近いはずです。 上の引用が言うとおり、だれもがすでにそう考えていました。ヤコブの問いはもっと深いものでした。それは 証明 できるのか。観察の数が増えると、頻度はほんとうに確率に近づくのか、それとも誤差はいつまでも大きいままでありうるのか。実際上の確実さを得るには、何回の観察が必要なのか。彼は答えるのに二十年かかり、その結果をたいへん誇りにして 黄金の定理 と呼びました。 壺 ヤコブは、白い石 3 000 個と黒い石 2 000 個の入った、中の見えない壺で問題を立てました。中をのぞけない人が、白い石の割合、つまり $\frac35$ を知りたいとします。そのために石をひとつ取り出し、色を記録して戻し、これをくり返します。 $n$ 回取り出して白が $S_n$ 回なら、観察された頻度は $\frac{S_n}n$ です。正確な問いはこうなります。頻度が $\frac{29}{50}$ と $\frac{31}{50}$ のあいだ、つまり $\frac35$ との差が $\frac1{50}$ 未満になることが 道徳的に確実、すなわち $\frac{1000}{1001}$ 以上の確率で成り立つには、何回取り出せばよいか。 定理が言うこと ヤコブの答えには二つの部分があります。第一は定性的なものです。どんなに小さな誤差の幅 $\varepsilon$ をとっても、頻度が $p$ から $\varepsilon$ より大きくずれる確率は、$n$ が大きくなると 0 に近づく。今日のことばでは、 $$\boxed{\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{S_n}n-p\right|>\varepsilon\right)=0.}$$これが 大数の法則 の最初の形で、この名は 1837 年にポアソンがつけました。第二の部分は数値的なものです。ヤコブは、この壺なら 25 550 回 の取り出しで道徳的確実さに足りると計算しました。 硬貨投げのシミュレーション。はじめは表の割合が大きくゆれるが、数千回投げると 1/2 に近づく。横軸は対数目盛り。Euler’s Eyes 作図 今日の道具による証明 ヤコブの証明は、二項展開の項のあいだの不等式に何章も費やしています。今日では、ロシアのパフヌティ・チェビシェフが 1867 年に発表した不等式を使えば、同じ考えが数行で書けます。

October 11, 2026 読んだ
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神秘の六角形：円錐曲線上の六つの点

1640 年 2 月、片面だけに印刷された、ポスターのような一枚の紙がパリで出回りました。題は『円錐曲線試論』。証明はなく、定義と三つの補題、そして結果の一覧だけが載っていました。著者は 16 歳で、名前はブレーズ・パスカルといいました。 メルセンヌ神父がこの紙をデカルトに見せると、デカルトは疑いました。この若者は、パスカルが敬愛していた建築家で幾何学者のジラール・デザルグから、すべてを借りてきたのだろうと考えたのです。デザルグの影響は確かにあり、パスカル自身もそれを認めていました。しかし、この紙の中心にある結果は新しいものでした。 円錐曲線 円錐を平面で切ってみましょう。傾きによって、切り口のふちは楕円、放物線、双曲線のいずれかになります。円は楕円の特別な場合です。これらの曲線、円錐曲線は、紀元前 3 世紀のアポロニオスの時代から研究されてきました。 デザルグは、この分野を変える発想をもっていました。円錐曲線を円の影として見るのです。懐中電灯で円を照らすと、壁に映る影は楕円にも放物線にも双曲線にもなります。ですから、円の性質のうち、距離や角度を測らずに点と直線だけで語れるものは、影の中でも生き残り、すべての円錐曲線について成り立ちます。これが射影幾何学の考え方です。 六角形の定理 円錐曲線上に六つの点 $A,B,C,D,E,F$ をこの順にとり、結んで六角形を作ります。向かい合う辺は $AB$ と $DE$、$BC$ と $EF$、$CD$ と $FA$ です。それぞれの組を交わるまで延ばします。 $$P=AB\cap DE,\qquad Q=BC\cap EF,\qquad R=CD\cap FA.$$パスカルの定理によれば、三点 $P$、$Q$、$R$ はいつも一直線上にあります。 六つの点は曲線上でどんな順番に並んでいてもよく、六角形は自分自身と交差していてもかまいません。向かい合う二辺が平行なら、それらは「無限遠点」で交わり、直線はそれらと平行になります。パスカルはこの図形を神秘の六角形と呼びました。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 四百の系 メルセンヌによれば、パスカルはこのたった一つの定理から約四百の系を導き、その中にはアポロニオスの円錐曲線論のほとんどすべてが含まれていました。彼は 1654 年ごろ、完全な論文を書き上げました。1676 年、ライプニッツはパリでその原稿を読み、すばらしいと考えて一家に出版を勧めました。しかし誰も出版せず、論文は失われてしまいました。 放物線で確かめる 計算で定理を確かめてみましょう。放物線 $y=x^2$ 上に、$x$ 座標が $0,1,2,3,4,7$ の六つの点をとります。 $$A=(0,0),\ B=(1,1),\ C=(2,4),\ D=(3,9),\ E=(4,16),\ F=(7,49).$$まず近道を一つ。放物線上の $x$ 座標が $u$ と $v$ の二点を通る直線は $$y=(u+v)x-uv.$$です。実際、$x=u$ では $u^2+uv-uv=u^2$、$x=v$ では $v^2$ になります。では三つの交点を計算しましょう。

October 8, 2026 読んだ
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フェルマーとパスカル：中断した勝負の公平な分配

二人のプレイヤーが同じ額を賭けて、何回戦かの勝負をします。先に決められた回数だけ勝った人が全額をもらいます。途中で、勝負を中断しなければならなくなりました。お金はどう分ければ公平でしょうか？ これが分配問題（点の問題）です。単純に見えますが、150 年以上も数学者たちを悩ませました。 まちがった答え 1494 年、イタリアの修道士ルカ・パチョーリは、すでに勝った回数に比例して賞金を分けることを提案しました。A が 2 回、B が 1 回勝っていれば、A が $\frac23$ をもらう、と。 もっともらしく聞こえますが、そうではありません。100 勝先取の勝負が、A の 1 対 0 のリードで中断したとしましょう。パチョーリの規則では A が全額をもらいます。でも勝負は始まったばかりで、B が勝つ見込みもほとんど同じでした。大事なのはすでに起きたことではなく、これから起こりうることなのです。 1654 年の手紙 この問題は、賭け事好きのフランス貴族シュヴァリエ・ド・メレを通じてブレーズ・パスカルのもとに届きました。パスカルはトゥールーズのフェルマーに手紙を書き、1654 年の夏、二人は一連の手紙を交わしました。それぞれが別の道で答えを見つけました。パスカルは結果から逆にたどる段階的な推論で、フェルマーはすべての可能性を数え上げることで。 二つの方法が同じ答えを出したのを見て、パスカルはこう書きました。 真理はトゥールーズでもパリでも同じであることが、よくわかります。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1654 年 7 月 29 日） フェルマーの方法：未来を数える 各回はコイン投げのようなもので、どちらのプレイヤーもその回に勝つ見込みは $\frac12$ だとします。勝負が中断したとき、A はあと 1 勝、B はあと 2 勝必要です。 フェルマーはこう考えました。あと2 回やれば、必ず誰かが勝っている。だから、1 回目で勝負が決まっても、2 回とも行うと想定する。起こりうる結果（すべて同じ確率）は、 回 勝者 A A A A B A B A A B B B 4 通りのうち A が 3 通り、B が 1 通りで勝ちます。確率は

October 7, 2026 読んだ
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古典的確率とガウス積分

数学的な確率は賭けごとから、1654 年のパスカルとフェルマーの往復書簡から始まり、ヤコブ・ベルヌーイの大数の法則で最初の大定理を得た。ラプラスはそれを完全な理論に仕立てた。このテーマについての彼の最初の論文は 1774 年のものである。1812 年の『確率の解析的理論』は四十年近い研究を集大成し、1814 年の『確率の哲学的試論』はそのすべてを数式なしで一般の人びとに説明した。 『確率の哲学的試論』1840 年版の扉。Pierre-Simon Laplace · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 古典的な定義 偶然の理論とは、同じ種類のすべての事象を、同じ程度に可能な、すなわちそれが起こるかどうかについて私たちが同じ程度に決めかねているような、ある数の場合に帰着させ、確率を求めている事象に有利な場合の数を定めることにある。 — ピエール＝シモン・ラプラス『確率の哲学的試論』（1814） 学校で習う定義である。 $$P = \frac{\text{有利な場合の数}}{\text{可能な場合の数}}.$$微妙なのは「同じ程度に可能な」という言葉である。サイコロを二つ振ると、目の和は 2 から 12 まで 11 通りあるが、それらは同じ程度に起こりやすいわけではない。同じ程度に可能な場合は、（一つ目、二つ目）の 36 通りの組である。和が 7 になるのはそのうち (1, 6) から (6, 1) までの 6 通りで、確率は $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ である。和が 2 になるのは (1, 1) だけで、確率は $\frac{1}{36}$ である。 e の −x² 乗の積分 多くの偶然の和を研究するなかで、ラプラスは統計学のいたるところに現れる積分を必要とした。 $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.$$アブラーム・ド・モアブルは 1733 年にすでにこの結果を数値の形で使っていたが、証明したのは 1774 年のラプラスである。いちばん美しい証明はひとつの工夫による。積分 $I$ を直接求めるかわりに、平面上の積分になる $I^2$ を求めるのである。

October 30, 2026 読んだ
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統計学のなかの魔女：コーシー分布

1799 年に亡くなったアニェージは、自分の曲線が幾何学から遠く離れたところで第二の人生を送るとは思いもしなかっただろう。十九世紀、この曲線は確率論のなかに、統計学でもっとも油断のならない例のひとつとして再び現れた。 確率密度 曲線の下の面積で見たように、$y = \frac{1}{1 + x^2}$ の下の面積全体は $\pi$ である。$\pi$ で割ると面積は 1 になり、曲線は確率密度になる。 $$f(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)}.$$これがコーシー分布である。一回の抽出が $c$ と $d$ のあいだに入る確率は、その区間での曲線の下の面積 $\frac{1}{\pi}(\arctan d - \arctan c)$ に等しい。描いてみると正規曲線によく似ている。ゼロを中心とする左右対称の釣鐘である。違いはすそにある。正規分布は $e^{-x^2/2}$ のように減り、その速さのせいで巨大な値はほとんど出てこない。アニェージの曲線は $\frac{1}{x^2}$ のようにしか減らない。 存在しない平均 この違いが驚くべき結果を生む。分布の平均は $x\,f(x)$ の積分である。コーシー分布では、正の側の積分は $$\int_0^{X} \frac{x}{\pi(1 + x^2)}\,dx = \frac{1}{2\pi}\ln(1 + X^2)$$で、$X$ が大きくなると限りなく大きくなる。負の側も反対向きに同じことになり、計算は「無限大ひく無限大」になる。この分布には平均がないのである。分散もない。 実際には、何回抽出してもその平均が落ち着かないということだ。平均と分散が有限であることを必要とする大数の法則も中心極限定理も、ここではまったく使えない。さらに悪いことに、$n$ 回のコーシー抽出の平均は、一回の抽出とまったく同じ分布をもつことが証明できる。データを集めても何の助けにもならないのである。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 一方、中央値はとてもよく機能する。面積の半分はゼロの左に、半分は右にあり、多くの抽出の中央値はゼロに近づく。だから統計学者はアニェージの曲線を警告として使う。平均を計算する前に、データのすそが軽いか重いかを知っておくべきだ、というわけである。 ポアソン、コーシー、そして物理学 この問題に最初に気づいたのはシメオン＝ドニ・ポアソンで、1824 年にこの分布をラプラスの誤差論への反例として使った。名前は、1853 年にイレネ＝ジュール・ビエネメと最小二乗法をめぐって論争したときにこれを論じた、オーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する。 物理学では、同じ曲線がヘンドリック・ローレンツにちなんだローレンツ型という別の名前で現れる。原子や分子のスペクトル線の形、共鳴の近くでの振動子の応答、そして素粒子物理学では不安定な粒子を示すピークの形（ブライト＝ウィグナーの公式）を表す。何かが振動しながら少しずつエネルギーを失うところでは、アニェージの魔女が顔を出しやすいのである。 浜辺の灯台 コーシー分布がどこから現れうるかを示す古典的な例がある。まっすぐな浜辺から 1 km のところに灯台があり、回転しながら、どの角度も同じ確率で、でたらめな方向に光のパルスを出す。浜辺に届いたパルスの着地点は、ちょうどコーシー分布に従う。角度が 90° に近づくと、パルスは浜辺のはるか遠くに届く。平均が存在しないのは、こうしたまれな遠い点のせいである。 練習：四分位点コーシー分布からの一回の抽出が $-1$ と $1$ のあいだに入る確率はいくらか。 $\frac{1}{\pi}(\arctan 1 - \arctan(-1)) = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}$。抽出の半分が $-1$ と $1$ のあいだに入る。これが分布の四分位点である。標準正規分布では、半分が $-0.674$ と $0.674$ のあいだに入る。コーシー分布は中央でもいくらか「広がって」おり、すそではずっと広がっている。

October 29, 2026 読んだ
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モンテカルロ法：サイコロを振って計算する

1946 年、ロスアラモスでのフォン・ノイマンの同僚、ポーランドの数学者スタニスワフ・ウラムは脳炎から回復する途中で、一人トランプをして時間をつぶしていた。彼は、一回のゲームが上がる確率はどれくらいだろうと考えた。組合せ論で求めようとすると、絶望的に複雑だった。だが別の方法があった。何百回もやってみて、何回上がったかを数えるのだ。計算機があれば、何千回もできる。 ウラムがこのアイデアをフォン・ノイマンに話すと、彼はすぐにその射程を見てとった。同じ手が、ロスアラモスで二人が取り組んでいた問題、つまり爆弾や原子炉の中の中性子の経路にも使える。中性子は一つ一つ、ランダムにそらされ、吸収され、あるいは増殖する。方程式を解く代わりに、何千もの中性子をシミュレートし、それぞれに何が起こるかをくじで決め、平均をとればよい。ニコラス・メトロポリスは、ウラムのおじが賭けをしに通っていたモンテカルロのカジノにちなんで、この方法に名をつけた。 FERMIAC を手にするスタニスワフ・ウラム。FERMIAC はエンリコ・フェルミの小さな台車で、手でランダムに選んだ中性子の経路を紙の上に描いた。機械仕掛けのモンテカルロである。Los Alamos National Laboratory · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 1948 年、最初のシミュレーションが ENIAC の上で走った。コードの多くを書いたのは、フォン・ノイマンの妻で、歴史上最初期のプログラマーの一人であるクラーラ・ダーン・フォン・ノイマンだった。 ランダムな点で π を計算する 最も簡単な例はこうだ。$x$ と $y$ がともに $0$ と $1$ の間にある点 $(x, y)$ をランダムに選ぶ。点が四分円 $x^2 + y^2 \le 1$ の内側に落ちる確率は面積の比、$\frac{\pi/4}{1} = \frac{\pi}{4}$ である。したがって $$\pi \approx 4 \times \frac{\text{内側の点の数}}{\text{選んだ点の数}}.$$ この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 推定はゆっくりとしか良くならない。典型的な誤差は $\frac{1}{\sqrt{n}}$ のように減る。小数を一桁増やすには百倍の点が必要だ。$\pi$ を計算するには、はるかに良い方法がある。だが、変数の多い問題、たとえばエネルギー、方向、衝突の種類をともなう三次元の中性子の経路では、モンテカルロ法がしばしば唯一可能な方法になる。その誤差が次元の数によらないからである。 偶然を製造する 計算機は決定論的な機械である。「ランダムな」数はどこから来るのか。1949 年、フォン・ノイマンは平方採中法を提案した。四桁の数をとって二乗し、結果を八桁で書いて、真ん中の四桁をとる。それが次の数である。彼は、これが本当のランダムではないことを十分に承知していた。 算術的な方法で乱数字をつくろうと考える者は、言うまでもなく、罪の状態にある。 — ジョン・フォン・ノイマン「乱数字に関連して用いられる種々の技法」（1951） この数列はやがて繰り返すか、ゼロに落ちる。だが速く、しかも結果を再現して計算を確かめることができた。今日ははるかに良い生成法が使われているが、フォン・ノイマンの原則は生きている。生成法に求めるのは本当のランダムさではなく、問題が必要とする統計的検定に通ることなのだ。 練習：平方採中法$1234$ から始めて、平方採中法で数を三つつくれ。 $1234^2 = 1\,522\,756$、八桁で $01522756$ と書くと、真ん中は $5227$。$5227^2 = 27\,321\,529$、真ん中は $3215$。$3215^2 = 10\,336\,225$、真ん中は $3362$。数列は $1234, 5227, 3215, 3362, \ldots$ と始まる。

October 27, 2026 読んだ
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バンブリスムス：証拠をデシバンで量る

ボンブは速かったが、海軍のエニグマのローターの順序をすべて試すほどには速くなかった。1940 年、チューリングは、機械を動かす前にその大部分を除くための、紙と鉛筆の方法を考え出した。この方法で使う用紙がバンベリーの町で印刷されていたので、同僚たちはそれをバンブリスムスと名づけた。 これは統計的な方法である。そしてそれを考え出すために、チューリングは現代統計学の中心的なアイデアの一つを独自に発明しなおした。 くり返す文字 ドイツ語の通信を二つ、上下に並べて書き、両方が同じ文字になっている位置を数えてみよう。ドイツ語では E、N、R、I がよく使われるので、一致は文字が無作為に選ばれた場合よりずっと多い。ドイツ語の文章では、並んだ二つの文字が一致する確率はおよそ $\frac1{17}$ である。文字が無作為なら $\frac1{26}$ になる。 エニグマはこの性質を奇妙なかたちで保つ。二つの通信が同じローター位置の列で暗号化されていれば、同じ位置の同じ文字は同じ文字になるので、原文の一致は暗号文でも一致のまま残る。位置が違えば、割合は $\frac1{26}$ に落ちる。だから一致を数えれば、二つの通信がそろっているという証拠が得られ、それがローターの位置についての情報をもたらした。 一致一つの値打ち チューリングは問うた。一つの一致は、通信がそろっているという私の確信をどれだけ強めるべきか。答えは尤度比、つまり一方の場合に一致を見る見込みが、他方の場合の何倍か、である。 $$\frac{\text{そろっているときの一致の確率}}{\text{そろっていないときの確率}}=\frac{1/17}{1/26}=\frac{26}{17}\approx1.53.$$一致のない位置は、反対向きの、ずっと弱い証拠である。 $$\frac{16/17}{25/26}=\frac{416}{425}\approx0.979.$$ベイズの定理によれば、証拠は一つごとにオッズ（ある仮説の確率と、もう一方の仮説の確率の比）にその尤度比をかける。位置が多ければかけ算も多くなり、手でのかけ算は遅い。 かけるかわりに足す チューリングは、三世紀前にネイピアがしたことをした。対数に移って、かけ算を足し算に変えたのである。彼は尤度比の常用対数をバン、その十分の一をデシバンと呼んだ。 $$\text{デシバンで表した重み}=10\log_{10}(\text{尤度比}).$$すると、一致一つは $$10\log_{10}\frac{26}{17}\approx+1.8\ \text{デシバン},$$一致のない位置一つは $$10\log_{10}\frac{416}{425}\approx-0.09\ \text{デシバン}$$の値打ちになる。第 8 号小屋の作業員は、数えて足すだけでよかった。合計が $+20$ デシバンなら、証拠によって仮説のオッズが前の $10^2=100$ 倍になったということである。 感じとれる最小の証拠 ブレッチリーでチューリングと働いた統計学者 I・J・グッドは、デシバンが選ばれたのは、それが人間の直感で感じとれる証拠の重みの最小の変化にほぼ等しいからだと回想している。デシベルが、耳が気づく音の大きさの最小の変化であるのと同じである。戦後、グッドはこれらの考えを発展させ、現代のベイズ統計学の確立に力を尽くした。彼が使った「証拠の重み」という言葉づかいは、チューリングのものである。 練習：証拠を足し合わせる200 か所でそろえた二つの通信に一致が 14 か所ある。重みの合計は何デシバンか。そろっているという仮説はより確からしくなったか。 一致が 14 か所、一致のない位置が 186 か所なので、$14\cdot1.8+186\cdot(-0.09)\approx25.2-16.7=8.5$ デシバン。正なので、そろっているほうのオッズはおよそ $10^{0.85}\approx7$ 倍になった。文字が無作為なら一致の期待値は $200/26\approx7.7$、そろっていれば $200/17\approx11.8$ である。14 はそろっているほうによく合う。 練習：一致がいくつで引き分けか100 か所のうち、一致がいくつ $k$ なら重みの合計がゼロになるか。 $1.8k-0.09(100-k)=0$、すなわち $1.89k=9$ で、$k\approx4.8$。100 か所で一致が 5 以上あれば、証拠はもうそろっているほうに傾く。これは無作為の期待値 $100/26\approx3.8$ と、そろっているときの期待値 $100/17\approx5.9$ のあいだの数である。 出典： I. J. Good, “Studies in the history of probability and statistics XXXVII: A. M. Turing’s statistical work in World War II”, Biometrika（1979）· Andrew Hodges, Alan Turing: The Enigma（1983）· Sharon Bertsch McGrayne, The Theory That Would Not Die（2011）。

October 18, 2026 読んだ
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ベルヌーイ数：千個のべき乗を七分で足す

この表の助けを借りて、最初の千個の数の十乗を足すと 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500 になることを、私は四半時間の半分もかからずに見つけた。 — ヤコブ・ベルヌーイ『推測術』（1713）第二部 少年 ガウス は、最初の数と最後の数を組にして、1 から 100 までの和を数秒で出したといわれます。$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$ です。平方や立方の和にも、アルキメデスやアラビアの数学者のころから知られた公式があります。 $$\begin{aligned}1^2+2^2+\cdots+n^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}6,\\ 1^3+2^3+\cdots+n^3&=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2.\end{aligned}$$では四乗、五乗、十乗は？十七世紀には何人もの数学者が、こうした公式をひとつずつ求めてページを埋めていました。フランスのイスマエル・ブイヨーは 1682 年に分厚い本を出しましたが、苦心のすえに六乗までしか届きませんでした。ヤコブ・ベルヌーイは、すべて を与える規則を見つけたのです。 表 『推測術』の第二部で、ヤコブは公式を上から下へ並べ、じっくりながめました。 $$\begin{aligned}\sum_{k=1}^n k&=\tfrac12n^2+\tfrac12n\\ \sum_{k=1}^n k^2&=\tfrac13n^3+\tfrac12n^2+\tfrac16n\\ \sum_{k=1}^n k^3&=\tfrac14n^4+\tfrac12n^3+\tfrac14n^2\\ \sum_{k=1}^n k^4&=\tfrac15n^5+\tfrac12n^4+\tfrac13n^3-\tfrac1{30}n\\ \sum_{k=1}^n k^5&=\tfrac16n^6+\tfrac12n^5+\tfrac5{12}n^4-\tfrac1{12}n^2\end{aligned}$$規則があります。$m$ 乗の和はいつも $m+1$ 次の多項式です。最初の係数は、積分 $\int_0^n x^m\,dx=\frac{n^{m+1}}{m+1}$ と同じく $\frac1{m+1}$。二番目はいつも $\frac12$。そのあとの係数は 二項式 $(n+1)^{m+1}$ の係数に、ある決まった数をかけたもののように見えます。 不思議な数 ヤコブは、今日 $B_0,B_1,B_2,\dots$ と書かれ ベルヌーイ数 と呼ばれる数の列がひとつあれば、すべての公式を一度に書けることに気づきました。 $$\boxed{\sum_{k=1}^n k^m=\frac1{m+1}\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j\,n^{m+1-j}}$$$B_j$ はどう求めるのでしょう。かんたんなこつがあります。公式は $n=1$ でも成り立たなくてはならず、そのとき和はただの $1^m=1$ です。$n=1$ とおくと $n$ のべき乗はすべて 1 になり、 $$\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}B_j=m+1$$が残ります。$B_0=1$ から始めると、$m$ の値ごとに次の数が出てきます。 $m=1$：$1+2B_1=2$、よって $B_1=\frac12$。 $m=2$：$1+3\cdot\frac12+3B_2=3$、よって $B_2=\frac16$。 $m=3$：$1+4\cdot\frac12+6\cdot\frac16+4B_3=4$、よって $B_3=0$。 $m=4$：$1+5\cdot\frac12+10\cdot\frac16+0+5B_4=5$、よって $B_4=-\frac1{30}$。 続けると $B_6=\frac1{42}$、$B_8=-\frac1{30}$、$B_{10}=\frac5{66}$ で、1 より大きい奇数番目はすべて 0 です。これらの数には目に見える規則がありません。$B_{12}=-\frac{691}{2730}$ で、そこから先は急速に大きくなります。

October 11, 2026 読んだ
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サイクロイド：歯痛の曲線

自転車のタイヤに点を一つ描き、まっすぐに押して進んでみましょう。点は上がっていき、アーチを描いて、また下りてきて地面に触れます。車輪が一回転するごとにこれをくり返します。この点が描く曲線をサイクロイドといいます。 17 世紀には、これが流行の曲線でした。フランス人は ルレット と呼びました。あまりに多くの数学者がこの曲線についての発見をめぐって争ったので、あだ名までつきました。トロイア戦争を引き起こしたヘレネーにちなんで、幾何学者たちのヘレネーです。 車輪の方程式 半径 $r$ の車輪が直線の上をすべらずに転がるとします。車輪が角 $t$（ラジアンで測る）だけ回ると、中心は距離 $rt$ だけ進みます。これは地面に触れた縁の長さです。いちばん下から出発した点は、そのとき $$x=r(t-\sin t),\qquad y=r(1-\cos t).$$の位置にあります。$t=0$ から $t=2\pi$ までで、車輪はちょうど一回転します。アーチの幅は車輪の周の長さに等しい $2\pi r$、いちばん高いところは直径の $2r$ です。 半径 1 の車輪が描くサイクロイドの一つのアーチ。アーチの下の面積は 3π で、車輪の面積の三倍です。ブログのオリジナル図版。 ガリレオ、曲線の重さを量る 1599 年ごろ、ガリレオはこの曲線に名前をつけ、一つのアーチの下の面積を知りたいと考えました。計算できなかったので、同じ材料の板からサイクロイドと、それを生み出す円とを切り抜いて、重さを量りました。サイクロイドは円のほぼ三倍の重さでした。ガリレオは、比はちょうど 3 ではないのではないかと疑い、そこでやめてしまいました。 比はちょうど 3 でした。ジル・ド・ロベルヴァルが 1634 年にそれを証明し、今ではその計算は数行で済みます。 微積分で面積を求める 曲線の下の面積は、高さ $y$、幅 $dx$ の細い帯の和です。$dx=r(1-\cos t)\,dt$ なので、 $$A=\int_0^{2\pi}y\,\frac{dx}{dt}\,dt=r^2\int_0^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt.$$二乗を展開すると、三つの部分が残ります。 $$\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi,\qquad \int_0^{2\pi}-2\cos t\,dt=0,\qquad \int_0^{2\pi}\cos^2t\,dt=\pi.$$最後のものは $\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}$ から出てきます。合計すると $$A=r^2(2\pi+0+\pi)=3\pi r^2.$$サイクロイドの一つのアーチの下の面積は、それを描いた車輪の面積の三倍です。ガリレオの切り抜きは正しかったのです。 1658 年の夜 1658 年には、パスカルが数学から離れて四年がたっていました。姉ジルベルトによると、ある夜、彼はひどい歯痛で眠れませんでした。痛みを忘れようとして、サイクロイドについて考え始めると、痛みが消えました。パスカルはそれを研究を続けてよいという許しと受けとり、八日のうちに、誰も解いたことのない問題を解きました。曲線の各部分の面積、その重心、そして曲線を軸のまわりに回転させてできる立体の体積です。 それから彼は、アモス・デトンヴィルという偽名で、ヨーロッパ中に公開の挑戦状を出しました。一位には金貨 40 ピストル、二位には 20 ピストルを出すとし、締め切りは 1658 年 10 月 1 日でした。

October 8, 2026 読んだ
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中心極限定理

サイコロを一つ振ると、どの面も同じ確率で、確率のグラフは平らである。二つ振って足すと、和 7 がいちばん起こりやすく、グラフは三角形になる。十個、三十個、百個と振ると、和のグラフはしだいに釣鐘の形になっていく。サイコロのかわりに硬貨やルーレットや測定誤差を足しても同じことが起こる。この驚くべき事実が中心極限定理である。 ド・モアブルとラプラス 1733 年、アブラーム・ド・モアブルは硬貨についてこの現象を示した。何度も投げたときの表の回数は、曲線 $e^{-x^2}$ に近い分布をもつ。ラプラスは 1810 年の論文で、この結果を任意の偶然の和に広げた。偶然どうしが独立で、どれか一つがほかを圧倒しなければよい。 現代の言葉で言えば次のようになる。$X_1, X_2, \ldots, X_n$ をすべて同じ分布に従う独立な偶然とし、平均を $\mu$、分散を $\sigma^2$ とする。和 $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ の平均は $n\mu$、標準偏差は $\sigma\sqrt{n}$ で、 $$\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$$の分布は、$n$ が大きいとき、密度 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ の標準正規分布にどんどん近づく。 サイコロ サイコロ一つでは $\mu = 3.5$ で、 $$\sigma^2 = \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + 6^2}{6} - 3.5^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}.$$$n$ 個のサイコロの和の平均は $3.5\,n$、標準偏差は $\sqrt{\frac{35n}{12}}$ である。図は和の正確な分布と、同じ平均と標準偏差をもつ正規曲線を比べている。つまみを動かすと、ほんの数個のサイコロで二つがほとんど重なることがわかる。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 サイコロ 100 個では、平均は 350、標準偏差は $\sqrt{\frac{3500}{12}} \approx 17.1$ である。和が 330 から 370 のあいだ、つまり両側にそれぞれ約 1.2 標準偏差の範囲に入る確率はおよそ 76% になる。$6^{100}$ 通りの組み合わせを数える必要はない。

October 30, 2026 読んだ
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公平になる偏ったコイン

ゆがんだコインがあるとしよう。表が出る確率 $p$ はわからない。$0.7$ かもしれないし、$0.55$ かもしれない。これを使って、完全に公平な、五分五分のくじ引きができるだろうか。 乱数をつくる者の「罪の状態」について語ったのと同じ 1951 年の論文で、フォン・ノイマンは短く意外な答えを与えた。 工夫 コインを二回投げる。 表、裏と出たら「表」とする。 裏、表と出たら「裏」とする。 表、表か裏、裏と出たら、それは忘れて、もう二回投げる。 なぜ公平なのか。二回の投げは独立なので、 $$P(\text{表、裏}) = p\,(1-p), \qquad P(\text{裏、表}) = (1-p)\,p.$$$p$ が何であっても、これらは同じ数である。同じ結果の組は捨てられ、残った結果の中では表と裏がまったく同じ確率をもつ。コインがどれだけ偏っているかを知る必要はない。投げどうしが互いに影響しないことだけが必要なのだ。 代償 代償は組を捨てることだ。一組が使える確率は $2p(1-p)$ である。公平なコイン $p = \frac12$ なら、一組が使える確率は $\frac12$ で、結果一つあたり平均 $2$ 組、つまり $4$ 回の投げが要る。ひどく偏ったコインでは代償が急に大きくなる。$p = 0.9$ なら、一組が使える確率は $2 \times 0.9 \times 0.1 = 0.18$ しかなく、結果一つあたり平均およそ $11$ 回の投げが必要になる。 フォン・ノイマンの方法は、ランダムネス抽出器の祖先である。ランダムネス抽出器は、回路の電気的な雑音やマウスの動きのような不完全な偶然の源を、暗号が要求する一様なビットに変える。 コインは決して完全には公平でない 2007 年、数学者パーシ・ダイアコニス、スーザン・ホームズ、リチャード・モンゴメリーは、親指でふつうにはじいて投げたコインが、投げ始めと同じ面を上にして落ちる確率は半分より少し高く、およそ 51% であることを示した。2023 年には、35 万回を超える投げの実験がこの効果を確かめた。各組の二回の投げが独立であるかぎり、フォン・ノイマンの工夫はこの偏りを取り除く。 練習：70% のコイン$p = 0.7$ として、各種類の組の確率と、結果一つあたりの平均投げ回数を計算せよ。 $P(\text{表、表}) = 0.49$、$P(\text{裏、裏}) = 0.09$、$P(\text{表、裏}) = P(\text{裏、表}) = 0.21$。一組が使える確率は $0.42$ である。最初に使える組までの組数の平均は $\frac{1}{0.42} \approx 2.4$、つまり結果一つあたりおよそ $4.8$ 回の投げになる。

October 27, 2026 読んだ
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ヤコブ・ベルヌーイの遺産

ヤコブ・ベルヌーイは五十年しか生きず、生前に発表したものも多くはありません。ほとんどが『学術紀要』の短い論文です。それでも、今も毎日使われる言葉や記号や考えをこれほど多く残した数学者はまれです。積分、ベルヌーイ試行、二項分布、ベルヌーイ数、大数の法則、確率的（stochastic）。 積分という言葉 ライプニッツは、微分の逆の演算を calculus summatorius、和の計算と呼び、summa（和）の S を引きのばした $\int$ で書きました。1690 年 5 月、等時曲線の問題を解いたヤコブは、二つの式が「等しい積分」をもつと書きました。積分（integral）という言葉が数学の文献に印刷されたのは、これが最初です。ヨハンがこの用語を採用し、1696 年にはライプニッツも自分の「和の計算」をベルヌーイ兄弟の 積分計算 に改めることに同意しました。記号はライプニッツのもの、名前はヤコブのものとして残ったのです。 年 人物 記号または名前 出所 1659 ピエトロ・メンゴリ omnia $x$ Geometriae speciosae elementa 1675 ライプニッツ $\int x$ 1675 年 10 月 29 日の手稿 1690 ヤコブ・ベルヌーイ 「integral」 『学術紀要』 1696 ライプニッツとヨハン・ベルヌーイ calculus integralis 書簡 1822 フーリエ $\int_a^b f(x)\,dx$ 『熱の解析的理論』 つるされた鎖 1690 年の同じ論文で、ヤコブは、両端をつるした鎖がどんな形になるかを問いました。ガリレオは放物線だと考えていました。1691 年、ヨハン、ライプニッツ、ホイヘンスが正しい答え、懸垂線 を発表しました。今日では双曲線余弦を使って $y=a\cosh\frac xa$ と書かれます。ヤコブは弟との競争に負けましたが、問いは彼のものでした。懸垂線 の物語はヨハンのコースにあります。 ド・モアブルと正規曲線 黄金の定理は頻度が確率に近づくことを述べていましたが、必要な観察数についてのヤコブの見積もりは大きすぎました。1733 年、ロンドンに亡命していたフランス人アブラーム・ド・モアブルは、$n$ が大きいときの二項展開の項のよりよい近似を探し、釣鐘形の曲線 $$y=\frac1{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}$$を見つけました。これが 正規曲線 の最初の登場で、のちにラプラスとガウスがこれを統計学の中心にすえます。これを使えば、ヤコブの壺に必要なのは、彼が計算した 25 550 回ではなく、およそ 6 500 回です。

October 11, 2026 読んだ