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パスカルの原理：水で力を何倍にもする

ゾウとハイヒールをはいた女性。やわらかい地面に深く沈むのはどちらでしょうか。女性のほうかもしれません。ゾウは五十倍も重いのですが、その重さは四本の大きな足に広がっています。女性の重さは、細いヒールの先に集中しています。 地面を沈ませるのは力ではなく圧力です。圧力とは、力をそれがかかる面積で割ったものです。 $$p=\frac FA.$$圧力の単位はパスカルです。$1\ \text{Pa}=1\ \text{N/m}^2$、つまり 1 ニュートンの力が 1 平方メートルに広がった圧力です。これはとても小さな圧力で、海面での大気の圧力は約 $100\,000$ Pa です。 液体についての論文 1653 年ごろ、パスカルは『流体の平衡について』を書きました。出版されたのは彼の死後の 1663 年です。そこには、今日パスカルの原理と呼ばれる規則が書かれています。 閉じこめられて静止している液体の一点に加えられた圧力の増加は、液体のすべての点と容器の壁に、等しく伝わる。 歯みがきのチューブの真ん中を押すと、口から中身が出てきます。指の圧力がそこまで届いたのです。風船に水を入れ、何か所か穴をあけて押すと、すべての穴から、あらゆる方向に水が噴き出します。 破裂した樽 パスカルが有名な実演をしたという話があります。水をいっぱいに入れてしっかり閉じた樽のふたに、高さ約 10 メートルの細くて長い管を差し込みました。バルコニーに上がって管に水を注ぐと、1 リットルあまりで樽が破裂したというのです。 この場面が本当にそのとおりだったかはわかりませんが、計算するとありえたことがわかります。高さ $h$ の液柱の底での圧力は $$p=\rho gh,$$です。$\rho$ は液体の密度、$g\approx9.8\ \text{m/s}^2$ です。高さ 10 メートルの水なら、$\rho=1000\ \text{kg/m}^3$ として $$p=1000\cdot9.8\cdot10=98\,000\ \text{Pa}.$$大事なのは水柱の高さで、水の量ではありません。管の断面積が $1\ \text{cm}^2$ なら、10 メートルの水はたった $1$ リットルです。ところが、この $98\,000$ Pa は樽のふた全体に伝わります。ふたの面積が $0.2\ \text{m}^2$ なら、ふたにかかる力は $$F=pA=98\,000\cdot0.2=19\,600\ \text{N},$$2 トンのものの重さに相当します。細い管の中のたった 1 リットルの水が、自動車が載っているような力でふたを押すのです。 水圧機 パスカルは、この原理を使えば力を何倍にもできることに気づきました。水を満たした二つの円筒が底でつながり、それぞれピストンでふさがれているとします。一方は細く、もう一方は太い。細いピストンを力 $F_1$ で押すと、圧力は $F_1/A_1$ だけ増え、その同じ増加が太いピストンに伝わります。 $$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2}\quad\Longrightarrow\quad F_2=F_1\cdot\frac{A_2}{A_1}.$$ 小さなピストンを押す一人の人は、百倍広いピストンを押す百人の人の力に等しくなる。 — ブレーズ・パスカル『流体の平衡について』 小さいほうの面積が $2\ \text{cm}^2$、大きいほうが $8\ \text{cm}^2$ なら、比は $4$ です。小さいピストンに $50$ N の力をかけると、大きいピストンでは $200$ N になります。車を持ち上げる油圧ジャッキも、足一本の力で車を止めるブレーキも、ショベルカーも、この仕組みで動いています。

October 8, 2026 読んだ
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明日も太陽は昇るか？　継起の規則

古典的な確率は原因から結果へ向かう。硬貨が公正だとわかっているとき、表が出る確率はいくらか。だが問題は逆であることが多い。結果を見て、原因について知りたいのである。ある結果を見たあとで、硬貨について何が言えるか。この原因の確率をはじめて数学的に扱ったのはイギリスの牧師トマス・ベイズで、その論文は彼の死後、1763 年に発表された。ラプラスは 1774 年に、ベイズを知らないまま独立に同じ考えに達した。そしてそれを発展させ、応用したのはラプラスである。 中身のわからない壺 白い玉と黒い玉が、わからない割合 $p$ で入った壺を考える。$p$ については何も知らない。0 から 1 までのどの値も同じくらいありそうに思える。玉を $n$ 個（毎回戻しながら）取り出したところ、すべて白だった。次も白である確率はいくらか。 割合が $p$ なら、白が $n$ 回続く確率は $p^n$ である。見たことをよく説明する $p$ の値ほど重みが大きくなる。各 $p$ に $p^n$ の重みをつけると、次が白である確率は、この重みでとった $p$ の平均になる。 $$P(\text{次も白}) = \frac{\int_0^1 p \cdot p^n\,dp}{\int_0^1 p^n\,dp} = \frac{\frac{1}{n+2}}{\frac{1}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}.$$これがラプラスの継起の規則である。観測がまったくないとき（$n = 0$）は $\frac{1}{2}$。白が一つ出たあとは $\frac{2}{3}$、十個出たあとは $\frac{11}{12}$。もっと一般に、$n$ 回のうち $s$ 回白が出たなら、次が白である確率は $\frac{s+1}{n+2}$ である。 図は、白が積み重なるにつれて重みの曲線 $(n+1)p^n$ がどう変わるかを示している。曲線は $p = 1$ の近くに集まっていくが、確実になることはけっしてない。 この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。 日の出 1814 年の『哲学的試論』で、ラプラスはこの規則を、のちに有名になる例にあてはめた。記録に残る歴史が 5000 年、つまり $1\,826\,213$ 日あり、そのすべての日に太陽が昇ったとする。規則によれば、明日太陽が昇る確率は

October 30, 2026 読んだ
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歴史的な画像 すべてウィキメディア・コモンズから取りました。コモンズが提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ヤコブ・ベルヌーイの肖像、1687 年に弟ニクラウス・ベルヌーイが描いたもの：元のページ · パブリックドメイン。 『推測術』の扉、バーゼル、1713 年：元のページ · パブリックドメイン。 ヤコブ・ベルヌーイの墓石、バーゼル大聖堂の回廊、Wladyslaw Sojka 撮影：元のページ · フリー・アート・ライセンス。 オウムガイの殻の断面、Florian Elias Rieser 撮影：元のページ · CC BY-SA 4.0。 ブログの図 表紙、二つの螺旋の図、硬貨投げのシミュレーションでの表の割合のグラフは、このサイトのオリジナルのイラストで、サイトの各言語の版があります。遺産の記事にある積分の記号の表は、このサイトの旧微積分講座の表をもとに作りなおしたものです。 記録 ファイル data/bernoulli_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出所、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各トピックの歴史的な出典は、それぞれの記事の末尾にあります。 ヤコブ・ベルヌーイの全トピック · ← ヤコブ・ベルヌーイの遺産

October 11, 2026 読んだ
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空気の重さ：ピュイ・ド・ドームの実験

二千年ものあいだ、学者たちはアリストテレスの言葉をくり返してきました。自然は真空を嫌う。ストローで空気を吸うと液体が上がってくるのは、自然がそこを空っぽのままにしておかないからだ、というのです。これですべてが説明できるように思えました。 ところが、フィレンツェの井戸掘り職人たちは困っていました。どんなに頑張っても、吸い上げポンプでは水を約 10 メートルより高く上げられなかったのです。自然の真空嫌いが、なぜ 10 メートルで止まるのでしょうか。 トリチェリの管 1643 年、ガリレオの弟子だったイタリアのエヴァンジェリスタ・トリチェリは、一方の端を閉じた長さ 1 メートルのガラス管に水銀を満たしました。もう一方の端を指でふさぎ、管を逆さにして水銀を入れた盆に立て、指を離しました。水銀は下がって約 76 cm の高さで止まり、管の上部に何もない空間が残りました。 トリチェリの説明は大胆なものでした。水銀柱を支えているのは真空嫌いではなく、盆の表面を押している空気の重さだというのです。私たちは空気の海の底に住んでいる、と彼は書きました。水銀は水の約 13.6 倍の密度があり、$76\ \text{cm}\times13.6\approx10.3$ m です。フィレンツェのポンプの限界と同じ値です。 パスカル、実験を高いところへ パスカルは 1646 年にこの実験のことを聞き、ルーアンで水やワインを満たした巨大なガラス管を使って再現しました。しかし彼は決定的な検証をしたいと考えました。彼の推論はこうです。もし水銀を支えているのが空気の重さなら、上にある空気が少ない山の頂上では、水銀柱は低くなるはずだ。もし原因が真空嫌いなら、高さは何の違いももたらさないはずだ。 パスカルはパリに住んでいて、体も弱かったので、1647 年 11 月、クレルモンに住む義兄フロラン・ペリエに手紙を書きました。クレルモンは、高さ 1500 メートル近い死火山ピュイ・ド・ドームのふもとにある町です。 1648 年 9 月 19 日 ペリエは証人になってもらうために、クレルモンの神父や名士たちと一緒に山に登りました。管を二本と水銀を持っていきました。この実験には現代的な発想がありました。登る前に、町でいちばん低いところにあるミニム会修道院の庭で二本の管を組み立て、同じ高さになることを確かめたのです。一本はそこに残し、シャスタン神父という修道士に一日じゅう見張ってもらいました。もう一本を持って山に登りました。 ピュイ・ド・ドームの山頂にある 1648 年の実験の記念碑。パスカル生誕三百年の 1923 年に撮影。Agence Rol、1923 年 · フランス国立図書館 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン 当時の単位での測定結果は次のとおりです。 場所 水銀の高さ クレルモンのミニム会修道院の庭 26 プース 3½ リーニュ ピュイ・ド・ドームの山頂（約 500 トワーズ上） 23 プース 2 リーニュ フランスの 1 プースは約 $27.07$ mm、1 リーニュは 1 プースの $\frac1{12}$ です。換算すると

October 8, 2026 読んだ
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パスカルの賭け：証明ではなく、計算

パスカルが「神の存在を証明した」と聞いたことのある人は多いでしょう。彼はそんなことはしていませんし、それはできないとはっきり書いています。彼が提案したのは、もっと興味深いことでした。理性で決着がつかないのなら、問いを取り替えよう、というのです。「神は存在するか」と問うかわりに、「どちらに賭けるほうが得か」と問う。そしてこの二つめの問いに、フェルマーと生み出したばかりの数学、つまり公平な分配の数学で答えようとしたのです。 書き込みだらけの紙 『パンセ』の自筆の紙片。パスカルの死後、大きな台帳に貼りつけられたもので、2016 年のフランス国立図書館の展覧会で撮影された。パスカルは紙切れに、いろいろな向きに書き、何度も線で消しました。ActuaLitté · Wikimedia Commons · CC BY-SA 2.0 晩年のパスカルは、キリスト教を弁護する本のためにメモを集めていましたが、その本を書き上げることはありませんでした。1662 年に彼が亡くなると、友人たちは何百もの断片を見つけました。はさみで切り抜かれ、糸で束ねられたものもありました。友人たちはその一部を選び、1670 年に『パンセ』（思考）という題で出版しました。 賭けの断片は、二つ折りにした一枚の紙で、両面に書かれ、余白や逆さまの向きにも書き足されています。編者たちはこれを書き出しのことばで呼んでいます。**「無限、無」**です。これはパスカルと、信仰をもたない相手との対話で、その相手は、パスカルがパリの社交界で知り合ったシュヴァリエ・ド・メレのような賭博師たちをモデルにしているのかもしれません。 理性では決められない 出発点は、無力の告白です。 神は存在するか、しないかである。だが、私たちはどちらの側に傾くのか。理性はここでは何も決定できない。無限の混沌が私たちを隔てている。この無限の距離の果てで、ある勝負が行われていて、表か裏かが出る。あなたは何に賭けるか。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』、断片「無限、無」 相手は、正しいのは何にも賭けないことだと答えます。パスカルはその逃げ道を認めません。 そうだ、しかし賭けなければならない。それは任意ではない。あなたはもう船に乗っているのだ。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』、断片「無限、無」 信じる者として生きることも、信じない者として生きることも、すでに一つの選択です。選ばないことは、後者を選ぶことになります。 四つのマスの表 今日では、この賭けは表の形で書かれます。選択が二つ、世界の状態が二つあります。 神は存在する 神は存在しない 信じる 無限の利得：「無限に幸福な無限の生」 失うものは少ない：いくつかの楽しみ 信じない すべてを失う 得るものは少ない：その同じ楽しみ パスカルはこの表を三つの段階でたどり、段階ごとに議論は強くなっていきます。哲学者イアン・ハッキングは 1972 年の論文で、これらが三つの別々の議論であり、三つめが期待値の計算であることを示しました。 第一段階：優越。「勝てば、すべてを得る。負けても、何も失わない。だから、ためらわずに神が存在するほうに賭けなさい。」どの列でも信じるほうがよいか同じなら、計算するまでもありません。 **第二段階：五分五分のときの計算。**相手は、自分は何かを失うと反論します。パスカルはそれを認め、サイコロの勝負のように計算します。勝ち負けの見込みが五分五分なら、一つの命を賭けて二つの命を得るのは割に合う。一つを賭けて三つを得る勝負を見送るのは愚かだ、と。 **第三段階：無限。**では、見込みが五分五分でなかったら？ パスカルは、それは問題ではないと答えます。 ここには、得るべき無限に幸福な無限の生があり、負けの有限個の見込みに対して勝ちの見込みが一つある。そしてあなたが賭けるものは有限である。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』、断片「無限、無」 計算 神が存在する確率をあなたがどれほど小さく見積もっても、それを $0$ より大きい $p$ としましょう。信仰生活のコストを有限の数 $c$、神が存在する場合の利得を $G$ とします。信じることの期待値は $$E(\text{信じる})=p\cdot G-(1-p)\cdot c$$です。$G$ が有限なら、結果はどうにでもなります。$p$、$G$、$c$ しだいです。しかしパスカルは $G=\infty$ とおきます。すると、どんな $p>0$ についても $$p\cdot\infty-(1-p)\cdot c=\infty$$となり、有限のどんな選択肢も太刀打ちできません。これは賭け金の分配と同じ考え方です。それぞれの賭けの価値は、賞金に見込みをかけたものです。違うのは、今度は賞金が無限大だということです。 1670 年版を写した海賊版の一冊にある『パンセ』の最初のページ。第 1 章の題は「無神論者の無関心に反対して」です。Clermont Auvergne Métropole · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 証明ではない この計算が言っていないことに注意してください。計算は確率 $p$ を少しも大きくしません。神が存在する見込みは千に一つだと思っていた人は、賭けのあとでも千に一つだと思っています。この議論は何をすべきかについてのもので、何が真かについてのものではありません。

October 8, 2026 読んだ
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パスカルの遺産

心には、理性の知らない理由がある。 — ブレーズ・パスカル『パンセ』 パスカルが完成させた本はわずかです。数学について書いたもののほとんどは、一枚刷りや手紙の形で、あるいは死後に発表されました。それでも、これほど多くの場所に顔を出す著者はめったにいません。学校で習う三角形、天気予報、車のブレーキ、保険の計算、そしてプログラミング言語の名前にまで。 賭け 『パンセ』の中で最も有名な一節は、幾何学についてのものではありませんが、パスカルがフェルマーと生み出したばかりの数学を使っています。それがパスカルの賭けです。これは神の存在を証明しようとするものではありません。パスカルは、理性ではこの問いに決着がつかないと述べ、期待値のように得と損を見込みで重みづけて、どちらに賭けるほうが得かを問います。信仰の側の利得が無限大なら、正の確率でさえあれば十分です。この議論とその三つの形、ディドロとヴォルテールの反論はパスカルの賭けにまとめました。これは、不確かさのもとで選ぶための数学である意思決定理論の最初の文章とみなされています。 短くする時間がなかった 第 16 の『プロヴァンシアル』の終わりで、パスカルは読者にこう詫びています。「この手紙が長くなったのは、短くする時間がなかったからにほかなりません。」 この一文は、急いでよい文章を書かなければならない人たちに、今も引用されています。 フェルマーへの最後の手紙 1660 年、フェルマーは、トゥールーズとクレルモンのあいだの道のりを半分ずつ旅して会おうと提案しました。病気だったパスカルはそれを断り、その手紙には晩年の彼が数学をどう見ていたかが表れています。 率直に申しますと、幾何学は精神の最高の鍛錬だと思います。しかし同時に、それがあまりに役に立たないものだとも知っていますので、ただの幾何学者と腕のよい職人とのあいだに、ほとんど違いを認めません。 — ブレーズ・パスカル、フェルマーへの手紙（1660 年 8 月 10 日） 二人はついに会うことはありませんでした。 残されたもの 確率論。 1654 年の書簡はホイヘンスを刺激し、彼は 1657 年にこの分野で最初の本を出版しました。その後にヤコブ・ベルヌーイ、ド・モアブル、ラプラスが続きます。保険、宝くじ、統計学、データサイエンスは、あの手紙の子孫です。 組合せ論と帰納法。 『算術三角形論』は組合せを整理し、数学的帰納法をはじめてはっきりと述べました。 射影幾何学。 神秘の六角形は射影幾何学の基礎となる定理の一つとなり、19 世紀にポンスレやブリアンションによって再び取り上げられました。 微積分。 ライプニッツは、パスカルの四分円についての著作を読んでいるときに特性三角形の考えを得たと語っています。これは微積分への一歩でした。 物理学。 真空の実験とピュイ・ド・ドームの実験は真空嫌いの説に終止符を打ち、気圧計と高度計を生みました。パスカルの原理は、あらゆる油圧装置に使われています。 計算機。 パスカリーヌは、製造され販売された最初の計算機でした。 残った名前 1971 年、国際単位系の圧力の単位はパスカル（Pa）と名づけられました。天気予報で「1013 ヘクトパスカル」と言うとき、それは $101\,300$ Pa、つまりパスカルが義兄に測らせた海面の気圧のことです。 1970 年、スイスの計算機科学者ニクラウス・ヴィルトは、プログラミングをわかりやすく教えるための言語を作り、パスカリーヌの発明者をたたえて Pascal と名づけました。何世代もの学生がこの言語でプログラミングを学びました。 考える葦 このコースの冒頭の言葉には続きがあります。「彼をおしつぶすために、宇宙全体が武装する必要はない。一吹きの蒸気、一滴の水でも彼を殺すには十分である。だが、たとえ宇宙が彼をおしつぶしても、人間は彼を殺すものより尊い。人間は自分が死ぬことを知っているからである。」 これを書いたのは、18 歳のときから自分が長くは生きられないと知っていた人でした。 まとめ パスカルは 1623 年から 1662 年まで生きた。16 歳で六角形の定理を発表し、19 歳でパスカリーヌを作り始めた。 算術三角形では、各数はその上の二つの数の和で、$n$ 行目の和は $2^n$、そしてその数は組合せの数 $\binom nk$ である。 この三角形はパスカル以前にインド、ペルシア、中国、ヨーロッパで知られていた。彼はそれを深く研究した。 1654 年、パスカルはフェルマーとともに確率論と期待値の考えを生み出した。 サイクロイドの一つのアーチの下の面積は $3\pi r^2$ で、車輪の面積の三倍である。 静止した液体では、圧力の増加はすべての点に等しく伝わる。水圧機は力を何倍にもするが、仕事は増やさない。 ピュイ・ド・ドームの山頂では、水銀が 8.5 cm 下がった。空気には重さがある。 練習：5 レアルのくじが、25 分の 1 の確率で 100 レアルになります。期待値で考えると、買う価値はありますか？期待される利得は $100\cdot\frac{1}{25}=4$ レアルです。くじは 5 レアルなので、一枚あたりの期待値は $4-5=-1$ レアルです。平均すると、一枚ごとに 1 レアル損をします。

October 8, 2026 読んだ
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歴史的な肖像 ロラン・ルフェーヴル作とされる肖像はウィキメディア・コモンズから取得したもので、パブリックドメインです。コモンズが提供するサムネイルを編集せずに使用し、キャプションには所蔵元が示す作者表記をそのまま残しています。 出典ページ。 パブリックドメイン・マーク。 ブログの図 表紙と屈折の説明図はオリジナルの図版です。べきの余り、長方形の面積、中断した勝負の分配のインタラクティブな図は、このシリーズのために作成しました。これらは教材であり、フェルマーの手稿を再現したものではありません。たとえば分配の図は、各回が独立で、両者の見込みが等しいと仮定しています。 記録 ファイル data/fermat_imagens.json に、肖像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュを記録しています。各テーマの歴史資料は、それぞれの記事の末尾に記載しています。 追加した歴史図版 これらの図版はウィキメディア・コモンズによる。それぞれの出典、ライセンス、SHA-256 ハッシュ値は data/fermat_imagens.json に記録してある。 ディオファントス『算術』（1670）、問題 II.8 とフェルマーの注: ディオファントス、サミュエル・ド・フェルマー編（1670） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ディオファントス『算術』（1670）339 ページ、無限降下法の証明: ディオファントス、サミュエル・ド・フェルマー編（1670）、Leonid 2 による修復 · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ディオファントス『算術』の扉（トゥールーズ、1670）: ベルナール・ボスク、トゥールーズ（1670） · Wikimedia Commons · パブリックドメイン ボーモン＝ド＝ロマーニュのフェルマー記念像: Didier Descouens · Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 フェルマーの全トピック · ← フェルマーの遺産

October 7, 2026 読んだ
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パスカルの画像クレジット

歴史的な画像 すべて Wikimedia Commons から取得しました。Commons が提供するサムネイルを、編集せずに使っています。 ブレーズ・パスカルの肖像、作者不詳、1690 年ごろ、ヴェルサイユ：出典ページ · パブリックドメイン。 楊輝の三角形、朱世傑の 1303 年の書物より：出典ページ · パブリックドメイン。 『算術三角形』（Triangulus arithmeticus）の最初のページ、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵本：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 パリ工芸博物館のパスカリーヌ、David Monniaux 撮影、2005 年：出典ページ · CC BY-SA 3.0。 ピュイ・ド・ドームの実験の記念碑、Agence Rol、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 サン・テティエンヌ・デュ・モン教会の墓所の銘板、Agence Meurisse、1923 年、フランス国立図書館：出典ページ · パブリックドメイン。 『パンセ』の自筆原稿、フランス国立図書館の展覧会、ActuaLitté 撮影、2016 年：出典ページ · CC BY-SA 2.0。 『パンセ』の最初のページ、1670 年版の海賊版、クレルモン・オーヴェルニュ・メトロポール所蔵：出典ページ · CC BY-SA 4.0。 ブログの図版 表紙、鉢の噴水、繰り上がりの図、サイクロイドのアーチはオリジナルの図版です。三角形、賭け金の分配、水圧機の操作パネルは、このコースのために作ったものです。これらは学習のための補助で、写本の複製でも、パスカリーヌの内部機構の再現でもありません。 記録 ファイル data/pascal_imagens.json には、ダウンロードした各画像の出典、ライセンス、確認日、SHA-256 ハッシュが記録されています。各テーマの歴史的な出典は、それぞれの記事の最後に載せています。 パスカルの全トピック · ← パスカルの遺産

October 8, 2026 読んだ
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ITA 2025 – 第2次試験：数学の解説

出典： ITA ――第2次試験・数学の問題。 ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2025 第2次試験の数学は記述式10問である。ITA は記述式の公式解答を公表していない （第2次試験の公式正答はポルトガル語の選択式問題だけ）。以下の解答は筆者によるもので、各答えは 別の方法（代入、別の公式、コンピュータ）で確認してある。 答え一覧 問題 内容 答え 1 $x^2 - x + 1$ で割った余り $a = -1$、$b = 3$ 2 楕円：$y/x$ の最大値 $r = \sqrt{3}$ 3 三角関数の連立方程式 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$ 4 傍接円 $15\sqrt{3}$ 5 $3^{100}$ の最高位の数字 5 6 確率：$n$ 回目に4回目の表 $n = 6$ と $n = 7$ 7 重根をもつ多項式と直角三角形 $a = \pm\frac{3\sqrt[4]{2}}{2}$、$b = \mp\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ 8 行列式の和 1013 9 $A^{-1} = A^T$ を満たす整数行列 3840 10 対角線に垂直な面への立方体の射影 $4\sqrt{3}$ 問題 1：x² − x + 1 で割った余り 問題文 多項式 $p(x) = x^{57} + ax^{14} + bx^7 + 1$ を $x^2 - x + 1$ で割った余りが $2x + 1$ になるような 実数 $a$、$b$ を求めよ。

October 28, 2026 読んだ
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ITA 2023 – 第1次試験：数学の解説

出典： ITA ――第1次試験の問題 と公式の正答。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2023 の第1次試験は選択式60問で、各科目12問（物理、ポルトガル語、英語、数学、化学） であった。本稿では数学の問題を、試験と同じ37番から48番の番号で扱う。 試験の記法。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i^2 = -1$；$M_n(\mathbb{R})$ は実数成分の $n \times n$ 行列全体；$\overline{AB}$ は線分、$AB$ は $A$ と $B$ を通る直線；$m(\overline{AB})$ は $\overline{AB}$ の長さ；$A\hat{O}B$ は頂点 $O$ の角；$\det A$ は $A$ の行列式。 正答一覧 問題 内容 正答 37 行列式と解がただ1つの方程式 C 38 複素数：$f(z) = z^2 + i$ の反復 E 39 凸多角形と等差数列 B 40 多項式：根の調和平均 C 41 指数関数：不等式 B 42 平面図形：三角形に入る長方形 D 43 複素数：べきの和 D 44 双曲線：焦点とつくる三角形 A 45 確率：硬貨のゲーム B 46 回転体：2つの円錐 E 47 三角方程式 A 48 多項式：次数が3の倍数の項の係数 C 問題 37：行列式を含み解がただ1つの方程式 問題文 $A \in M_3(\mathbb{R})$ を、方程式 $\det(\sqrt[3]{2}\,x^2 A) + \det(xA^3) = \det A^2$ を満たす 実数 $x$ がただ1つ存在するような行列とする。このとき $x + \det A$ は

October 28, 2026 読んだ
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ITA 2022 – 第1次試験：数学の解説

出典： ITA ――第1次試験の問題 と公式の正答。ファイルは ITA の過去問ページにある。 ITA 2022 の第1次試験は選択式70問で、物理15問、ポルトガル語15問、英語10問、 数学15問、化学15問であった。本稿ではそのうち数学の問題を、試験と同じ 41番から55番の番号で扱う。 試験の記法。 $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$；$i$ は虚数単位（$i^2 = -1$）； $M_n(\mathbb{R})$ は実数成分の $n \times n$ 行列全体；$\overline{AB}$ は $A$、$B$ を端点とする 線分で、$m(\overline{AB})$ はその長さ；$A\hat{O}B$ は半直線 $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ がつくる、頂点 $O$ の角。 正答一覧 問題 内容 正答 41 対数：底の変換 B 42 平面図形：垂直二等分線と三平方の定理 E 43 同値な連立一次方程式 C 44 複素数：実数に関する命題 A 45 多項式と複素平面上の面積 D 46 行列：可換性と行列式 E 47 正接と等差数列 D 48 二次曲線：双曲線の中心 C 49 空間図形：立方体の中の角錐と外接球 D 50 空間における位置関係 A 51 2進表記と確率 C 52 確率：立方体の頂点を通る直線 A 53 三角形と三角比 C 54 三角方程式 C 55 正弦定理と外接円 C 問題 41：底が 120 と 14400 の対数の和 問題文 $$x = 9\log_{120} 2 + 3\log_{120} 3 + 2\log_{14400} 125$$のとき、次のことがいえる。

October 28, 2026 読んだ
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FUVEST 2026 – 第 2 フェーズ: 数学の解決

出典: FUVEST – 第 2 フェーズ 2 日目のテスト （特定のテスト。数学には問題 M01 から M06 があります）および 数学の予想される答え。 FUVEST コレクション 2026 内のファイル。 FUVEST 2026 の第 2 段階では、2 日目はそれぞれの具体的なエッセイテストで構成されました。 エリア; 数学検定はM01からM06までの6問あり、それぞれに項目があります。 a)、b)、および c)。このテストに関して、FUVEST は予想解答を公開しました。の 以下の決議は私たちのものであり、それぞれを第二の方法で確認しました。 公式の予想される回答と一致します。 テンプレート 質問 主題 答え M01 確率：アララ文字の抽選 a) $\frac{3}{10}$; b) $\frac{1}{10}$; c) $\frac{1}{120}$ M02 リニア システム: アルコールのボトルの販売 a) 45 および 5。 b) R$ 7,80; c) 不可能 M03 三角法: 海底ソナー a) 3 m; b) $120 - 5\sqrt{2} \approx 112{,}93$ m; c) 100 m M04 パーセンテージ: 増加後に割引が続く a) $33{,}\overline{3}\%$; b) $y = \frac{100x}{100 + x}$; c) $m = 25$ M05 空間幾何学: 立方体に内接するピラミッド a) 1 m; b) 4 m; c) $2\sqrt{3}$ m M06 モジュール化された機能と領域 a) $(1,1)$ e $(-1,1)$; b) 4; c) $d^3$ 問題 M01: ARARA の文字を描く (確率) 声明 「アララ」という言葉は、鳥の美しさや回文であることに加えて、一般的に使われています。 によって形成されるため、組み合わせ分析と確率の演習で使用されます。 5 つの文字のうち、異なる文字は 2 つだけです。この単語の文字を仮定すると、 各文字が削除される可能性が等しい壺の中にある場合、次のように答えてください。

September 28, 2026 読んだ