終わらない和：級数の等号
次のように書く。
$$1+\frac12+\frac14+\frac18+\cdots=2.$$$3+4=7$ のような計算に見える。左に項、右に結果。しかし、これらの項をすべて足した人は誰もいないし、これからもいない。ここでの等号は、第4章が挙げたどの仕事とも違う仕事をしている。それが主張しているのは、部分和
$$1,\quad1.5,\quad1.75,\quad1.875,\quad\ldots$$が望むだけ $2$ に近づく、ということである。記号では
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^n}=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\frac1{2^n}=2.$$$\Sigma$ の上の $\infty$ は、前の文章の方向としての $\infty$ と同じである。最後の項ではなく、続けよという指示なのだ。
0.999… = 1 学生をいちばん落ち着かなくさせる等式は
$$0.999\ldots=1$$である。多くの人は、$0.999\ldots$ は $1$ に「とても近づくが、けっしてたどり着かない」と考える。この反論には記号論的な根があり、点線は進行中の過程を描いているように見え、過程は終わらないからである。しかし $0.999\ldots$ は過程ではない。その過程の極限の名前である。
$$0.999\ldots=\frac9{10}+\frac9{100}+\frac9{1000}+\cdots=\frac{9/10}{1-1/10}=1.$$研究者のデイヴィッド・トールとシュロモ・ヴィナーは、古典となった 1981 年の研究で、これを概念イメージ（学生が記号を見て思い浮かべるもの）と概念定義の衝突と呼んだ。イメージは「近づいていく何か」であり、定義は「すべてがそこへ近づいていく数」である。
人をだます和 部分和がどこにも近づかないときも、$=$ を使った書き方は変わらない。危険はそこにある。
グランディの級数。 1703 年、イタリアの神父グイド・グランディは
$$1-1+1-1+1-\cdots$$を考えた。ある組み方では $(1-1)+(1-1)+\cdots=0$。別の組み方では $1-(1-1)-(1-1)-\cdots=1$。グランディは和が $\frac12$ だと結論し、そこに無からの世界創造の姿を見た。部分和 $1,0,1,0,\ldots$ はどこにも近づかない。この級数は、極限の意味での和をもたない。
オイラーの $-1$。 等比級数の公式 $1+x+x^2+\cdots=\frac1{1-x}$ は $|x|<1$ で成り立つ。オイラーはこれを $x=2$ に使って
$$1+2+4+8+\cdots=\frac1{1-2}=-1$$と書いた。正の数の和が負になったのである。書き方はこの代入に抗議もせず受け入れた。点線つきのすべての $=$ に収束の証明を求めるには、19 世紀の数学者たちを待たなければならなかった。
順序が大事になる 有限の和では、項の順序は関係ない。$3+4=4+3$。無限の和では、関係しうる。交代調和級数
$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\cdots=\ln2\approx0.693$$は収束する。では同じ項を、正の項一つのあとに負の項を二つ置くように並べ替えてみよう。
$$1-\frac12-\frac14+\frac13-\frac16-\frac18+\frac15-\frac1{10}-\frac1{12}+\cdots$$三つずつまとめると、各組は $\frac1{2k-1}-\frac1{2(2k-1)}-\frac1{4k}=\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k}\right)$ で、和全体はもとの半分、$\frac12\ln2$ になる。ベルンハルト・リーマンは、このような級数では、うまく並べ替えれば望むどんな値にもできることを証明した。記号 $\Sigma$ は項の順序を見せない。そしてここでは、順序がすべてなのである。
アキレスと亀
2500 年前のエレアのゼノンのパラドックスは、変装した級数である。アキレスは亀の十倍の速さで走り、亀は 100 メートル先から出発する。アキレスが亀のいた場所に着くと、亀は 10 メートル進んでいる。そこに着くと、亀はさらに 1 メートル進んでいる。これが続く。ゼノンは、アキレスはけっして亀に追いつけないと結論した。級数 $100+10+1+0.1+\cdots=111.1\ldots$ は、彼が $111\frac19$ メートル走ったところで追いつくことを示している。パラドックスは、無限に多くの段階を無限の時間と取り違えたことから生まれる。 練習：0.333… と 0.999…$0.333\ldots$ を等比級数として書き、和を計算せよ。次に、その結果を使って $0.999\ldots$ を求めよ。
