解析幾何学

ルネ・デカルトの生涯

タイムライン 159631年3月、フランス、トゥーレーヌ地方のラ・エーに生まれる。 1607ヨーロッパで最高のイエズス会学校の一つであるラ・フレーシュ校に入学してください。 1616彼はポワティエ大学で法学を卒業しました。 1618彼はオランダのナッソーのモーリスの軍隊に加わり、アイザック・ビークマンと出会う。 161910 11 月の夜、彼は 3 つの夢を見て、それを使命として従うことにしました。 1628彼はオランダに移住し、そこで約 20 年間暮らします。 1633彼はガリレオの有罪判決を知ってザ・ワールドの出版を断念した。 1637方法論と付録幾何学を出版します。 1641『*第一哲学の瞑想』*を出版。 1643彼はボヘミア王女エリザベートと手紙のやりとりを始める。 1649彼はスウェーデンのクリスティーナ女王の招待でストックホルムに行きます。 165011 2月にストックホルムで死去。 ◀ 前へ旅をたどる次へ ▶ 1596 ラ・エートゥレーヌの小さな町に生まれる。町は今、彼にちなんでデカルトと呼ばれている。 1607–1614 ラ・フレーシュヨーロッパ屈指のラ・フレーシュのイエズス会学院で学ぶ。朝はベッドにいてよいと許されていた。 1616 ポワティエポワティエ大学で法学の学位を得る。 1618 ブレダナッサウのマウリッツの軍に入り、物理と数学の問題を出してくるイサーク・ベークマンと知り合う。 1619 ウルム近郊ある冬の夜、ストーブで暖めた部屋で三つの夢を見て、それを使命として従うことに決める。 1628–1649 オランダ約二十年をネーデルラント連邦共和国で過ごし、何度も住まいを変える。1637 年、ライデンで『方法序説』と付録『幾何学』を出版する。 1649–1650 ストックホルム朝五時の講義を望むクリスティーナ女王に招かれて行く。1650 年 2 月 11 日、肺炎で亡くなる。地図を見るには JavaScript を有効にしてください。各地点は下の一覧にあります。トゥレーヌからオランダへ、そして晩年にはスウェーデンへ。デカルトのたどった道。地図：© OpenStreetMap 協力者デカルトの道：フランスからオランダ、そして生涯の終わりにスウェーデンへ。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

September 30, 2026 読んだ

アニェージの曲線

自分の名がついた曲線を、アニェージが発見したわけではない。しかしこの曲線が知られるようになったのは彼女の本を通じてだった。彼女はこれを、幾何学的な作図から方程式へ移る方法の例として使った。それこそがデカルトの新しい方法の約束していたことである。作図直径 $OM = a$ の円を、$O$ を下、$M$ を上にして描き、$M$ で円に接する直線を引く。そして接線の上に任意の点 $N$ をとる。直線 $ON$ を引く。これは円と点 $A$ で交わる。曲線の点 $P$ は、$N$ を通る縦の線と、$A$ を通る横の線の上にある。 $N$ を接線にそって動かすと、点 $P$ は釣鐘の形の曲線をえがく。この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。方程式 $O$ を原点におき、$y$ 軸を直径にそってとる。円の中心は $\left(0, \frac{a}{2}\right)$、半径は $\frac{a}{2}$ だから $$x^2 + \left(y - \frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 + y^2 = ay.$$$M$ での接線は直線 $y = a$ で、点 $N$ は $(n, a)$ である。直線 $ON$ 上の点は $(tn, ta)$ の形をしている。円の方程式に代入すると

October 28, 2026 読んだ

フェルマーと解析幾何学：方程式の中の曲線

2000 年近くの間、幾何学と代数は別々に暮らしていました。ギリシアの幾何学は定規とコンパスと図形を使い、アラブ世界を経てヨーロッパに伝わった代数は方程式を使いました。17 世紀のはじめ、二人の人物が同時に、相談することもなく、両者を結びつけるというアイデアを思いつきました。ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーです。一つの分野を生んだ一文 1636 年ごろ、フェルマーはラテン語で短い文章『平面および立体の軌跡への序論』を書きました。「軌跡」とは、ある条件を満たす点の集合を指すギリシア人の言葉です。たとえば円は、中心から一定の距離にある点の軌跡です。冒頭で、フェルマーはこう書いています。最終的な方程式に二つの未知量が現れるときはいつでも、軌跡が得られ、そのうち一方の端点が直線または曲線を描く。 — フェルマー『平面および立体の軌跡への序論』言いかえれば、二つの未知数をもつ方程式は曲線だということです。解 $(x,y)$ の一つ一つが点で、すべての解を合わせると一枚の絵になります。この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。先に思いついたのは誰？フェルマーの文章は 1636 年から写本として出回っていましたが、印刷されたのは彼の死後、1679 年でした。デカルトの『幾何学』は 1637 年に『方法序説』の付録として出版され、名声を得ました。今日の歴史家は、二人とも解析幾何学の独立した創始者だと認めています。直線フェルマーはヴィエトの流儀で、未知数には母音、既知数には子音を使いました。直線は「D in A aequetur B in E」と書かれ、今日の記号では $$D\cdot x=B\cdot y.$$$y$ について解くと $y=\dfrac DB\,x$。原点を通り、傾きが $\dfrac DB$ の直線です。フェルマーは、$x$ と $y$ についてのすべての 1 次方程式は直線を表し、すべての 2 次方程式は円錐曲線（放物線、楕円、双曲線、円）を表すことを示しました。放物線座標が次の式を満たす点を考えましょう。 $$y=x^2.$$$x=-2$ なら $y=4$、$x=0$ なら $y=0$、$x=2$ なら $y=4$。たくさんの点を打つと、放物線が現れます。方程式は表を作るだけのものではありません。絵を描かなくても、ある点が曲線の上にあるかどうかを教えてくれます。点 $(3,9)$ は上にあります。$9=3^2$ だからです。点 $(2,5)$ はありません。$5\neq2^2$ だからです。

October 7, 2026 読んだ

座標: 幾何学が代数になる

幾何学の大きな概念は、平面上の各点に 1 組の数値を与えることです。 2 行を選択します垂線 (軸) と、それらの垂線までの距離 $x$ および $y$ の位置に点が配置されます。今日これを[デカルト平面]と呼びます(/jp/posts/basic/inteiro/funcoes/planocartesiano/)、で彼に敬意を表します（カルテシウスはデカルトのラテン語名です）。座標があれば、図形は方程式になります。 3 つの例を参照してください。幾何学のページ (1637)。文字 a、b は既知の値と上部に書かれた累乗に表示されます。ルネ・デカルト · パブリックドメイン 2 点間の距離点 $P = (x_1, y_1)$ と $Q = (x_2, y_2)$ が形成され、点$(x_2, y_1)$、脚$x_2 - x_1$と$y_2 - y_1$の直角三角形。の定理によりピタゴラス: $$d(P, Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$ P と Q をドラッグします。三角形の辺は Δx と Δy で、距離はピタゴラスの定理から得られます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

September 30, 2026 読んだ

定規とコンパスを使った平方根

幾何学は、セグメントを使って算術演算ができることを示すことから始まります。最も美しいのは平方根です。 $\sqrt{a}$ を見つけるには: 直線上に長さ1の線分$AB$を描き、次に長さ$a$の線分$BC$を描きます。直径$AC$の半円を描きます。点 $D$ で半円が見つかるまで、$B$ を通る垂線を持ち上げます。次に$BD = \sqrt{a}$。 a の値を変更すると、高さ BD は常に √a になります。 a = 4、9、または 2,25 の場合、ルートは正確です。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。なぜですか? 半円に内接する、一辺が直径の三角形はすべて直角です。したがって、$ADC$ は $D$ 内の長方形、$DB$ は斜辺を基準とした高さになります。三角形 $ABD$ と $DBC$ は似ています。 $$\frac{BD}{AB} = \frac{BC}{BD} \;\Longrightarrow\; BD^2 = AB \cdot BC = 1 \cdot a \;\Longrightarrow\; BD = \sqrt{a}.$$ 図面では、$a = 4$: 高さ $BD$ は正確に 2 単位を測定します。幾何学、ブック I: デカルトは円と直線 (NLM の三角形と点 O) を使用して二次方程式を解きます。ルネ・デカルト、1637 · パブリックドメインデカルトが今日でも使用している規則、つまり最後の文字を確立したのも幾何学でした。未知数の場合はアルファベット ($x$、$y$、$z$)、値の場合は最初 ($a$、$b$、$c$) $x^3$ のように、既知の指数が上部に書かれています。

September 30, 2026 読んだ

記号の法則

多項式は正の根をいくつ持つことができますか?デカルトは次のような簡単な規則を与えました。根の数正の値は最大でも連続する係数間の符号変化の数です (そして、証明されたように、偶数だけ異なります)。 $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$でご覧ください。係数の符号は $+\ -\ +\ -$: 3 つの変化です。それで、あります 3 または 1 の正の根。実際には、 $$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3),$$ ルートは 1、2、3 です。負の根の場合は、$x$ を $-x$ に変更して再度カウントします。 $(-x)^3 - 6(-x)^2 + 11(-x) - 6 = -x^3 - 6x^2 - 11x - 6$。兆候はすべて否定的です: なし交換、マイナスルートはありません。別の例: $x^3 + x - 2$ では、$+\ +\ -$ 信号の交換は 1 つだけです。違いはどうあるべきかさらに、正の根はちょうど 1 つあり、$x = 1$ を見つけるのは簡単です。

September 30, 2026 読んだ

多面体の角度とオイラーの公式

立方体の 1 つの頂点には 3 つの正方形があり、それらの角度は加算されます。 $3 \times 90° = 270°$。 1 ターンを完了するには $90°$ 個が残っています。これが頂点の欠陥です。によって 1630 頃、デカルトは凸多面体においてすべての欠陥の総和が存在することを発見しました。頂点は常に 720° です。多面体頂点の角度欠陥頂点和四面体 3 × 60° = 180° 180° 4 720° キューブ 3 × 90° = 270° 90° 8 720° 八面体 4 × 60° = 240° 120° 6 720° 十二面体 3 × 108° = 324° 36° 20 720° 正二十面体 5 × 60° = 300° 60° 12 720° 頂点の周囲の面は、平面内で開いています。赤いスライスは欠陥で、360° を完了するために残された角度です。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

September 30, 2026 読んだ

キスサークル定理

1643 がエリザベート王女に宛てた手紙の中で、デカルトは 4 つの接円を 2 つずつ扱いました。円の曲率を半径の逆数$k = \frac{1}{r}$と呼びます。定理によれば、曲率を満たす $$(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2\left(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2\right).$$ 適用: 半径 1 の 3 枚の等しいコインが 2 枚ずつ接触します。に収まる円の半径はいくらですか? それらの間の穴？ $k_1 = k_2 = k_3 = 1$ および $k_4 = k$ の場合: $$\begin{aligned} (3 + k)^2 &= 2(3 + k^2) \\ 9 + 6k + k^2 &= 6 + 2k^2 \\ k^2 - 6k - 3 &= 0 \\ k &= 3 \pm 2\sqrt{3}. \end{aligned}$$ 符号$+$の場合: $k = 3 + 2\sqrt{3} \approx 6{,}46$、つまり半径は$\approx 0{,}155$です。真ん中の小さな丸です。記号$-$の場合：$k = 3 - 2\sqrt{3} \approx -0{,}46$。負の曲率は円を示します。半径 $\approx 2{,}155$ で他の 3 つが含まれます。中央の円とすべてを囲む 3 つのコイン。デカルトの定理を各穴に再度適用すると、アポロニウスのガスケットが現れます。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

September 30, 2026 読んだ

42°に虹が現れるのはなぜですか

デカルトは流星の中で屈折の法則を使って虹を説明しました。視度。光が空気から水に向かうとき、光は曲がります $$\sin i = n \cdot \sin r,$$ ここで、$i$ は進入角度、$r$ は水への角度、$n \approx \frac{4}{3}$ は水の角度です。 (オランダ人のヴィレブロルド・スネルは以前にも同じ法則を発見していましたが、公表しませんでした。そのため、この法則はこう呼ばれています。スネル・デカルトの法則。）流星の元の図 (1637): 太陽光線が水滴に入り、左下の観察者の目に到達します。ルネ・デカルト · パブリックドメインデカルトは、太陽光線が球形の液滴に入り、内部で反射して出ていく様子を想像しました。角度に従って光線は出ていき、次の角度を作ります。 $$\theta = 4r - 2i.$$ 彼は、液滴のさまざまな位置に入る光線に対してこの角度を手動で計算しました。アカウントをやり直す $n = \frac{4}{3}$の場合: 入射角$i$ $r$ 射出角度$\theta = 4r - 2i$ 10° 7,5° 9,9° 20° 14,9° 19,5° 30° 22,0° 28,1° 40° 28,8° 35,3° 50° 35,1° 40,3° 55° 37,9° 41,6° 60° 40,5° 42,0° 65° 42,8° 41,3° 70° 44,8° 39,2° 80° 47,6° 30,5° 右側の列に注目してください。上昇し、約 42° の最大値に達し、再び下降します。近くの最大値では、非常に異なる位置 (50° から 70°) で入射する光線は、ほぼ同じ角度で射出されます。そこに光が溜まるので、太陽と反対側の点から42°に明るいアークが見えます。

September 30, 2026 読んだ

デカルトと関数の考え方

デカルトは「関数」という言葉を決して使いませんでした。しかし、このアイデアを可能にしたのは彼でした。幾何学では、曲線は単なる図面ではなくなり、$x$ と $y$ という二つの数字の関係になります。一方が変化すると、ルールに従って他方もそれに伴って変化します。このパートでは、このアイデアがどのように得られたかを説明します名前、シンボル、グラフィック。次の 5 つのトピックは、この解釈とその後の関数の考え方の歴史を展開します。この対話型の図を使うには JavaScript を有効にしてください。議論の全体は本文にあります。すべてのトピックはルネ・デカルトによる · ← なぜ42°に虹が現れるのですか · コギトの読み方: 聞くことと話すこと→ 画像のクレジットと出典.

September 30, 2026 読んだ

コギトの読み方: 聞くことと話すこと

デカルト平面上に描かれたコギトエルゴサム。Euler’s Eyes コレクションの再設計された図ここオイラーの目では、「我思う、故に我あり」を小さな機械として読みたいと思っています。その思い何かを聞き（ラテン語ではオーディレ）、別のことを話します（ファブラリ）。何を縛るかというルール聞こえてくるのは機能です。メソッドワード物理学: 自然。方法: 推論、経路。グラフィコ: 線、描画。数学: 学んだこと、解読する行為。機能: タスクを実行する人。ドミナス: 領主、ドミニオンという言葉の由来。例: 「聞いたことを 2 回言う」。空の括弧は待機耳として機能します数字: $$f = 2\,(\;\;) \qquad\text{hoje escrevemos}\qquad f(x) = 2x.$$ 括弧 ( ) は耳として使用されます。関数は数字を聞くことを期待します。Euler’s Eyes コレクションの再設計された図ドミナス、ファンクトゥス、グラフィコ: ドメイン、機能、そしてそれが残す痕跡。Euler’s Eyes コレクションの再設計された図 $f = 2(\quad)$、$f = (\quad) - 2$、$f = [(\quad) - 1]\cdot[(\quad) - 3]$ の 3 つのルールでマシンを試してください。それぞれ聞いた数字は点 $(x;\ f(x))$ となり、点の集合はグラフ、グラフィコを形成します。ルールの:

September 30, 2026 読んだ

デカルトと大砲の問題

デカルトは戦争を間近で体験しました。 1618 では、彼はナッソーのモーリスの軍隊で志願兵として奉仕しましたそして、彼の最初の伝記作家エイドリアン・バイエによれば、彼はラ・ロシェル包囲戦の1628にいたとされています。リシュリュー枢機卿著。戦場では、砲兵たちは何をするのかという現実的な問題に悩まされました。一定の距離のターゲットに命中させるために大砲を傾ける角度は？テーブル上のボードの前に立つ男性。オリジナルの彫刻から切り取ります。オイラーの目コレクションの鮮明度が向上しました。大砲と弾丸の隣にいる二人の男。オリジナルの彫刻から切り取ります。オイラーの目コレクションの鮮明度が向上しました。天秤の隣にいる天使。オリジナルの彫刻から切り取ります。オイラーの目コレクションの鮮明度が向上しました。これは、目標までの距離 (砲手が「聞く」音) と銃の角度という 2 つの数値の関係です。（彼が「言ったこと」）。ガリレオは 1638 で、空気抵抗がなければ弾丸は放物線であり、範囲 $R$ は角度 $\theta$ と出口速度 $v$ に依存します。 $$R = \frac{v^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}, \qquad g \approx 9{,}8 \text{ m/s}^2.$$ 角度が違えば、軌道も異なります。Euler’s Eyes コレクションの再設計された図弾丸が 100 m/s で離れる場合: 角度 15° 30° 45° 60° 75° 範囲 510 m 884 m 1020 m 884 m 510 m アングルを選んで撮影します。範囲は 45° で最大となり、角度を合計すると 90° になります。このインタラクティブな図形を表示するには、JavaScriptを有効にしてください。

September 30, 2026 読んだ